NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

Débutants

Pythagore

Opérations sur les puissances

 

Glossaire

Puissances

 

INDEX

 

Triplets

 

Puissances

 

Partition

Somme de puissances

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Carré somme de cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème de Pythagore

>>> Le triangle rectangle le plus célèbre

>>> Triplets de Pythagore

>>>  Propriétés des triplets

>>>  Détection des triplets

>>> Triplets réciproques

>>> Triplets colorés

 

 

Sur pages suivantes

>>> Propriétés des triplets 

>>> Construction de triplets

>>> Formule 

>>> Triplets primitifs

>>> Illustration

>>> Historique

 

 

 

 

 

Pensées de Pierre Dac

Géométrie politique : le carré de l'hypoténuse parlementaire est égal à la somme de l'imbécilité construite sur ses deux côtés extrêmes.   

Quand ça ne tourne pas rond dans le carré de l'hypoténuse, c'est signe qu'il est grand temps de prendre les virages en ligne droite.

Voir Pensées & humour

 

 

TRIANGLES

&

TRIPLETS de PYTHAGORE

 

 

CARRÉ = SOMME DE 2 CARRÉS

 

Célèbre théorème utilisé par tous les géomètres

et par les maçons qui veulent s'assurer qu'un angle est droit.

 

Deux centres d'intérêts dans cette rubrique:

*       la démonstration du théorème: multiples versions; et

*       les triplets de trois carrés, l'un étant la somme des deux autres.

3² + 4² = 5²

 

 

Curiosité

  5² +   12² =   13²

15² + 112² = 113²

Un doublet sans doute unique mais non prouvé – Robert Carman

(Les deux triplets sont primitifs)

Anglais: Pythagorean triangles and triples

 

 

 

Petite devinette

Seriez-vous capable de trouver x ?

 

Solution

Voir Jeux et puzzles  / Pensées & humour

 

 

 

 

THÉORÈME DE PYTHAGORE

Triangle  égyptien ou de Pythagore

 

 

Théorème de Pythagore

 

*    Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit est égale au carré de la mesure de l'hypoténuse.

Plus vite dit:

La somme des carrés des côtés égale le carré de l'hypoténuse.

Réciproque

*    Un triangle présentant cette propriété est rectangle.

 

*      Pythagore - Biographie

*      Démonstrations

*      Fermat 

 

Historique

L'équation diophantienne a² + b² = c² est associée à l'école de Pythagore (vers 570 av. J.-C.). Pourtant, les Babyloniens connaissaient la solution au moins mille ans avant.

Suite en Historique

 

 

Devinette

Alex est appelé à un concours de javelot en Corse. Le règlement est strict: pas d'objet de plus de 2 m à bord du ferry. Alex se voit refuser l'accès à bord du fait que son javelot réglementaire mesure 2,30 m. Trop long. Que faire?

Solution

 

 

 

 

 

Le triangle rectangle le plus célèbre

 

3² + 4² = 5²

9 + 16 = 25

 

Le triangle du jardinier (ou du maçon ou de l'arpenteur)

*    Avec une ficelle comportant treize nœuds équidistants, il est possible de se passer d'une équerre pour tracer un angle droit.

*    Pour former un angle droit. les maçons multiplient chacun de ces trois nombres par 20. Ces valeurs 60, 80 et 100 en centimètres sont plus pratiques à mesurer.

 

 

 

 

Extraordinaire! Le rayon du cercle inscrit à ce triangle, comme à tous les autres de Pythagore, est lui aussi un nombre entier  >>>

 

*      Triangle rectangle

*      Belles formules

*      Nombres consécutifs

*      Différences de carrés

*      Triangle doré

*      Spirale du jardinier

*      Ellipse du jardinier

*      Triangle équilatéral avec 345

*      TABLES de 1 à 500

 

 

Suite en Triangle isiaque

 

Voir Quelle est la hauteur de l'immeuble?

 

 

 

Aire (A) et périmètre (P)

Condition

Côtés

A

P

Commentaire

A = 1/2 P

3² +   4² =  

6

12

Seul

A =  P

6² +   8² = 10²

24

24

Deux seuls

 

5² + 12² = 13²

30

30

A =  2 P

12² + 16² = 20²

96

48

Le plus petit

A = 3 P

20² + 21² = 29²

210

70

Le plus petit

 

 

Fibonacci

 

L'aire du triangle de Pythagore est un multiple de 6.

