NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Général

Le petit théorème

de Fermat

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Découverte

Exploration

Démonstration

Généralisation

Applications

Puissances

Avec Pascal

 

Sommaire de cette page

>>> n2 – n

>>> n3 – n

>>> n5 – n

>>> Analyse pour p suivants:  de 7 à 17

>>> Bilan de divisibilité pour p de 2 à 53

 

 

 

 

PETIT THÉORÈME DE FERMAT

Applications directes à np - n

 

Déductions immédiates du petit théorème de Fermat sur la forme cette forme polynomiale simple.

 

Exemple:    n13 – n est divisible 2 730

 

 

n2 – n divisible par 2

 

*    L'exposant 2 est un nombre premier.
Application du PTF.

 

*    Les trois formulations sont équivalentes.

 

n² – n = 2 k

 

Ce qui veut dire que ce polynôme est divisible par 2; il est toujours pair.
 

Ex: 3² - 3 = 9 – 3 = 6

 

*    Nous avons une confirmation directe sans le PTF. En effet, factorisons:

 

n2 – n = (n – 1) n

 

Succession de deux nombres, dont l'un est forcément pair et le produit est pair.

 

 

n3 – n divisible par 6

PTF direct avec 3

 

*    L'exposant 3 est un nombre premier.
Application du PTF:

 

 

 

Ce qui veut dire que ce polynôme est divisible par 3.
 

Ex: 33 - 3 = 27 – 3 = 24

 

Factorisation

 

*    Elle nous montre que ce polynôme est divisible par 6.

 

n3 – n = (n – 1) n (n + 1)

 

Succession de trois nombres.

L'un d'eux au moins est pair, et

L'un d'eux au moins est divisible par 3.

 

n3 – n = 6 k

 

 

PTF  supplémentaire avec 2

 

*    Cette indication nous incite à revoir le PTF sur ce polynôme de la manière suivant.

*    On montre que ce polynôme est aussi divisible par 2.

*    Divisible par 3 et par 2, il l'est par 6.

 

 

En mod 2:

Derrière le signe de congruence, n² est équivalant à n.

 

 

Récurrence

 

La divisibilité par 6 se démontre également facilement par récurrence.

 

Initialisation

n3 – n est divisible par 6 pour n = 0.

Calcul d'hérédité

Supposons la vraie pour kn

n3 – n = 6k

Et calculons sont expression pour n +1

En+1 = (n + 1)3 – (n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 – n – 1

= n3 – n + 3n(n + 1) = 6k + 3n(n + 1)

Or n et (n + 1) sont deux nombres consécutifs; l'un d'eux est pair est n (n + 1) est divisible par 2.

En+1 = 6k + 3 x 2h = 6 (k + h), divisible par 6.

Conclusion

Si la divisibilité par 6 est vraie pour n, alors elle est vraie pour n + 1, or elle est vraie pour 0; elle est toujours vraie.

 

 

Trois méthodes

Nous venons de voir trois méthodes pour démontre que n3 – n est divisible par 6:

*    par factorisation et constat de trois nombres consécutifs

*    par récurrence, et

*    par l'emploi du petit théorème de Fermat à répétition (pour p = 2 et pour p = 3).

 

 

n5 – n divisible par 30

 

*    Nous allons utiliser le PTF en cascade avec les nombres premiers successifs inférieurs à 5, soit ici: 2 et 3.

*    Les deux colonnes de gauche indiquent la propriété de base déduite du PTF.
La colonne centrale en blanc montre le calcul du modulo de la puissance concernée, ici 5.

*    Exemple de lecture: en modulo 3, le PTF nous dit que n3 – n est divisible par 3. En partant de n5 nous cherchons à sortir autant de cubes que possible, ici un seul. Chaque cube est remplacé par n en modulo 3 conformément à notre PTF. Au final n5 est identique à n en modulo 3. Ils sont même reste lorsque divisés par 3. Leur différence n3 – n est divisible par 3.

 

n5 – n  est divisible par 2, 3 et 5 donc pat le produit : 30

 

Voir Introduction à ce genre de calcul

 

 

Analyse pour p suivants:  de 7 à 17

 

n7 – n est divisible par 2 x 3 x 7 = 42

 

n11 – n est divisible par 2 x 3 x 11 = 66

 

n13 – n est divisible par 2 x 3 x 5 x 7 x 13 = 2 730

 


n17 – n est divisible par 2 x 3 x 5 x 17 = 510

 

 

 

Bilan pour p = 2 à p = 53

 

*    Nous récapitulons les données vues ci-dessus et complétons pour les nombres premiers jusqu'à 47

*    Le cas de la puissance 13 est exceptionnel!
 

 

Suite (sans factorisation)

 

 

 

 

 

 

 

Suite

Le petit théorème de Fermat (PTF)

*    Découverte

*    Exploration

*    PTF et les puissances des nombres

Voir

*    Table des divisibilités par valeurs croissantes

*    Nombre pseudo-premier

*    Test de primalité

*    Divisibilité par 11

*    Divisibilité par 42

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