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	Théorème de Fermat-Wiles
Débutants Triplets de Pythagore	Cas n = 3			Glossaire Puissances
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		Lemme p² + 3q² = u^3
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Théorème de Fermat-Wiles avec n = 3

Cas de p² + 3q² = u³

Cette page contient une série de lemmes qui s'enchaînent pour trouver les solutions de cette équation diophantienne.

Nous en sortirons avec une nouvelle expression des paramètres p et q pour la démonstration de l'équation de Fermat avec les cubes.

Cartographie de la démonstration

Suivre les liens au fur et à mesure dans le texte

Lemme p² + 3q² = u^3
Ce que nous avons PGCD(p,q) = 1, p et q sont de parités opposées, p² + 3q² est un cube, disons u^3 Ce qu'il faut démontrer Il existe a et b solutions de p² + 3q² = u^3 tels que: a et b premiers entre eux: PGCD (a,b) = 1; a et b sont de parités opposées; p = a^3 – 9ab^2 q = 3a^2b – 3b^3 Démonstration
Que dire du cube u^3 = p² + 3q² ? Notations: P = un nombre pair et I un nombre impair.	p et q sont de parités opposées. Leur carré aussi. La somme est impaire, car: P² + 3I² P + I I I² + 3P² I + P I Donc: u est impair.
On utilise ce nouveau lemme pour montrer que tous les facteurs doivent être de la même forme. Attention: ce lemme est un peu "costaud"!	u^3 = p² + 3q² alors u = a² +3b²

Calcul	Simple technique opératoire de l'algèbre
Calcul de u au cube avec a et b et mise sous la forme recherchée. Première étape.	u^3 = p² + 3q² = (a² + 3b²)^3 = (a² + 3b²) (a^4 + 6a²b² + 9b^4) = (a² + 3b²) (a^4 + 12a²b² – 6a²b²+ 9b^4) = (a² + 3b²) ( (a² – 3b²)² + 3(2ab)² ) = (P² + 3Q²) ( R² + 3S²)
Pour simplifier le calcul, on pose momentanément:	R = a² – 3b² S = 2ab
Poursuivons la mise en forme de cette expression. En effet, le produit de deux polynômes en a² + 3b² est aussi un polynôme de cette forme.	(a² + 3b²) (R² + 3S²) = a² (R² + 3S²) + 3b² (R² + 3S²) = a²R² + 3a²S² + 3b²R² + 9b²S² = a²R² – 6abRS + 3a²S² + 3b²R² + 6abRS + 9b²S² = (aR – 3bS)² + 3(aS + bR)²
Soit en remplaçant dans u au cube.	u^3 = (a (a² – 3b²) – 3 (b . 2ab))² + 3 (a . 2ab + b (a² – 3b²))² = (a^3 – 3ab² – 6ab²)² + 3 ( 2a²b + a²b – 3b^3 )² = (a^3 – 9ab²)² + 3(3a²b – 3b^3)²
Et en reprenant la forme en p et q.	u^3 = (a^3 – 9ab²)² + 3(3a²b – 3b^3)² = p² + 3q²
En égalant terme à terme nous obtenons une solution de l'équation baptisée: E223.	p = a^3 – 9ab² q = 3a²b – 3b^3 Solution de p² + 3q² = u^3
p et q sont premiers entre eux.	aussi le sont a et b sinon leur facteur commun diviserait p et q.
p et q sont de parités opposées.	aussi le sont a et b car: a et b impairs, alors q = impair – impair = pair p = impair – impair = pair Impossible, p et q sont de parités opposées. a et b pairs, alors q = pair – pair = pair p = pair – pair = pair Impossible, p et q sont de parités opposées.

