NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombres géométriques

Type Géométrique

 

Glossaire

Nombres

géométriques

 

 

INDEX

 

Nombres Géométriques

 

Pairs / Impairs

Carrés

Cubes

Centrés

Proniques

Pentagonal et suite

Tétraédriques

Hex

Triangulaires

Grappes

Pyramidaux

Trois et cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres cubes

>>> Cubes et table de multiplication

>>> Propriétés des cubes comparées aux carrés

>>> Cubes de nombres consécutifs

>>> Calcul des cubes

>>> Différences de cubes = produit de cubes

>>> Divisibilité des cubes

>>> Produits de cubes

>>> Nombres de Dudeney

  

 

 

Humour

Voir Humour             Source images Envision sur une idée de Joyreactor

 

 

 

NOMBRES CUBES

 

Nombres géométriques à la puissance trois.

Un cube est un nombre multiplié trois fois par lui-même. Notation: n3.

 

Ex: 103 = 10 x 10 x 10 = 1000

        53 =   5 x   5 x   5 =    125

 

Volume d'un cube

 

Perfection cubique!

 

 

27 + 64 + 125 = 216

Voir Cubes en géométrie  / Formule de perfection cubique / Pépites

 

 

 

NOMBRES CUBES

 

*    Exemple de disposition de billes rangées dans un cube, en quatre couches de quatre par quatre billes:

 

4 x 4 x 4 = 43

= 4 x 16 = 64

 

 

*    Les unités d'un nombre et de son cube sont les mêmes (en rouge), sauf pour 2, 3, 7 et 8 (en bleu) où les unités ajoutées donnent 10.

Suite >>>

 

Idée de dénombrement

Il y a quatre cubes inférieurs à 100 et la somme de deux d'entre eux est toujours inférieure à 100, sauf pour 43 + 43 = 64 + 64 = 128.

En prenant deux carrés parmi 4, on trouve la quantité de sommes possibles inférieures à 100, à condition de lui retirer un.

 

Ce sont: 2, 9, 28, 65, 16, 35, 72, 54, 91.

 

Avec 500, il y a 7 cubes et deux sommes qui dépassent 500 (63 + 73 = 559 et 73 + 73 = 686)

 

 

Avec 1000, on trouverait : 41, avec 14 débordements..

 

 

Voir Dénombrements (p-suite)

 

 

 

 

Courbe présentant la vitesse d'évolution comparée des carrés (rouge) et des cubes (vert):

 

Voir Table des cubes et somme de cubes

 

 

 

CUBES et table de multiplication

 

Table de multiplication

 

On peut trouver les cubes
dans la table de multiplication.

 

Exemple:

23 = 2 + 4 + 2 = 8

 

Ils se nichent dans une équerre,
appelée gnomon
.

 

Remarquez la symétrie des calculs des cubes dans les gnomons.

*     Il commence par n,

*     se poursuit avec les multiples de n, et

*     finit, n cases plus loin, avec n².

 

 

 

PROPRIÉTÉS des CUBES comparées aux carrés

 

Carrés et cubes comme sommes d'impairs

Voir Identité impair, carré et cubes / Somme des impairs

 

 

Somme des cubes

Propriété surprenante qui est en fait générale

Voir Phénoménal 100

 

 

 

 

Les cubes sont aussi somme des nombres hexagonaux centrés successifs

 

n3 = 1 + 7 + 19 + … + Hcn-1 + Hcn

 

 

Voir Démonstration / Triangulaires (Tn) /  Somme des cubes en trois / Différence entre carrés

 

 

 

CUBES de NOMBRES CONSÉCUTIFS

Trucs de calcul rapide

 

Un nombre

 

(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1

 

 

(n – 1)3 = n3 – 3n2 + 3n – 1

 

33 = (2 + 1)3 = 23 + 3x22 + 3x2 + 1

                      = 8 + 12 + 6 + 1

                      = 27

 

 93 = (10 – 1)3 = 103 – 3x102 + 3x10 – 1

                         = 1000 – 300 + 30 – 1

                         = 729

 

 

Deux nombres

 

(n + 1)3 + n3 = 2n3 + 3n2 + 3n + 1

 

 

 

(n + 1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1

 

 

 

 

 

43 + 33 = 2x27 + 3x9 + 3x3 + 1

            = 54 + 27 + 9 +1

            = 91

 

113 + 103 = 3x100 + 3x10 + 1

                 = 300 + 30 + 1

                 = 331

 

Deux nombres avec écart de 2

 

(n-1)3 + (n+1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 2n3 + 6n

 

(n + 1)3 – (n – 1)3

= n3 + 3n2 + 3n + 1

– n3 + 3n2 – 3n + 1

= 6n² + 2

 

 

 

93 + 113 = 2x103 + 6x10

                = 2 060

 

63 - 43 = 6x5² + 2

             = 152

 

 

Trois nombres

 

(n – 1)3 + n3 +  (n + 1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 3n3 + 6n

= 3n (n2 + 2)

 

 

 

 

93 + 103 + 113 = 30 (100 + 2)

                          = 3000 + 60

                         = 3060

 

 

 

Quatre nombres (centraux identiques)

 

(n-1)3 + n3 +  n3 +  (n+1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3

+ n3

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 4n3 + 6n

= 2n (2n2 + 3)

 

 

 

 

53 + 63 +  63 +  73 = 12 (2 x 36 + 3)

                              = 12 x 75

                              =  900

 

Voir Nombres consécutifs  / Calcul des cubes

 

 

 

Différences de carrés = produit de cubes

 

Recherche des cas tels que:

Cube = différence de carrés

= produit de deux cubes dont la somme et la différence sont celles des nombres soustraits.
 

