NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Nombres

 

 

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Types de nombres

 

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Transcendants

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Normaux

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Idéaux

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Nombres rationnels

>>> Propriétés des nombres rationnels

>>> Rationnels à partir d'irrationnels

>>> Calcul de la fraction associée à un nombre périodique

>>> 0,9999 = 1

 

 

 

 

 

NOMBRES RATIONNELS

 

Un nombre est rationnel, si et seulement si,

son développement décimal (ou dans n'importe quelle base)

est périodique à partir d'un certain chiffre.

 

Les nombres rationnels s'expriment
par une fraction (un ratio).

2

= 0, 666 …

3

 

 

22

= 3, 14285 14285

7

 

0,999 … = 1

Vrai ?

Notation américaine

 

Voir Nombres périodiques /  Valeur de Pi (22/7)

 

1608 - Notation à virgule des nombres décimaux introduite par  Willebrord Snellius ou Willebrord Snell Van Royen (NL), le même que celui de la loi de Snell- Descartes sur la réfraction.

Occasion de pratiquer un féroce faux-amis en anglais:

A number is rational if and only if its decimal digits are eventually periodic.

Eventually veut dire: finalement ultimement.

 

 

 

DÉFINITION

 

Nombres rationnels ou nombres fractionnaires

Vient de quotiente (Peano)

Il existe des nombres à virgule en plus de ceux qui servent à mesurer (Ex: 1,2 cm, 3,25 l, 10,5 kg …). Ce sont ceux formés avec des fractions telles que 1/3, 1/7, 12/13 ... Les chiffres derrière la virgule ne s'arrêtent jamais. Un motif se répète sans cesse.

Ces nombres à fraction (à ration !) sont appelé rationnels.

Exemples:   1/3 = 0,333…    1/7  = 0,142857  142857 …

Ils forment l'ensemble des nombres rationnels noté   

Cet ensemble possède les propriétés d'un corps. L'ensemble des nombres entiers relatifs () est un sous-ensemble du corps .

 

Les nombres entiers peuvent aussi se mettre sous la forme d'une fraction, avec un dénominateur à 1. Ex: 2 = 2/1, 11 = 11/1 … 

Le développement décimal des fractions peut être limité (1/2 = 0,5) ou périodique (1/3 = 0,333).

Exemples:     3,5 = 7/2       2 = 2/1      0,123 = 123/1000     0,333… = 1/3

Voir développement décimal

 

Rational Numbers: the numbers you can make by dividing one integer by another (but not dividing by zero). In other words fractions.

Q is for "quotient" (because R is used for the set of real numbers).

Examples:    10/5 = 2       7/2 = 3.5      - 256/100 = -2.56

 

 

 

NOMBRES RATIONNELS

 

Opérations sur les entiers

Entier + Entier =

Entier

Entier - Entier =

Entier positif ou négatif

Entier x Entier =

Entier

Entier / Entier =

Fraction

Fraction – Fraction =

Fraction positive ou négative

Entier – ce même Entier =

0         Autres opérations avec 0

 

Opérations sur les ENTIERS => Nombres RATIONNELS

 

Voir Nécessité des différents types de nombres

 

Nombres rationnels

 

*    Les entiers et les fractions, positifs et négatifs,

composent, avec le nombre 0, l'ensemble des nombres rationnels.

*    Exprimé mathématiquement:

 

 

Qui se lit: L'ensemble des nombres rationnels (Q) est l'ensemble des fractions (a/b) pour lesquelles a et b sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, sachant que b ne peut pas prendre la valeur zéro.

 

 

 

Propriétés des NOMBRES RATIONNELS

 

*    Tous les nombres entiers sont rationnels.

*    Opérations: somme, différence, produit, quotient

avec des nombres rationnels produisent des nombres rationnels.

 

*    Un nombre est rationnel si et seulement si

son développement décimal1  est périodique2.

 

1 décimal ou toute autre base.

2 périodique à partir d'un certain rang.

 

*    On peut construire des nombres irrationnels à volonté: il suffit que les décimales ne soient pas répétitives:

0,25 25 26 25

0,111121111

0,123 123 124 123

 

*    On peut déjà imaginer que les irrationnels sont très, très nombreux! En nombre infini.

 

*    Un nombre rationnel p/q
(la fraction étant simplifiée : p et q n'ont pas de facteur commun)
a un développement décimal périodique,
à partir d'un certain rang, et sa période est inférieure à q.

 

*    Un nombre rationnel au carré s'écrit toujours avec des facteurs premiers dont les puissances sont paires.
Exemple : (3/4)² = 3² / 4² = 3² / 24

 

*    L'ensemble des nombres rationnels est dénombrable.

