NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Algèbre

IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

 

Identités

 

Algèbre

Remarquables

Degré > 2

Spéciales

Divers

Inverses

a^nb^n

a^n – 1

Complexes

Puissances

Puissance 5

(x+ x² + …) ^k

Trigonométrie

Newton

Euler & Riemann

Héron

Moivre

Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>> Identités degré 3

>>> Identités degré 4

>>> Identités degré 5

>>> Identités degré n

>>> Binôme de Newton

>>> Table des développements de (a + b)n

>>> Identités en an et bn

>>> Division (xa – ya) / (xbyb)

 

 

 

 

IDENTITÉS REMARQUABLES

de degré supérieur à 2

 

Identités remarquables en puissance n

Voir Développements, notamment usage en numération

 

 

Développement "magique" avec les coefficients polynomiaux

Pour développer (a + b)n ou (a + b + c + …)n , etc. , utilisez le calcul des coefficients multinomiaux. Une simple fraction de factorielles.

 

Exemple: pour (a + b + c)6

 

 

 

 

IDENTITÉS avec le 3e  degré

(a + b)3

=

a 3 + 3a²b + 3ab² + b3     >>>

(a – b)3

=

a 3 – 3a²b + 3ab² – b3    

a3 – b3

=

(a – b) (a² + ab + b² )      >>>

a3 – 1

=

(a – 1) (a² + a + 1 )

a3 + b3

=

(a + b) (a² – ab + b² )

Somme de deux cubes divisible par somme des nombres. Ex: 93 + 93 = 18 x 81.

a3 + c3

Quelle que soit la valeur de b

=

 

=

   (a – b) (a² + ab + b² )

+ (c + b) (c² – cb + b² )

(a3 – b3) + (c3 + b3 )

a3 + b3 + c3

 

Rien d'intéressant.

a3 + 2b3 + c3

=

   (a + b) (a² – ab + b² )

+ (c + b) (c² – cb + b² )

a3 + 1

=

(a + 1) (a² – a + 1 )

(a + 1)² (a – 1)

=

a3 + a² – a – 1

(a – 1)² (a + 1)

=

a3 – a² – a + 1

(a2 + a – 1) (a + 1)

=

a3 + 2a2 – 1

(a2 – a – 1) (a – 1)

=

a3 – 2a2 + 1

(a + b + c)3

=

a3 + b3 +c3

+ 3 ( a²b + a²c + b²c + ab² + ac² + bc² )

+ 6 abc

(a + b)3 + (a – b)3

=

2a3 + 6ab²

(a + b)3 – (a – b)3

=

2b3 + 6a²b

(a + b)3 * (a – b)3

=

a6 – 3a4b2 + 3a2b4 – b6

(a + b)3 / (a – b)3

 

rien d'intéressant

(ab)3 + (bc)3 + (ca)3

=

3(a – b)(b – c)(c – a)

 

n3 + (n + 1)3

=

(2n + 1) (n2 + 2n + 1)  >>>

 

Voir Somme de cubes et nombres d'Eisenstein / Nombres de dizaines et unités /

Applications (élimination de la racine cubique au dénominateur)

 

Racines cubiques

Voir Calculs avec les racines cubiques

 

 

Puissances et factorielles

La énième différence finie des puissances énièmes

est égale à factorielle n.

Voir Explications et démonstration

 

 

 

IDENTITÉS avec le 4e  degré

(a + b)4

=

a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a – b)4

=

a 4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

a4 + b4

=

=

(a + b (a – b)² – 2a²b²

aucune factorisation

a4 – b4

=

=

=

=

(a² + b²) (a² – b²)

(a² + b²) (a + b) (a – b)

(a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3 )

(a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3 ) >>>

a4 + 4b4

=

=

(a² + 2ab + 2b²)( a² – 2ab + 2b²)

[(a + b)² + b²]  [(a – b)² + b²]

a4 – 4b4

=

(a² + 2b²) (a² – 2b²)

