NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorème de Fermat-Wiles

 

Débutants

Triplets de Pythagore

Cas n = 3

 

Glossaire

Puissances

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Théorème général

Familiarisation

Démonstration

 

Sommaire de cette page

>>> Factorisation de la somme

>>> Congruence

>>> Divisibilité par 3

 

 

 

 

EN CONSTRUCTION

La démo  est bien avancée mais pas encore complète, ni validée

Cette page est inspirée de la page en anglais

http://fermatslasttheorem.blogspot.fr/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

 

 

 

Théorème de Fermat-Wiles avec n = 3

Introduction

 

La somme de deux cubes (non nuls) n'est jamais un cube:

x3 + y3 = z3 n'a pas de solutions entières.

Voyons quelques propriétés avant de se lancer dans la démonstration.

 

 

 

Factorisation de la somme

 

*    Comme toutes les sommes de cubes, celle-ci est factorisable.

 


x3 + y3 = (x + y) (x² – xy + y²)

 

Ou aussi

 

x3 + y3 = (x + y) ((x – y)2 + xy )

 

Exemple

33 + 53     = (3 + 5) (3² – 3x5 + 5²)

27 + 125 = 8 (9 – 15 + 25)

152          = 8 x 19

 

Plus amusant

93 + 93     = 18 x 81

 

 

Exploitation pour notre démonstration

 

En posant:

x = p + q

y = p – q

 

Somme et différence:

x + y = 2p

x – y = 2q

 

En reprenant la seconde égalité:

x3 + y3 = (x + y) ((x – y)2 + xy )

= 2p ( (2q)² + (p + q)(p – q) )

= 2p ( 4q² + p² - q²)

= 2p (p² + 3q²)

 

Cette égalité va nous être précieuse.

 

Notamment p² + 3q² va s'avérer être un cube et nous devrons trouver les solutions de l'équation diophantienne: p² + 3q² = u3.

 

 

 

Congruence

 

*    Une conséquence du petit théorème de Fermat:

 

Si p est un nombre premier

et a un entier quelconque,

la différence : a p  – a

est divisible par p.

 

 

Voir Congruence (modulo)

*    Tout entier est congru à son cube modulo 3. (Un nombre et son cube divisé par 3 ont le même reste).

 

Exemple

  43 = 64

  4   1 mod 3

64   1 mod 3

 


Pour la somme de cubes

 

x3  x mod 3

y3  y mod 3

x3 + y3  x + y  mod 3

      z       x + y  mod 3

 

Autrement dit

 

z = x + y + 3k

 

 

Exemple

 

43 + 53 = 64 + 125 = 189

(189 qui n'est pas un cube, bien sûr!)

 

189            0 mod 3

4 + 5 = 9  0 mod 3

 

Est-ce que cette remarque sera utile ?

 

 

 

 

Divisibilité par 3

 

*    Une jolie propriété

 

Si x3 + y3 = z3, alors un des entiers parmi x, y ou z est divisible par 3

 

Sans lendemain, puisqu'il n'existe aucun nombre de la sorte.

 

Si x3 + y3 = z3

 

 

Rappel: la barre verticale se lit: divise.

*    Nous venons de voir que:

Qui conduit à:

 

x + y + 3k = z

 

x3 + y3 = (x + y + 3k)3

 

*    D'une manière générale, en modulo 9, pour un cube de la sorte:

Voir Développement du cube

 

(A + 3k)3 = A3 + 9A²k + 9Ak² + 27k3

                   = A3 + 9 (A²k + Ak² + 3k3)

 

(A + 3k)3 = A3 mod 9

 

*    Pour nous avec A  = x + y,

Effet: le terme en 3k disparait.

x3 + y3  (x + y)3 mod 9

*    En développant le cube

x3 + y3    x3 + y3 + 3xy (x + y) mod 9

*    On retranche les cubes de chaque côté

0    3xy (x + y) mod 9

*    Ce qui veut dire qu'en plus du facteur 3, le reste est divisible par 3 pour faire 9.

xy (x + y) est divisible par 3

*    L'un des trois facteurs est divisible par 3.
En se souvenant que z = x + y mod 3.

x ou y ou z est divisible par 3 

 

 

Bilan

Nous voici parés pour attaquer la démonstration du théorème de Fermat-Wiles pour n = 3 (E3). C'est un grand voyage du même type que la démonstration de E42, mais en beaucoup plus long … Il faut s'accrocher!

 

Lorsque nous chercherons à appliquer un théorème pour progresser dans la démonstration, il y aura généralement deux temps:

*    Remplir les conditions d'applications du théorème, et

*    Appliquer le théorème.

 

Cas typique: soit un cube égal à un produit de facteurs. Chacun est aussi un cube, à la condition que les facteurs soient premières entre eux (PEE).

 

 

 

 

Suite

*         Fermat pour n = 3 – Démonstration 

Voir

*         Théorème de Fermat-Wiles

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/FERMAT/Fer3Intr.htm