NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Addition

 

Débutants

Addition

INVERSE des CHIFFRES

 

Glossaire

Fraction

 

 

INDEX

Partition

 

Harmonique

Somme égale 1

Somme proche de 1 ou 1/2

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Valeurs

>>> Sommes proches de 1

>>> Sommes proches de ½

 

 

 

 

 

 

Approche

 

*  Il existe une somme des inverses de chiffres donnant exactement 1

*  Nous pouvons le vérifier en mettant ces trois fractions au même dénominateur

La première, en multipliant numérateur et dénominateur par 3

et la deuxième en multipliant par 2

*  Notons, en passant que
                          1/3 + 1/6 = 1/2

 

Existe-il d'autres configurations de sommes d'inverses de chiffres approchant le total de un ?

 

 

 

1

+

1

+

1

=

1

2

3

6

 

 

 

3

+

2

+

1

=

6

=

1

6

6

6

6

 

 

 

Rappel

Inverse de 5 = 1/5 (produit égal 1)

Opposé de 5 =  -5 (somme égale 0)

 

 

Valeurs

 

*  Cinq valeurs sont exactes (jaune) – quantité finie de  décimales

*  Trois valeurs ont une décimale qui se répète

*  Une seule valeur présente une répétition périodique de décimales (1/7)

 

 

1/ 1   = 1

1/ 2   = 0, 5

1/ 3   = 0, 333…

1/ 4   = 0, 25

1/ 5   = 0, 2

1/ 6   = 0, 1666…

1/ 7   = 0, 142857142857 142857142857 …

1/ 8   = 0, 125

1/ 9   = 0, 111…

 

 

Voir Nombres rationnels

 

 

Somme proche de "1"

 

*  Le tableau ci-dessous donne les sommes des inverses des chiffres qui se rapprochent le plus possible de la valeur 1

On donne au moins une configuration par quantité (Qté) de fractions

Évidemment avec les neuf valeurs, l'écart à 1 est maximal

Il est minimal pour la somme des trois fractions donnant exactement 1

Les lignes sont classées par écarts (en valeur absolue) décroissants

Quantité en vert pour la meilleure approximation avec cette quantité de fractions

À partir des cases blanches pour S, toutes les valeurs possibles sont données

 

La configuration 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 est souvent donnée car elle correspond une suite de chiffres successifs

Mais la meilleure approximation est donnée pour 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/9 avec seulement quatre fractions.

En remplaçant 1/2 par 1/3 + 1/6, on retrouve la même valeur pour la somme, mais, là, il faut cinq fractions

 

En fait, ces deux configurations encadrent la valeur 1,
par défaut pour l'une et par excès pour l'autre

 

 

 

 

Somme donnant un total voisin de 1

Qté

1/1

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/9

S fraction

S nombre

|S-1|

9

X

X

X

X

X

X

X

X

X

7129 / 2520

2,828968254

1,82

8

 

X

X

X

X

X

X

X

X

4609 / 2520

1,828968254

0,82

7

 

X

 

X

X

X

X

X

X

3769 / 2520

1,495634921

0,49

7

 

 

X

X

X

X

X

X

X

3349 / 2520

1,328968254

0,32

6

 

 

X

 

X

X

X

X

X

2719 / 2520

1,078968254

0 ,078

3

 

X

X

 

 

 

 

X

 

23 / 24

0,958333333

0 ,0416

4

 

X

 

X

 

X

 

X

 

25/24

1,041666667,

0,04166

5

 

 

X

X

 

 

X

X

X

485/504

0,9623015873

0,03769

5

 

 

X

X

X

 

X

 

X

1307 / 1260

1,037301587

0 ,03730

3

 

X

X

 

X

 

 

 

 

31 / 30

1,033333333

0 ,03333

4

 

X

 

 

X

 

X

X

 

271/280

0,9678571429

0,032142

5

 

 

X

 

X

X

X

X

 

271/280

0,9678571429

0,032142

4

 

X

 

X

 

X

 

 

X

37/36

1,027777778

0,027777

2

 

X

X

 

 

 

X

 

 

41 / 42

0,976190476

0 ,023809

4

 

X

 

 

X

X

 

 

X

44/45

0,9777777778

0,0222222

5

 

 

X

X

X

 

 

X

X

367/360

1.019444444

0,0194444

4

 

X

 

X

 

 

X

X

 

57/56

1,017857143

0,0178571

5

 

 

X

X

 

X

X

X

 

57/56

1.017857143

0,0178571

4

 

X

 

X

 

 

 

X

X

71/72

0,9861111111,

0,0138888

5

 

 

X

X

 

X

 

X

X

71 / 72

0,986111111

0 ,013888

4

 

X

 

 

X

X

X

 

 

106 / 105

1,009523810

0 ,009523

4

 

X

 

 

X

X

 

X

 

119 / 120

0,991666666

0 ,008333

6

 

 

 

X

X

X

X

X

X

2509 / 2520

0,995634920

0 ,004365

5

 

 

X

X

 

X

X

 

X

253 / 252

1,003968254

0 ,003968

4

 

X

 

X

 

 

X

 

X

253 / 252

1,003968254

0 ,003968

3

 

X

X

 

 

X

 

 

 

1 / 1

1

0

 

 

 

 

 

Somme proche de "1/2"

 

*  Le tableau ci-dessous donne les sommes des inverses des chiffres qui se rapprochent le plus possible de la valeur 1/2

 

 

Somme donnant un total voisin de 1/2

Qté

1/1

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/9

S fraction

S nombre

|S-1|

3

 

 

 

 

X

 

X

 

X

143 / 315

0, 4539682540

0,0460

4

 

 

 

 

 

X

X

X

X

275 / 504

0, 5456349206

0,0456

2

 

 

X

 

 

 

 

X

 

11 / 24

0, 4583333333

0,041666

3

 

 

 

X

 

X

 

X

 

13 / 24

0, 5416666667

0,041666

2

 

 

X

 

X

 

 

 

 

8 / 15

0, 5333333333

0,033333

3

 

 

 

 

X

 

X

X

 

131 / 280

0, 4678571429

0,032142

3

 

 

 

X

 

X

 

 

X

19 / 36

0, 5277777778

0,027777

2

 

 

X

 

 

 

X

 

 

10 / 21

0, 4761904762

0,023809

3

 

 

 

 

X

X

 

 

X

43 / 90

0, 4777777778

0,022222

3

 

 

 

X

 

 

X

X

 

29 / 56

0, 5178571429

0,0178571429

3

 

 

 

X

 

 

 

X

X

35 / 72

0, 4861111111

0,0138888889

3

 

 

 

 

 

X

X

 

X

107 / 210

0, 5095238095

0,0095238095

3

 

 

 

 

X

X

 

X

 

59 / 120

0, 4916666667

0,0083333333

3

 

 

 

X

 

 

X

 

X

127 / 252

0, 5039682540

0,0039682540

2

 

 

X

 

 

X

 

 

 

1 / 2

0,5

0

1

 

X

 

 

 

 

 

 

 

1 / 2

0,5

0

 

 

 

 

 

 

Voir

*          Fraction – Glossaire et index

*          Division et règle de trois

Aussi

*          Type de nombres: réels; irrationnels …

*          Nombres bons

*          Nombres parfaits

*          Série harmonique

*          Somme de fractions égale à 1

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