(a + 1)3 (a 1)

=

a4 + 2a3 2a – 1

(a – 1)3 (a + 1)

=

a4 – 2a3 + 2a – 1

(a + b + c)4

=

a4 + b4 + c4

+ 4a3b + 4a3c + 4b3c

+ 6a²b²+ 6a²c²+ 6b²c²

+ 4ab3 + 4ac3 + 4bc3

12ab²c + 12abc² + 12a²bc

(a + b)4 + (a – b)4

=

2a4 + 12a²b² + 2b4

(a + b)4 – (a – b)4

=

8ab (a² + b²)

(a + b)4  (a – b)4

=

a8 + b8 + 6a4b4 – 4a²b² (a4 + b4)

(a + b)4 / (a – b)4

 

rien d'intéressant

 

n4 – 1

=

=

(n + 1) (n3 – n2 + n – 1)

(n – 1) (n3 + n2 + n + 1)

n4 – n = n (n3 – 1)

=

n (n – 1) (n² + n + 1)

n4 + n2 + 1 =

=

=

n4 + 2n2 + 1 − n2 = (n2 + 1)2 − n2

(n2 + n + 1)(n2 − n + 1)

n4 + 4

=

=

(n2 +2)2 – 4n2

(n2 – 2n + 2n) (n2 + 2n + 2)

 

(n² + 3x + 1)²

=

=

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1  Application

n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1

(n² + 3x – 1)²

=

=

(n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 1

n4 + 2n3 – n2 – 2n + 1

(n² + 3x – 1)²

=

=

(n – 2) (n – 1) n (n + 1)) + 1

n4 – 2n3 – n2 + 2n + 1

n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

=

=

n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1

(n2 + 3n + 1)2

Voir Produit de 4 nombres consécutifs +1 = carré

 

 

n4 + 4 n'est premier que pour n = 1,

seule valeur portant le premier facteur à 1.

 

 

IDENTITÉS avec le 5e  degré

(a + b)5

=

a 5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a b)5

=

a 5   5a4b + 10a3b2   10a2b3 + 5ab4   b5

a5 + b5

=

(a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 )

a5 – b5

=

(a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 ) >>>

a5 + 1

=

(a + 1) (a4  – a3 + a2 – a  + 1 )

a5 – 1

=

(a  – 1) (a4 + a3 + a2 + a + 1 )

(a + 1)3 (a – 1)2

=

a5 + a4 – 2a3 – 2a2 + a + 1

(a – 1)3 (a + 1)2

=

a5 a4 – 2a3 – 2a2 + a 1

 

n5 – n

=

(n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

     +  5 (n – 1) n (n + 1)

Voir Divisibilité par 30

n6 – 1

=

(n+1)    (n–1) (n4+n2+1)

n7 – n

=

(n+1) n (n–1) (n4+n2+1)

 

 

 

 

IDENTITÉS de  degré > 5

a6 + b6

=

(a² + b²) (a4 – a2b2 + b4)

a6 – b6

=

(a + b) (a – b) (a² + ab + b²) (a² – ab + b²)

a7 + b7

=

(a + b) (a6 – ab5 + a2b4 – a3b3  + a4b2 – a5b  + b6)

a7 – b7

=

(a – b) (a6 + ab5 + a2b4 + a3b3 + a4b2 + a5b + b6) >>>

a8 + b8

=

aucune factorisation

a8 – b8

=

(a + b) (a – b) (a² + b²) (a4 + b4) >>>

a9 + b9

=

=

=

(a + b) ( a8 – a7b + a6b2 – ... + b8 )

(a3 + b3) ( a6 – a3b3 +b6)

(a + b) (a2 – ab + b2) ( a6 – a3b3 +b6 )

a9 – b9

=

(a – b) (a2 + ab + b2) ( a6 + a3b3 + b6 ) >>>

a10 + b10

=

(a² + b²) (a8 – a6b2 +a4b4 – a2b6 + b8)

a10 – b10

=

(a + b) (a – b)

