NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Le petit théorème

de Fermat

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Découverte

Exploration

Démonstration

Généralisation

Applications

Puissances

Avec Pascal

 

Sommaire de cette page

>>> Une suite pratique

>>> Recherche d'un multiple de p

>>> Théorème de Fermat

>>> Autre formulation

>>> Réciproque

 

 

 

PETIT THÉORÈME DE FERMAT

 

Il existe de nombreuses démonstrations

Celle-ci me semble la plus abordable.

On trouvera une autre démonstration en Fermat et Pascal

 

 Rappel sur la divisibilité

Lemme d'Euclide: si un nombre premier p divise le produit a . b,
alors p divise a ou b.

 

Lemme de Gauss: si m, premier avec a,  divise le produit a . b,
alors il divise b.

Voir Propriétés de la divisibilité / Démonstration

 

 

Une suite pratique

 

*           Soit p un nombre premier
et a un nombre entier, supérieur à 1,
et non divisible par p.

*           Considérons la suite des multiples de a.

*           Pour chacun d'eux, p ne divise ni a ni un nombre qui lui est inférieur. Conclusion: p ne divise aucun facteur de chacun de ces nombres.


a et p premiers entre eux.

 

a, 2a, 3a, ... , (p –1)a       (1)

 

Le nombre p n'en divise aucun.

 

Les termes de la suite (1), divisés par p, donnent donc des restes non nuls.

 

 

*           Si deux multiples ka et k'a donnaient le même reste, leur différence ka – k'a = (k – k')a donnerait un reste nul.

*           Or, cette différence est un nombre de la suite (1) et, on a montré que les restes de la suite ne sont pas nuls.

 

 

 

 

 

Ces restes sont distincts.

 

 

*           Finalement, les (p – 1) restes des divisions par p, des nombres de la suite (1) sont non nuls et distincts.

 

 

Ces restes constituent donc, à l'ordre près, les nombres de la suite suivante:

1, 2, 3, 4, ..., p –1       (2)

 

 

Exemple     p  = 7, a = 10

 Tous les nombres de 1 à 6.

 

 

 

Recherche d'un multiple de p

 

*           Considérons le produit des termes des deux suites vues ci-dessus.

*           La première en fonction de la seconde.

 

*           Or nous savons que: si nous divisons chaque terme de N par p, nous obtenons des restes qui vont de 1 à p – 1, soit le produit de ces nombres qui n'est autre que n.

 

 

N = a . 2a . 3a  ...  (p –1) a
n = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (p –1)

 

N = n . a p – 1

 

 

N et n ont le même reste lorsque chacun de leur terme est divisé par p.

 

*           La différence de ces deux produits ayant même reste donne un reste nul. Cette différence est un multiple de p.

*           En remplaçant N par sa valeur.

 

 

N – n = K. p

 

n . a p – 1  – n = K. p

n (a p – 1  – 1) = K. p

 

 

*           Souvenons-nous que n est le produit des nombres jusqu'à p – 1. Il est premier avec p.

*           Le premier p divise le produit et il ne divise par n, alors il divise l'autre facteur.
 

 

 

n et p premiers entre eux.

 

 

a p – 1  – 1 = K'. p

 

 

 

Petit théorème de Fermat

 

 

Si p est un nombre premier

et a un entier non divisible par p,

la différence : a p – 1 – 1

est divisible par p.

 

 

Exemples


p = 7  & a = 10

106 – 1 = 999 999  = 7 x 142 857

 

p = 13 & a = 2

212 – 1  = 4 095= 13 x 315

 

Autre formulation

 

Si p est un nombre premier

et a un entier quelconque,

la différence : a p  – a

est divisible par p.

 

Conséquence

 

Dans un système de numération dont la base est un nombre premier p, les nombres ap et a  sont terminés par le même chiffre.

 

 

 

Soit le produit a. (ap – 1 – 1)

 

Si a est premier avec p, le second facteur est divisible par p.

Si a est divisible par p, c'est le premier facteur.

Dans tous les cas, le produit est divisible par p.

 

Or a. (ap – 1 – 1) = ap – a

Divisible par p.

 

Réciproque

 

*           La réciproque du théorème de Fermat est inexacte. Il existe des cas de divisibilité hors de ces critères.

 

*           On trouve le même type de divisibilité même si p n'est pas premier.

 

 

Exemple avec p NON premier


p = 15  & a = 4

414 – 1 = 268 435 455

            = 15 x 17 895 697

Nombre divisible par p alors que p n'est pas premier

 

 

 

 

Suite

Le petit théorème de Fermat

*    Démonstration avec le triangle de Pascal

*    Généralisation

*    Recherche des premiers sur tableur avec Fermat

*    Autres

Voir

*    Test de primalité

*    Divisibilité par 11

*    Divisibilité par 42

*    Représentation unique de Zeckendorf

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