Transformations et structures

Un principe directeur des mathématiques modernes tient en cette leçon : lorsque vous avez affaire à une entité S munie d'une certaine structure, essayez de déterminer son groupe d'automorphismes, le groupe des transformations de ses éléments qui préservent les relations structurales. Vous pouvez espérer gagner une profonde compréhension de la constitution de S de cette manière.

Hermann Weyl

 

 

 

Approche

 

*        Ce mot recouvre simplement les diverses possibilités de prendre une image ou une figure, et de la convertir en une autre image ou figure:

*      décalquer une figure;

*      déformer progressivement la photo d'un visage;

*      faire grandir le dessin sur un ballon baudruche en le gonflant;

*      regarder sa propre image dans un miroir;

*      faire un zoom avant ou arrière sur une photo;

*      tourner une carte géographique pour suivre son itinéraire;

*      etc.

*        Une transformation consiste à construire une nouvelle figure, dite image, par divers procédés:

*      mettre une punaise sur la figure et la faire tourner;

*      prendre la figure et la faire glisser;

*      reproduire une figure avec un pantographe;

*      créer un double par dépôt d'encre suite à un pliage;

*      etc.

*        La plupart du temps, il suffit de transformer les points qui décrivent la figure pour créer la figure-image

*      Pour transformer un carré, il suffit de transformer les quatre points des sommets;

*      Mais, pour transformer une photo, il faut transformer tous les points de la photo.

 

Définition

 

Transformation: opération qui modifie une figure par déplacement ou changement d'échelle ou passage à travers des miroirs. Application du plan ou de l'espace sur lui-même associant deux objets géométriques, points ou figures.


Une transformation fait se correspondre deux figures dans le plan, mais c'est aussi possible dans l'espace, y compris dans les hyper-espaces à plus de trois dimensions.

Transformation ponctuelle dans le plan: à tout point M correspond un point M' situé dans le même plan.

Le point de départ est l'antécédent.

Le point d'arrivée est l'image ou le transformé.

 

 

 

Types

*        Les transformations sont très nombreuses; on peut les considérer de deux façons:

 

Selon l'opération effectuée:

Translations        (glissement)

Rotations             (ça tourne)

Symétries            (vue à travers un miroir) et

Homothéties        (effet de zoom)

Similitudes         (effet de zoom et déplacement)

 

 

Selon les éléments conservés dans la figure image:

Transformations homographiques:   droites

Transformations affines:   parallélisme

Similitudes:           rapports de distances

Isométries:            distances et angles

Déplacements:      distances et angles orientés

 

 

*        Une transformation qui conserve les angles est dite conforme. Anglais: Conformal mapping: angle-preserving transformation.

Voir

*        Translation / Rotation / Symétrie / Similitude / Homothétie / Isométrie

 

Exemples

*        Le quart de tour

*        Triangle équilatéral

*        Triangle et groupe

 

 

Propriétés

 

*        Généralisation et vision systématique des opérations qui font passer d'une figure à une autre. Cette approche permet:

*    d'unifier la vision de ces opérations quels que soient les objets mathématiques, et mieux, quel que soit le type de géométrie, euclidienne ou non;

*    de donner des propriétés globales, c'est-à-dire qui s'appliquent à toutes les transformations du même type; dit autrement de caractériser les propriétés d'invariance de ces transformations.

 

 

Groupe

*        Une des principales propriétés des transformations et qu'elle forme un GROUPE, c'est-à-dire:

-         une loi de composition interne:

La composition de deux transformations de E est une transformation appartenant à E.

-         un élément neutre

La transformation identité I qui transforme une figure en elle-même est l'élément neutre; la composition d'une transformation  T avec I est la transformation T.

-         une application inverse

Toute transformation T de E a un inverse T’ dans E tel que la composition de T et T’ soit égale à I.

 

*        Outre le groupe, avec ses propriétés propres.

-         Il existe des sous-groupes dont les propriétés particulières permettent de classer les différentes transformations.

Par exemple, le sous-groupe principal comprend les rotations, les translations et les symétries orthogonales.

 

 

Famille

*        Une application f du plan sur lui-même.

Un point M' du plan est l'image d'un seul point M du plan: M' = f(M)

Alors, l'application f est une bijection.

Cette bijection particulière d'une partie du plan dans lui-même est baptisée: transformation.