 

Théorème de Bachet

 

Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée >>>

 

Aire

Un triangle de Pythagore (i.e. rectangle à côtés entiers non nuls) possède toujours une aire entière.

Les côtés (x et y) du triangle rectangle sont de parités distinctes; l'un d'eux est pair. L'aire du triangle qui est le demi produit des deux (1/2 x.y) est bien un nombre entier.

 

Il n'existe pas de triangle de Pythagore dont l'aire est un carré ou  le double d'un carré.

 

The area of a Pythagorean triangle cannot be the square or twice the square of a natural number.

 

Carré

Il n'existe pas de triplets tels que a et b soient eux-mêmes des carrés.

 

*      Périmètre

 

*      Triangles

*      Triangles avec triplets

*      Propriétés

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRIPLETS  de PYTHAGORE

 

 

Triplets de Pythagore

 

*    Toutes les solutions en nombre entiers de l'équation a² + b² = c² est un triplet de Pythagore.

 

Autres noms

*    Triade pythagorique.

*    Triangle pythagorique.

*    (a, b ,c) sont des entiers pythagoriciens.

 

Définition

Un triplet d'entiers strictement positifs

 (a, b, c)

est dit pythagoricien

si (a, b, c) est solution de

l'équation de Pythagore.

*      Triplets

*      Nombres congruents

*      Carrés

 

 

 

Équation de Pythagore

 

*    Équation diophantienne

X² + Y² = Z²

dont la solution générale est:

 

X = u² - v²

Y = 2 u.v

Z = u² + v²

u et v sont des entiers.

Suite en

*       Construction des triplets

Voir

*       Équation

*       Équation diophantienne

 

 

Équations équivalentes

 

a² + b² = c²

(a/c)² +  (b/c)² = 1

x² + y² = 1

x et y étant des fractions,

des nombres rationnels.

 

*    Trouver les triplets de Pythagore

 revient à

Trouvez tous les points

à coordonnées rationnelles

sur le cercle de rayon unité.

 

Suite >>>

 

(0,8)² + (0,6)² = 0,64 + 0,36 = 1

 

*      Illustration

*      Nombres rationnels

*      Racines de l'unité

 

 

 

Propriétés des triplets de Pythagore

 

Autres propriétés (certaines ne sont pas encore démontrées)

*    L'hypoténuse (c) d'un triplet primitif est de la forme 12k + 1 ou 12k + 5.

*    Triplet quelconque, alors:

*    Triplet quelconque (a, b, c) avec a et c premiers et a > 10 alors y est divisible par 60.

*    Triplet quelconque (a, b, c) avec a et c premiers, alors le triplet est de la forme (p, (p² - 1)/2 et (p² + 1)/2) avec p un premier impair.

*    Deux triplets (a, b, c) et (a', b', c') avec a>b>c et a'>b'>c', alors un de ces nombres est un carré: aa'  (bc' – cb') ou aa'  (bb' – cc').

*    Il n'existe pas de double triplets tels que a² + b² = c² et b² + c² = d²: côté et hypoténuse d'un triangle rectangle ne peuvent pas devenir deux côtés d'un triangle rectangle.

Suite en Propriétés des triplets  avec démonstrations / Voir Divisibilité / Carré / Parité

 

 

Détection des triplets de Pythagore

 par programmation

 

*    Trouver les carrés qui sont somme de deux carrés: a² + b² = c². Par exemple, le plus connu, car très joli:

3² + 4² = 5²

 

*    Nous mettons en place deux boucles: une pour dérouler a de 1 à 25 (par exemple) et l'autre pour b en partant de a jusqu'à 25. Inutile de partir de 1, nous aurions des doublons comme 3² + 4² = 4² + 3² = 5².

*    Après le calcul de la somme de leur carré (N:= a²+b²), nous en prenons la racine carrée (ou la puissance ½) et nous évaluons sa valeur décimale (evalf).

*    Pour détecter si ce nombre (RN) est une racine carrée exacte (un nombre entier) nous comparons ce nombre à la valeur entière de la racine (ERN:=floor(RN)). En fait, nous excluons les valeurs de RN qui ont des décimales (des chiffres après la virgule).