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Lemme: facteurs de a² + 3b²
Ce que nous avons PGCD(a,b) = 1 Ce qu'il faut démontrer Tout facteur de a² + 3b² est de cette même forme: c² + 3d². a² + 3b² = k (c² + 3d²) Observation Quelques exemples de tels cubes et décomposition montrant que la forme du cube se retrouve sur le nombre lui-même. Démonstration
On va démontrer que si Alors	a² + 3b² = k (c² + 3d²) k peut être aussi petit que l'on veut, ce qui est impossible.
Soit k un facteur impair positif	a² + 3b² = k f k > 1 pour que la factorisation existe.
Prenons l'expression classique de la division par k avec c et d les restes; ceux-ci sont inférieurs au diviseur k. Si nous prenons c et d en relatif (positif ou négatif), nous pouvons même dire que leur valeur absolue est inférieure à ½.	a = mk + c avec c < k b = nk + d avec d < k Nouvelles valeurs de c et d a = mk c avec c b = nk d avec d
Reprenons l'expression:	a² + 3b² = (mk c)² + 3(nk d)² = m²k² 2mkc + c² + 3n²k² 6nkd + 3d² = k (m²k 2mc + 3n²k 6nd) + c² + 3d²
Or cette expression est divisible par k. Le premier terme de notre expression est divisible pas x, et le reste doit l'être aussi.	a² + 3b² = k f (notre hypothèse de départ) c² + 3d² = k h (h un nouveau facteur)

Nous aurons besoin de cette relation plus loin.	k est inférieur à h
Que vaut le produit en reprenant nos inégalités?	kh = c² + 3d² < (k/2)² + 3(k/2)² = k²/4 + 3k²/4 = k²
Somme de deux carrés (a² + 3b²), kf est positif; k et f aussi. Somme de deux carrés (c² + 3d²), kh est positif; k et h aussi. Nous pouvons diviser par k sans changer l'inégalité.	kh < k² h < k
L'expression c² + 3d² est bien positive. On sait que c et d ont été choisis positifs.	Imaginons le cas où: c² + 3d² = 0 c = d = 0
Reprenons les divisions. Les nombres a et b seraient divisibles par k. Ce qui contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux.	a = mk 0 b = nk 0 Or PGCD(a, b) = 1 c² + 3d² 0
Bilan à ce point	a² + 3b² = kf = kK + c² + 3d² Avec c² + 3 d² non nul et c² + 3 d² = kh avec h < k

Cherchons à rendre c² + 3d² primitif	c² + 3d² = g² (C² + 3D²)
Si g est le PGCD de c et d. Le PGCD des facteurs non communs (C et D) est égal à 1. C et D sont premiers entre eux.	g = PGCD (c, d) c = gC d = gD avec PGCD (C, D) = 1
Est-ce que g² divise h? g² divise k et ou h	kh = c² + 3d² = (gC)² +3(gD)² = g²(C² + 3D²)

Alors g² divise	k et ou h
Hypothèse: soit p un diviseur premier de g mais pas de h	kh = g² (C² + 3D²)
Donc p divise à la fois g et k (pas h).	k = Kp g = Gp
Pour a et b, nous montrons qu'ils sont divisibles par p. Or, ce n'est pas possible. Car a et b sont premiers entre eux.	a = mk c = mKp gC = mKp pGC = p(mK GC) b = nk d = p(nK GD)
Contradiction! Il n'existe pas de premier p divisant g sans diviser h. C'est l'inverse:	g divise h et même: g² divise h h = g² z
En divisant kh par g² Expression désormais réduites à des nombres premiers entre eux.	kh = g² (C² + 3D²) kg²z = g² (C² + 3D²) kz = C² + 3D² avec PGCD (C, D) = 1

Alors, avons-nous atteint notre but:	k est-il de la forme p² + 3q² ?
Si k n'est pas de cette forme, il existe un w tel que:	w divise z sans être de la forme: p² + 3q²
w n'est pas nul.	Il serait de cette forme non autorisée: w = 0² + 3 x 0²
w est donc plus grand que 1 tout en étant plus petit que z puisqu'il le divise.	1 < w < z
En cascade, w est inférieur à k	h = g²z z < h h < k (voir zone jaune ci-dessus) z < k w < z < k
Nous venons de prouver que l'existence de k entraîne celle de w, plus petit et de même forme. Le raisonnement se tiendrait de la même manière pour trouver un facteur w' encore plus petit. Nous entamons une descente infinie. Hypothèse fausse. Les facteurs sont bien de la forme p² + 3q².