Exemples de lecture de la table:

 

142 – 132 =   196 – 169 =   27 = 33 = 33 x 13    &  14 + 13 = 27 et 14 – 13 = 1
362 – 282 = 1296 – 784 = 512 = 83 = 43 x 23    &  36 + 28 = 64 et 36 – 28 = 8.

 

Table pour a et b jusqu'à 1000  et n < 101

Voir Différence de carrés = produit de carrés

 

 

 

Divisibilité des cubes

 

*    Quels sont les restes possibles de la division d'un cube par un nombre de 2 à 13?

*    Dans le cas de la division par 2, si le nombre est pair (2k) le cube est pair; si le nombre est impair (2k + 1), le cube est impair. Le cube conserve la parité.

*    Dans le cas de la division par 3, le reste est égal à {0, 1 ou 2} et le reste de la division par 3  du cube est {0, 1 ou 2}. Le cube conserve le reste. On dit que: a3 = a mod 3.

*    Dans le cas de la division par 4, selon le reste {0, 1, 2 ou 3}, le reste de la division du cube par 4 donne seulement {0, 1, 3} que l'on peut écrire {-1, 0, +1} car -3 est équivalent à 1 dans le monde des "modulos". On note a3 = {0,  1} mod 4.

 

Tableau: colonne bleue = reste de la division par n (rouge) du cube pour un nombre donnant le reste indiqué à gauche

 

 

La division par 7 et par 9 des cubes est à noter: les restes sont nuls ou plus ou moins 1. Autrement dit:
 

Un cube est un multiple de 7 ou un multiple de 7 plus ou moins 1.

Un cube est un multiple de 9 ou un multiple de  9 plus ou moins 1.

Voir Preuve par 9

 

 

Exemples

Suite Cubes en modulo / Voir Divisibilité

 

 

Cube produit de cubes

 

*    Ce qu'il faut démontrer

 

Rappel: (A, B) = 1 est la forme abrégée de PGCD (A, B).

 

 

Si A . B = C = c3

Et (A, B) = 1

Alors A = a3 et B = b3
 

*    La factorisation première d'un cube est telle que tous les exposants sont des multiples de 3 

*    Factorisation de A et B

 

*    A et B sont premiers entre eux. Les facteurs premiers de A (qi) et ceux de B (ri) sont distincts.

Chacun de manière indépendante égale un facteur premier de C (pi).

 

pi = {qi ou ri }

*    Ces égalités entre facteurs premiers entraînent celles sur les exposants.

bi = certains 3ai

ci = les autres 3ai

*    Dans A comme dans B les exposants sont des multiples de 3.

A et B sont des cubes

Voir Démonstration de Fermat pour n = 3

 

 

Cubes mod 9

 

Un cube divisé par 9 donne un reste de 0, 1 ou 8 ou, en formule:

 

 

Cube et somme de cubes mod 9:

 

Un nombre en 9k + 4 ou 9k + 5 n'est jamais somme de trois cubes.

 

Voir Explications / Modulo des cubes

 

 

Devinette avec somme de trois cubes

Question

Quelle sont les solutions de

a3 + b3 + c3 = 2 020 ?

 

Solution

2 020  4 mod 9

Avec n3  {0, 1, -1}, il est impassible d'ajouter trois cubes pour atteindre le 4 de 2 020. Donc aucune solution.

 

Commentaires

D'une manière générale, aucune solution pour tout nombre congru à 4 ou 5 mod 9.

Mais aucune garantie de trouver une solution pour les autres nombres comme le montre le tableau.

 

De 2 000 à 2 050, il ya seulement 5 solutions dont une double pour 2 008. Il y en a 9 dont une solution double pour l'autre moitié (2 050 à 2 100).

 

 

 

Nombres de Dudeney

Nombre cube dont la somme des chiffres est la racine cubique du nombre.

 

Henry Dudeney (1857-1930)

Voir Suite en puissance de la somme des chiffres

 

 

 

 

 

 

CUBES

Cubes en tant que nombres figurés

*    Introduction

 

*    33 = somme de trois cubes ?

 

*    Boucle en cubes

*    Calcul des cubes – Mental ou rapide

*    Calcul des cubes – À la main

*    Cubes à chiffres répétés

*    Cubes en modulo (divisibilité des cubes)

*    Cubes et initiation aux dérivées

*    Cubes palindromes

*    Cubique d'Agnesi

*    Formule de perfection cubique

*    Nombres avec facteur au cube

*    Nombres doublement cube

*    Nombres plaqués et cubes

*    Propriétés des cubes

*    Signature des cubes

*    Somme de deux cubes jamais cube (Fermat)

*    Somme des cubes de nombres consécutifs

*    Table des cubes et somme de cubes

*    Théorème de Fermat pour les cubes

*    Trois cubes – Problème de la somme des -

 

Cubes en géométrie

*    Cubes en géométrie

*    Cube de Rupert

Voir

*    Introduction aux nombres géométriques

*    Nombres géométriques – Théorie

*    Nombres géométriques – Valeurs

*    Nombres figurés centrés

 

*    Théorie des nombres

*    Liste des noms des nombres

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