NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Général

Le petit théorème

de Fermat

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Découverte

Exploration

Démonstration

Généralisation

Applications

Puissances

Avec Pascal

 

Sommaire de cette page

>>> En bref

>>> Exemples

 

 

 

Généralisation

du petit théorème de Fermat

 

En 1736, Euler démontre ce théorème et le généralise.

Voici une généralisation immédiate.

En 1760, il publie sa généralisation avec indicateur d'Euler

 

 

 

En bref

 

Petit théorème de Fermat

 

Si a et p sont étrangers et p premier.

 

Généralisation d'Euler

 

Si a et p.q sont étrangers avec p et q premiers

 

*       Cette propriété est déduite de la première par la loi de multiplication en arithmétique modulaire

 

*       Ce théorème d'Euler est utilisé pour réaliser le codage RSA

 

Autre formulation plus générale

 

*       Soit m > 0; si PGCD (a,m) = 1

 

 mod m

 

Phi est l'indicatrice d'Euler: quantité de nombres premiers inférieurs à m.

 

 

 

 

Exemples

 

p = 3 et q = 5

a

a(p-1)(q-1) mod p.q

PGCD (a, p.q)

1

1

1

2

1

1

3

6

3

4

1

1

5

10

5

6

6

3

7

1

1

8

1

1

9

6

3

10

10

5

11

1

1

12

6

3

13

1

1

14

1

1

15

0

15

 

p = 3 et q = 7

a

a(p-1)(q-1) mod p.q

PGCD(a,p.q)

1

 1

 1

2

 1

 1

3

 15

 3

4

 1

 1

5

 1

 1

6

 15

 3

7

 7

 7

8

 1

 1

9

 15

 3

10

 1

 1

11

 1

 1

12

 15

 3

13

 1

 1

14

 7

 7

15

 15

 3

 

 

 

 

 

Suite

Le petit théorème de Fermat

*    Découverte

*    Exploration

*    Démonstration

*    Application à la factorisation

*    Les puissances de 7 modulo 11

Voir

*    Nombre pseudo-premier

*    Test de primalité

*    Divisibilité par 11

*    Divisibilité par 42

Découvrir

*    Modulo & Congruences

*    Nombres Premiers

*    Théorème de Fermat-Wiles

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