NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombres géométriques

Type Géométrique

 

Glossaire

Nombres

géométriques

 

 

INDEX

 

Nombres Géométriques

 

Pairs / Impairs

Carrés

Cubes

Centrés

Proniques

Pentagonal et suite

Tétraédriques

Hex

Triangulaires

Grappes

Pyramidaux

Trois et cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Incroyable ! Cubes et le nombre 6

>>> Nombres cubes

>>> Cubes et table de multiplication

>>> Propriétés des cubes comparées aux carrés

>>> Cubes de nombres consécutifs

>>> Calcul des cubes

>>> Différences de cubes = produit de cubes

>>> Divisibilité des cubes

>>> Produits de cubes

>>> Cubes et sommes de cubes voisins des multiples de 9

>>> Nombres de Dudeney

  

 

 

Humour

Voir Humour             Source images Envision sur une idée de Joyreactor

 

 

 

NOMBRES CUBES

 

Nombres géométriques à la puissance trois.

Un cube est un nombre multiplié trois fois par lui-même. Notation: n3.

 

Ex: 103 = 10 x 10 x 10 = 1000

        53 =   5 x   5 x   5 =    125

 

Volume d'un cube

 

Perfection cubique!

 

 

27 + 64 + 125 = 216

Voir Cubes en géométrie  / Formule de perfection cubique / Pépites

 

Incroyable!

 

Un nombre diffère de son cube par un multiple de 6.

C'est le cas pour toutes les puissances impaires.

 

Une application inattendue des identités remarquables. En effet:

 

n3 – n = n (n2 – 1) = n (n – 1) (n + 1) = (n – 1) n (n + 1)

 

Le cube diminué du nombre est égal au produit de ce nombre par ses deux voisins. C'est surtout le produit de trois nombres consécutifs.

Parmi eux, il s'en trouve toujours au moins un divisible par 2 et un divisible par 3. Le produit est divisible par 6.

 

Exemples

  23   2 = 6

103 – 10 = 990 = 6 x 165

123 – 12 = 1 728 – 12 = 1 716 = 6 x 286

  25 – 2 = 30 = 6 x 5

107 – 7 = 9 999 990 = 6 x 1 666 665

Exemple de calcul mental de cube

113 = 10 x 11 x 12 + 11 = 1320 + 11 = 1331

 

À noter aussi cette autre affinité avec le nombre 6:

La différence troisième des cubes est égale à 6.

 

Dans la même veine, un nombre et ses puissances sont de même parité.

Suite >>>

 

 

NOMBRES CUBES

 

*    Exemple de disposition de billes rangées dans un cube, en quatre couches de quatre par quatre billes:

 

4 x 4 x 4 = 43

= 4 x 16 = 64

 

 

*    Les unités d'un nombre et de son cube sont les mêmes (en rouge), sauf pour 2, 3, 7 et 8 (en bleu) où les unités ajoutées donnent 10.

Suite >>>

 

Idée de dénombrement

Il y a quatre cubes inférieurs à 100 et la somme de deux d'entre eux est toujours inférieure à 100, sauf pour 43 + 43 = 64 + 64 = 128.

En prenant deux carrés parmi 4, on trouve la quantité de sommes possibles inférieures à 100, à condition de lui retirer un.

 

Ce sont: 2, 9, 28, 65, 16, 35, 72, 54, 91.

 

Avec 500, il y a 7 cubes et deux sommes qui dépassent 500 (63 + 73 = 559 et 73 + 73 = 686)

 

 

Avec 1000, on trouverait : 41, avec 14 débordements.

 

 

 

Voir  Calcul mental de la racine cubique / Dénombrements (p-suite)

 

Curiosité

Énigme

Quel est le nombre dont le carré du tiers est égal au triple du nombre ?

C'est 27, car (27/3)2 = 81 et 3 x 27 = 81. Notez que 27 = 33.

 

Solution générale

 

 

 

Courbe présentant la vitesse d'évolution comparée des carrés (rouge) et des cubes (vert):

 

Voir Table des cubes et somme de cubes

 

 

 

CUBES et table de multiplication

 

Table de multiplication

 

On peut trouver les cubes
dans la table de multiplication.

 

Exemple:

23 = 2 + 4 + 2 = 8

 

Ils se nichent dans une équerre,
appelée gnomon
.

 

Remarquez la symétrie des calculs des cubes dans les gnomons.

*     Il commence par n,

*     se poursuit avec les multiples de n, et

*     finit, n cases plus loin, avec n².