(a4 + a3b + a²b² + ab3 + b4)

(a4 – a3b  + a²b² – ab3  + b4)

a11 + b11

=

(a + b) ( a10 – a9b + a8b2 – ... + b10 )

a11 – b11

=

(a – b) ( a10 + a9b + a8b2 + ... + b10 )

a12 + b12

=

(a4 + b4) (a8 – a4b4 + b8)

a12 – b12

=

(a + b) (a – b) (a² + b²)

(a² + ab + b²) (a² – ab + b²)

(a4 – a²b² + b4)                              Son calcul >>>

 

Voir  Identités en an + bn   et applications / Identités en an - bn   et applications

 

 

BINÔME DE NEWTON

 

*    Il s'agit du développement de la somme a+ b à une certaine puissance. Les coefficients des termes sont les nombres du triangle de Pascal.

 



*    Formulation générale

 

Notation développée (coefficients à la française)

 

 

Notation abrégée (coefficients à l'anglo-saxonne)

 

 

Correspondance entre les notations

 

Attention à l'inversion des indices.

Ces nombres, les coefficients binomiaux,  sont aussi la quantité de combinaisons de n éléments pris k à k.

Le point d'exclamation est le symbole de factoriel.

 

 

Voir Fermat et Pascal / Newton / Combinaisons

 

 

 

(a+b)n

Voir Coefficients du binôme / Application à la caractérisation des unités / Binôme complexe

 

 

 

 

Identités en an et bn

anbn

=

(a – b) (an–1 + an–2 b + ... + abn–2 + bn–1 )

a2 – b2

a3 – b3

a4 – b4

a5 – b5

=

=

=

=

(a – b) (a + b)

(a – b) (a2 + ab + b2)

(a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3)

(a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)

a7 – 1  (exemple)

=

(a – 1) (a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1) >>>

an – 1

=

(a – 1) (an–1 + an–2 + ... + a + 1)

a2n+1 – 1

=

(a – 1) (a2n + a2n–1 + ... + a + 1)

 

an + bn n impair

=

(a + b) (an–1 – an–2 b + ... – a bn–2 + bn–1 )

a2 + b2

a3 + b3

a4 + b4

a5 + b5

a7 + b7

=

=

=

=

=

/

(a + b) (a2ab + b2)

/

(a – b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)

(a – b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 +b6)

 

a3 + 1

=

(a + 1) (a² – a + 1)

a5 + 1

=

(a + 1) (a4 – a3 + a2 – a + 1)

a7 + 1

=

(a + 1) (a6 – a5 + a4 – a3 + a2 – a + 1)

an + 1 n impair

=

(a + 1) (an–1 – an–2 + ... – a + 1)

a2n+1 + 1

=

(a + 1) (a2n – a2n–1 + ... – a + 1)

Voir Divisibilité de ces formes  /  Impair /  Formes en an +1

 

 

Sommes limitées & Sommes infinies pour x < 1

1 + x + x2 + … xn

=

(1 – xn+1)  /  (1– x)

(1 – x) (1 + x + x2 + …)

=

1 /  (1–x)

 

Voir Sommes infinies 

 

Divisions du type

 

Factorielles tronquées

Voir Suite >>> (nombres de Stirling)

 

 

 

Suite

*    Autres identités importantes

*    Quelques développements de Taylor

*    Somme des entiers, des carrés, des inverses…

Voir

*    Application aux multiplications

*    Constantes

*    Différences entre puissances

*    Égalités dans les triangles

*    Factorisation selon Fermat

*    Identité de Lagrange

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Nombres cubains

*    Pépites

*    Somme

*    Somme de carrés de nombres consécutifs

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Site

*    A Collection of Algebraic Identities – Tito Piezas

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