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Lemme: forme en a² + 3b²
Si a² + 3b² possède un facteur impair qui n'est pas de cette forme, alors le quotient lui aussi à un facteur impair qui n'est pas de cette forme. Ce que nous avons Si f est un facteur de a² + 3b² il n'est pas de la forme p² + 3q² Ce qu'il faut démontrer Nous avons: a² + 3b² = f . F avec f impair et pas de la forme p² + 3q². Si f' divise F, alors f' n'est pas de la forme p² + 3q² Démonstration
Le nombre f étant un facteur, il existe g tel que:	f.g = a² + 3b² avec f impair et non de cette forme.
Les facteurs premiers de g sont:	g = p1 . p2 . … . pn

Supposons que tous les facteurs impairs de g:	sont de cette forme: p² + 3q²
Nous allons nous occuper des facteurs pairs qui vont laisser leur trace par une forme en p² + 3q² alors que les facteurs impairs, par hypothèse en p²+ 3q², vont se simplifier.
Toute apparition du facteur 2 peut être remplacée par 4.	Si 2 divise a² + 3b², alors 4 aussi. Si f est impair (non divisible par 4), alors toute apparition de 4 divise g de manière à diviser f.g.
Nous pouvons diviser toutes les apparitions de 4.	f.g = a² + 3b² Ces deux membres sont simplifiés de tous les 4 qui y apparaissent tout en conservant la même forme en p² + 3q².
Tous les facteurs impairs de g sont en p² + 3q²	On peut diviser a² + 3b² par ces facteurs.
Après les facteurs pairs (en 2) puis les facteurs impairs de g, il nous reste:	f = p² + 3q² Ce qui est contraire à notre hypothèse. Notre supposition est fausse. Les facteurs de g ne sont pas en p² + 3q².

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Lemme: a² + 3b² divisé par 2 et par 4
Ce qu'il faut démontrer Si 2 divise a² + 3b², alors 4 aussi Alors: a² + 3b² = 4 (c² + 3d²) Démonstration
Divisible par 2, donc: Car, Avec deux pairs, les carrés sont pairs. Avec deux impairs, les carrés sont impairs et la somme paire.	a et b sont de même parité.
Si a et b sont pairs, notre expression est divisible par 4.	a = 2c et b = 2d a² + 3b² = 4c²+ 12 d² divisible par 4
Si a et b sont impairs, alors : Ex: 7 = 2x 4 – 1; 9 = 2x 4 + 1 Les nombres impairs sont tous de part et d'autre des multiples de 4.	a = 4m 1 b = 4n 1
Addition et soustraction	4 divise aussi: a + b ou a – b

Si 4 divise a + b, prenons quatre fois notre expression et "éclatons" le 4 selon notre forme. En arrangeant le calcul de façon adéquate, nous retrouvons notre forme de départ	4(a² + 3b²) = (1² + 3 x 1²) (a² + 3b²) = a² + 3b² + 3a² + 9b² = a² – 6ab + 9b²+ 3a² + 6ab +3b² = (a – 3b)² + 3(a + b)²
Ce qui implique les divisibilités suivantes:	4 divise (a – 3b)² + 3(a + b)² 4 divise (a – 3b)² 4 divise 3(a + b)²
Selon notre hypothèse: On déduit:	4 divise a + b 4 divise a + b – 4b = a – 3b
En reprenant notre expression: Au premier membre, chaque terme est divisible par 4 et leur carré par 4².	(a – 3b)² + 3(a + b)² = 4(a² + 3b²) Chacun des membres de l'égalité est divisible par 4²
Au second membre, outre le facteur 4, c'est l'autre facteur qui est divisible par 4.	4(a² + 3b²) divisible par 4² (a² + 3b²) divisible par 4

Si 4 divise a – b, même raisonnement avec ici: 4 divise a + 3b (au lieu de a – 3b)	4(a² + 3b²) = (1² + 3 x (-1)²) (a² + 3b²) = a² + 3b² + 3a² + 9b² = a² + 6ab + 9b²+ 3a² – 6ab +3b² = (a + 3b)² + 3(a – b)² Etc.
Dans tous les cas:	(a² + 3b²) est divisible par 4

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Suite	Cas où le PGDC = 1
Voir	Théorème de Fermat-Wiles
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