 

 

 

PROPRIÉTÉS des CUBES comparées aux carrés

 

Carrés et cubes comme sommes d'impairs

Voir Identité impair, carré et cubes / Somme des impairs

 

 

Somme des cubes

Propriété surprenante qui est en fait générale

Voir Phénoménal 100

 

 

 

 

Les cubes sont aussi somme des nombres hexagonaux centrés successifs

 

n3 = 1 + 7 + 19 + … + Hcn-1 + Hcn

 

 

Voir Démonstration / Triangulaires (Tn) /  Somme des cubes en trois / Différence entre carrés

 

 

 

CUBES de NOMBRES CONSÉCUTIFS

Trucs de calcul rapide

 

Un nombre

 

(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

 

 

(n – 1)3 = n3 – 3n2 + 3n – 1

 

33 = (2 + 1)3 = 23 + 3x22 + 3x2 + 1

                      = 8 + 12 + 6 + 1

                      = 27

 

 93 = (10 – 1)3 = 103 – 3x102 + 3x10 – 1

                         = 1000 – 300 + 30 – 1

                         = 729

 

 

Deux nombres

 

(n + 1)3 + n3 = 2n3 + 3n2 + 3n + 1

 

 

 

(n + 1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1

 

 

 

 

 

43 + 33 = 2x27 + 3x9 + 3x3 + 1

            = 54 + 27 + 9 +1

            = 91

 

113 + 103 = 3x100 + 3x10 + 1

                 = 300 + 30 + 1

                 = 331

 

Deux nombres avec écart de 2

 

(n-1)3 + (n+1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 2n3 + 6n

 

(n + 1)3 – (n – 1)3

= n3 + 3n2 + 3n + 1

– n3 + 3n2 – 3n + 1

= 6n² + 2

 

 

 

93 + 113 = 2x103 + 6x10

                = 2 060

 

63 - 43 = 6x5² + 2

             = 152

 

 

Trois nombres

 

(n – 1)3 + n3 +  (n + 1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 3n3 + 6n

= 3n (n2 + 2)

 

 

 

 

93 + 103 + 113 = 30 (100 + 2)

                          = 3000 + 60

                         = 3060

 

 

 

Quatre nombres (centraux identiques)

 

(n-1)3 + n3 +  n3 +  (n+1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3

+ n3

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 4n3 + 6n

= 2n (2n2 + 3)

 

 

 

 

53 + 63 +  63 +  73 = 12 (2 x 36 + 3)

                              = 12 x 75

                              =  900

 

Voir Nombres consécutifs  / Calcul des cubes

 

 

 

Différences de carrés = produit de cubes

 

Recherche des cas tels que:

Cube = différence de carrés

= produit de deux cubes dont la somme et la différence sont celles des nombres soustraits.
 

Exemples de lecture de la table:

 

142 – 132 =   196 – 169 =   27 = 33 = 33 x 13    &  14 + 13 = 27 et 14 – 13 = 1
362 – 282 = 1296 – 784 = 512 = 83 = 43 x 23    &  36 + 28 = 64 et 36 – 28 = 8.

 

Table pour a et b jusqu'à 1000  et n < 101

Voir Différence de carrés = produit de carrés

 

 

 

Divisibilité des cubes

 

*    Quels sont les restes possibles de la division d'un cube par un nombre de 2 à 13?

*    Dans le cas de la division par 2, si le nombre est pair (2k) le cube est pair; si le nombre est impair (2k + 1), le cube est impair. Le cube conserve la parité.

*    Dans le cas de la division par 3, le reste est égal à {0, 1 ou 2} et le reste de la division par 3  du cube est {0, 1 ou 2}. Le cube conserve le reste. On dit que: a3 = a mod 3.

*    Dans le cas de la division par 4, selon le reste {0, 1, 2 ou 3}, le reste de la division du cube par 4 donne seulement {0, 1, 3} que l'on peut écrire {-1, 0, +1} car -3 est équivalent à 1 dans le monde des "modulos". On note a3 = {0,  1} mod 4.

 

Tableau: colonne bleue = reste de la division par n (rouge) du cube pour un nombre donnant le reste indiqué à gauche

 

 

La division par 7 et par 9 des cubes est à noter: les restes sont nuls ou plus ou moins 1. Autrement dit:
 

Un cube est un multiple de 7 ou un multiple de 7 plus ou moins 1.