 


 

 

 

*    Nous pouvons ajouter un compteur pour dénombrer les triplets jusqu'à 1000, par exemple.
Le compteur (kt) est:

*      initialisé: kt:=0:

*      incrémenté à chaque fois qu'un triplet est détecté: kt:=kt+1:

*      imprimé en fin de programme: kt;

 

*    Jusqu'à 1000, il y a donc 1034 triplets.
Nous avons mis le signe # devant l'instruction d'impression des triplets pour éviter de lister à l'écran les mille valeurs. Ce signe permet d'introduire des commentaires dans le programme.

 

 

 

*    Avec notre programme, il est facile de chercher les sommes de deux cubes produisant un cube: a3 + b3 = c3.

*    Il n'y a en aucun et le théorème de Fermat-Wiles affirme que de tels triplets au cube n'existe pas, ni même à la puissance 4 et d'ailleurs pour aucune autre puissance que 2.

*    Ici, nous rencontrons un petit souci de calcul auquel il faut prêtre attention. La commande evalf en temps normal calcule avec une profondeur de dix décimales. Il est prudent d'en demander un peu plus. J'ai pris 20, en mettant la commande Digits:=20.

 

 

 

 Voir Programmation  / Maple

 

 

Triplets réciproques

 

Triplets réciproques: somme des inverses des carrés

 

 

Exemple

 

 

 

Tableau

 

 

Ils sont 29

pour a, b et c

de 2 à 500.

 

 

Le premier triplet du tableau se lit:

 

 

 

Primitifs

Certains sont simplement les multiples de triplets primitifs. Cas de 1/40, 1/60 ou 1/80, par exemple pour le triplet primitif en 1/20.

 

 

 

 

 

Triplets colorés

Attribuons une couleur aux nombres de façon telle que les trois nombres impliqués dans un triplet de Pythagore ne soient pas de la même couleur. Est-ce possible?  

Voir Problème des nombres en couleurs

 

 

 

 

 

Trouvez x

Eh bien, il est là, juste à la pointe de la flèche!

Retour

 

 

Devinette – Solution

Alex est appelé à un concours de javelot en Corse. Le règlement est strict: pas d'objet de plus de 2 m à bord du ferry. Alex se voit refuser l'accès à bord du fait que son javelot réglementaire mesure 2,30 m. Trop long. Que faire?

Solution: il suffit emballer le javelot dans une boite rectangulaire. Alors; longueur et largeur seront moins grandes que la diagonale. Heureusement que la réglementation n'interdit pas les paquets volumineux!

Illustration: Graphe longueur en fonction de la largeur telle que la diagonale est égale à 2,3 m. Le javelot placé tient, par exemple dans une boite de 1,7 m x 1, 6 m (pointillés bleus)   

En rouge: graphe y = racine (2,3² – x²)

 

Vérification avec le théorème de Pythagore pour la boite bleue:

1,7² + 1.6² = 5,45 = 2,33…² > 2,3 m.

 

Retour

 

 

 

 

 

Suite sur le théorème de Pythagore  >>>

 

Suite sur les triplets de Pythagore

Introduction

Vision Juniors

Propriétés

Historique

Primitif

Génération

Matrice

Avec un carré

Illustration

Triangles

Briques

Spéciaux

Voisins

Moyenne quadratique

Cercle

Calculs

Extension vers Fermat-Wiles

Puissance 5

x² + y² = 2 z²

Triangles rectangles entiers

Triangle 345

Table  1 à 500

Différence = carrés (Rolle)

Rayon du cercle inscrit (toujours un entier)

Création d'une cascade de triplets par concaténation et retournement

Triangle rectangle et point interne à 3, 4 et 5 de distance des sommets

 

 

Voir

*    Années Pythagore

*    Calcul du facteur de Lorenz

*    Décade de Pythagore

*    Généralisation (Minkowski)

*    Nombres premiers de Pythagore

*    Pythagore - Biographie

*    Somme de carrés

*    Somme de carrés n fois

*    Le théorème en 3D – Cas de la pyramide

Aussi

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Bi, tripartitions

*    Bouleversements et crises en maths

*    Cercle

*    Conjecture de Riemann

*    Conjecture d'Euler

*    Décade de Pythagore

*    Équations diophantiennesListe

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Partitions

*    Petit théorème de Fermat

*    Programmation de recherche des triplets

*    Pythagore - Biographie

*    Somme de carrés

*    Somme multi puissantes

*    Théorie des nombres

*    Triangle

*    Triangle héronien

*    Triangle isiaque

*    Unité des puissances

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