 

Application => bijection => transformation

 

*        L'application qui fait marche arrière, qui donne M à partir de M' est l'application réciproque, notée f -1

Encore une marche arrière est nous revenons sur nos pas, le point M est transformé en M', d'où cette écriture: ( f -1) -1 = f

 

*        Plusieurs transformations, appliquées successivement, transforment un point M0 en M1Mn . La transformation complète qui, à M0 , associe Mn est la transformation composée ou transformation produit.

 

 

Vue d'ensemble

 

*        Les transformations ponctuelles dans le plan et leurs principales propriétés
             Isom.  = isométrie (distances conservées)
             Dépl.  = déplacement (angles orientés conservés)
             Antid. = antidéplacement (angles conservés mais
                            de sens opposé)

 

 

 

 

Tableau simple

 

Transformations ponctuelles du plan

 

Isom.

Dépl.

Antid.

 

 

 

 

 

 

 

 

Translations

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rotations

 

X

X

 

 

 

 *

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Symétries

Centrale *

 

X

 

 

 

 

Orthogonale

 

X

 

X

 

 

* Une symétrie centrale est une rotation d'un demi-tour

 

Similitudes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Homothéties

k

 

 

 

 

 

 

k = 1 = Identité

 

 

 

 

 

 

K = -1 = Rot.

 

 

 

 

Voir Tableau plus complet

 

Voir  Translation / Rotation / Symétrie / Similitude / Homothétie / Isométrie

 

 

Anglais

 

Transformation refers to a function from X to itself which preserves its algebraic or geometric structure

Examples of transformations: rotations, reflections, translations

Such operations can be performed using algebra (matrices)

 

Transformation of the plane: let S be the set of points in the plane, a transformation of the pane is a one-to-one mapping from S to S.

The most important transformation is the linear transformation

which are those that can be represented by linear equations.

The linear transformation T maps the point P (x,y) to the point P'(x', y'), where: x'= ax + by + h and y' = cx + dy = k

When h = k = 0, the origin O is a fixed point, then the transformation can be written X = A.X', where

 

See Matrices

 

 

En savoir plus

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*           GéométrieIndex

*           Éléments de géométrie

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Aussi

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*           Isométrie

*           Rotation

*           Similitude

*           Symétrie

*           Translation

 

Sites

*           Transformations - Wikipédia

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Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

Les types de transformations

 

Application (opération de E dans F)

   Bijection     (opération de E dans E)

        TRANSFORMATION dans le plan ou dans l'espace

 

-         Transformation homographique (conserve les droites; ex: carré devient trapèze)

*    Inversion (forme réduite et inversée)

*    Homologie (forme analogue à travers un birapport))

 

Note: Involution (appliquée deux fois, donne le dessin d'origine; ex: symétrie)

 

*    Affinité ou transformation affine (conserve le parallélisme; ex: carré devient rectangle)

*    Similitude (change taille et de position; ex carré devient carré plus gros ailleurs) – composition d'une homothétie et d'une isométrie

¨     Similitude directe (conserve les angles orientés) et similitude indirecte ou inverse ou rétrograde (conserve les angles orientés)

*    Dilatation (change la taille et translate)

*    Homothétie (change de taille, conserve les angles orientés)

-       Rapport quelconque

-       Rapport  1: identité

-       Rapport -1: rotation d'un demi-tour

¨     Isométrie ou transformation coïncidente (conserve les distances; ex: lune reste une lune de même taille, mais ailleurs et éventuellement retournée)

*    Déplacement (conserve les angles et leur orientation)

-       Identité (ne change pas; ex rotation d'un tour complet))

-       Translation (glisse définie par un vecteur)

-       Rotation (pivote) – composition de deux réflexions 

*    Angle quelconque

*    Demi-tour: symétrie centrale ou par rapport à un point

*    Tour complet: identité

*    Antidéplacement (conserve les angles et inverse leur orientation)

-       Symétrie orthogonale ou axiale ou réflexion ou par rapport à une droite

*    Réflexion simple

*    Réflexion-translation – composition de trois réflexions

*    Réflexion-rotation – composition de trois réflexions

*    Vissage – composition de quatre réflexions


*        Les projections ne sont pas des transformations (car non bijectives)

 

 

 

 

Transformation vue par Escher: effet de miroir

Escher.gif

 

Faites descendre ou monter cette image sur votre écran pas à pas à l'aide de la molette de votre souris; L'image s'anime! Un effet qu’Escher n'avait sans doute pas prévu.