Un cube est un multiple de 9 ou un multiple de  9 plus ou moins 1.

Voir Preuve par 9

 

 

Exemples

Suite Cubes en modulo / Voir Divisibilité

 

 

Cube produit de cubes

 

*    Ce qu'il faut démontrer

 

Rappel: (A, B) = 1 est la forme abrégée de PGCD (A, B).

 

 

Si A . B = C = c3

Et (A, B) = 1

Alors A = a3 et B = b3
 

*    La factorisation première d'un cube est telle que tous les exposants sont des multiples de 3 

*    Factorisation de A et B

 

*    A et B sont premiers entre eux. Les facteurs premiers de A (qi) et ceux de B (ri) sont distincts.

Chacun de manière indépendante égale un facteur premier de C (pi).

 

pi = {qi ou ri }

*    Ces égalités entre facteurs premiers entraînent celles sur les exposants.

bi = certains 3ai

ci = les autres 3ai

*    Dans A comme dans B les exposants sont des multiples de 3.

A et B sont des cubes

Voir Démonstration de Fermat pour n = 3

 

 

Cubes et multiples de 9

Un cube divisé par 9 donne un reste égal à 0 ou 1 ou 8.

 

Les nombres cubes (jaune) sont tous multiples de 9 (9k) ou voisin d'un multiple de 9.

 

 

 

 

On lit: un cube est égal à un multiple de 9 ou alors à un multiple 9 plus 1 ou à un multiple de 9 moins 1.

En maths on dit: un cube est égal à -1 ou 0 ou 1 modulo 9.

 

La somme de deux cubes n'est jamais de la forme 9k  3 et 9k  4

Divisé par 9, le reste n'est jamais: 3, 4, 5 ou 6.

La somme de trois cubes n'est jamais de la forme 9k  4

Divisé par 9, le reste n'est jamais:  4 ou 5

Voir Somme de cubes / Nombre 33 - Récalcitrant

 

 

Cubes mod 9 (suite)

 

Un cube divisé par 9 donne un reste de 0, 1 ou 8 ou, en formule:

 

 

Cube et somme de cubes mod 9:

 

Un nombre en 9k + 4 ou 9k + 5 n'est jamais somme de trois cubes.

 

Voir Explications / Modulo des cubes

 

 

Devinette avec somme de trois cubes

Question

Quelle sont les solutions de

a3 + b3 + c3 = 2 020 ?

 

Solution

2 020  4 mod 9

Avec n3  {0, 1, -1}, il est impassible d'ajouter trois cubes pour atteindre le 4 de 2 020. Donc aucune solution.

 

Commentaires

D'une manière générale, aucune solution pour tout nombre congru à 4 ou 5 mod 9.

Mais aucune garantie de trouver une solution pour les autres nombres comme le montre le tableau.

 

De 2 000 à 2 050, il ya seulement 5 solutions dont une double pour 2 008. Il y en a 9 dont une solution double pour l'autre moitié (2 050 à 2 100).

 

 

 

Nombres de Dudeney

Nombre cube dont la somme des chiffres est la racine cubique du nombre.

 

Henry Dudeney (1857-1930)

Voir Suite en puissance de la somme des chiffres

 

 

 

 

 

 

CUBES

Cubes en tant que nombres figurés

*    Introduction

 

*    33 = somme de trois cubes ?

 

*    Boucle en cubes

*    Calcul des cubes – Mental ou rapide

*    Calcul des cubes – À la main

*    Cubes à chiffres répétés

*    Cubes en modulo (divisibilité des cubes)

*    Cubes et initiation aux dérivées

*    Cubes palindromes

*    Cubique d'Agnesi

*    Formule de perfection cubique

*    Nombres avec facteur au cube

*    Nombres doublement cube

*    Nombres plaqués et cubes

*    Propriétés des cubes

*    Signature des cubes

*    Somme de deux cubes jamais cube (Fermat)

*    Somme des cubes de nombres consécutifs

*    Table des cubes et somme de cubes

*    Théorème de Fermat pour les cubes

*    Trois cubes – Problème de la somme des -

 

Cubes en géométrie

*    Cubes en géométrie

*    Cube de Rupert

*    Cube de Necker

DicoNombre

*    Nombre 6

Voir

*    Introduction aux nombres géométriques

*    Nombres géométriques – Théorie

*    Nombres géométriques – Valeurs

*    Nombres figurés centrés

 

*    Théorie des nombres

*    Liste des noms des nombres

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