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Édition du: 25/09/2022

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Types de nombres

Le petit théorème de Fermat

Découverte

Exploration

Démonstration

Généralisation

Perles et collier

Applications

Puissances

Avec Pascal

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

Collier de perles

pour aborder le petit théorème de Fermat

 

Quelle idée ! Expliquer le petit de théorème de Fermat, un théorème de la théorie des nombres, en comptant des colliers de perles …

Cette manière de voir est due à une idée de Julius Petersen (1872) concrétisée par Solomon Golomb (1956).

  

 

Sommaire de cette page

>>> Compter les colliers de couleur

>>> Petit théorème de Fermat

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

 

Compter les colliers de couleur

haut

 

 

Cas où p  est premier

Prenons ce collier formé de  cinq perles de trois couleurs.

p = 5 et a = 3

 

Combien pouvons-nous former de colliers différents?

 

Pour chaque perle, il y a trois choix:
Q = 3 x 3 x 3 x 3 x 3  = 35 = 243

 

Les trois colliers d'une seule couleur sont exclus.
Q = 35 – 3

 

Les rotations ne sont pas admises.
Il y a en cinq pour chaque motif différent.

 

 

 

Remarque importante

Ce nombre Q est un entier puisqu'il est le résultat d'un dénombrement.

Ce qui veut dire que (ap – a) est divisible par p.

   

 

Collier 5-3

Trois colliers d'une seule couleur

 

Cinq colliers identiques par rotation de 72°

 

 

Cas où p  est composé

Prenons ce collier formé de quatre perles de trois couleurs.

p = 4 et a = 3

 

La quantité de colliers identiques par rotation n'est pas 4, mais 2.

On ne peut plus diviser par p.

 

Conséquence: pour respecter notre formule en Q, le nombre p doit être premier.

 

 

Collier 4-3

Deux colliers identiques par rotation de 90°

  

 

 

Petit théorème de Fermat

haut

 

Forme arithmétique

 

On reprend le compte de colliers et on multiple par p.

 

Cette relation montre qu'un nombre (a) à la puissance d'un nombre premier (p) diminué de sa propre valeur est un multiple de ce nombre premier.

 

 

 

Exemples




 

Forme mathématique

 

On lit: a puissance p est congru à a modulo p

 

Ce qui veut dire que ap et a divisés par p ont le même reste.

 

 

 

 

Ou encore que le reste de la division de ap par p est:

*    a                si p > a.

*    a mod p    si p < a

 

 

 

 

 

 

   

Exemple

 

 

 

 

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*      Découverte du théorème de Fermat

Suite

     Le petit théorème de Fermat

*      Cas où a  = 2

*      Découverte

*      Exploration

*      Démonstration classique

*      Démonstration avec le triangle de Pascal

*      Application à la factorisation

*      Les puissances de 7 modulo 11

*      Sa programmation en Python

Voir

*      Divisibilité des puissances

*      Nombre pseudo-premier

*      Test de primalité

*      Divisibilité par 11

*      Divisibilité par 42

Sites

*      Fermat’s Little Theorem: proof by necklaces – The Math Less Traveled

*      Fermat's Little Theorem Explained by Counting Necklaces – Aaron He – Vidéo Youtube

*      Fermat's Little Theorem (Visualization) – Art of the problem – Vidéo Youtube

*      A String of Pearls: Proofs of Fermat’s Little Theorem** – Hing-Lun Chan and Michael Norrish – Revue des démonstrations du théorème

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http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/PtThFeCo.htm