 

*    Définition: un nombre rationnel est p-premier si son dénominateur est premier avec p.

 

 

 Voir Nombres Périodiques

 

Rationnel à partir d'irrationnels

 

*    Extraordinaire! Il est possible de fabriquer des nombres rationnels à partir de nombres irrationnels.

 

*    Trois nombres irrationnels produisent un nombre rationnel.

 

Racine de deux puissance racine de deux tout cela à la puissance racine de deux vaut deux.

 

*    Et pour deux nombre irrationnels? C'est faisable, effectivement.

 

La solution est quasiment dans le constat précédent.

 

Notez qu'avec la démonstration fournie, on ne connait pas la nature de  . En fait ce nombre est transcendant. et a fortiori irrationnel.

 

 

Trois nombres irrationnels donnent un rationnel:

          est irrationnel

    est   rationnel

En effet

Voir Puissances à étage

 

 

Deux nombres irrationnels donnent un rationnel:

Considérons .

Soit N est rationnel et le problème est résolu.

Sinon, et c'est le seul cas possible, N est irrationnel. Dans ce cas élevons N à la puissance racine de deux: . Et nous savons que ce nombre est rationnel. Produit de deux nombres irrationnels (N et ) répond bien à notre question.

Que N soit rationnel ou non, nous avons bien deux nombres irrationnels dont l'un à la puissance de l'autre donne un nombre rationnel.

 

 

English: Let  . If N is a rational number, then it has the required property. If N is an irrational number, let , then  is a rational number. Hence an irrational number to an irrational power can be a rational number.

 

*    Table pour les racines à étages de 1 à 10, et cas où le résultat est rationnel en jaune.

 

Table de 1 à 10

n

N =

1

1

2

2

3

5,196…

4

16

5

55,901…

6

216

7

907,492…

8

4 096

9

19 683

10

100 000

Anglais: Irrational to an irrational power can be rational

Voir Racine de deux / Nombre deux / Reconnaître les irrationnels

 

 

 CALCUL de la FRACTION

    associée à un NOMBRE PÉRIODIQUE

 

Exemple

 

0,25 25 25

= 0,25 x 1,010101…

= 0,25 (1 + 10-2 + 10-4 + 10-6 +…)

= 0,25 (1 / (1 – 10-2 )

= 0,25 (1 / (1 – 0,01 )

= 0,25 (1 / 0,99)

= (25 / 100) (1 / 0,99)

= 25 / 99

Voir aussi en Nombres périodiques

 

Rappel sur la somme d'une série géométrique

 

1 + a + a² + a3 + … + an = 1 / (1 – a)

que l'on peut vérifier facilement en développant:

(1 – a) (1 + a + a² + a3 + … + an) = 1 – an+1

 

 

Autres exemples

 

               25 /                  99 = 0,252525…

               25 /                999 = 0,250 250 250

123              /                999 = 0,123 123 123

123456789 /   999999999 = 0,123456789 123456789 …

123456789 /   555555555 = 0,2222222204 222222204 …

123456789 /   111111111 = 1,111111102 111111102…

123456789 / 1111111111 = 0,111111110 1111111110…

123456789 / 1111111101 = 0,111111111111111111111111111111

 

Note (avec le même mode de calcul que ci-dessus):

 

0,999… = 0,9 x 1, 111… = 0,9 (1/0,9) = 1

Il y a bien égalité car entre 0,999 … et 1, il n'existe aucun espace pour un nouveau nombre. >>>

 

En fait

0,111… = 1/9

0,222… = 2/9

0,333… = 3/9 = 1/3

0,444… = 4/9

0,555… = 5/9

0,666… = 6/9 = 2/3

0,777… = 7/9

0,888… = 8/9

0,999… = 9/9 = 3/3 = 1

 

Voir Repdigit / Nombre 0,999  / Nombres périodiques / Nombre 1/100 / Nombres décimaux en xxx, 999

 

 

 

 

 

Égalité : 0,999… = 1 – Développement décimal de 1

Cette égalité semble étrange et difficile à admettre par certains. Pourtant, aucun doute chez les mathématiciens et plusieurs démonstrations le prouvent.

 

Le nombre 0,999… est un nombre décimal périodique, noté

Cette égalité n'est pas un cas unique. Tout nombre rationel peut s'écrire avec une infinité de 9.

Exemples:

2 = 1,999…

2,5 = 2,4999…

12345,678 = 12345,677999…

 

 

Propriété des nombres

 

Si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un 3e entre les deux, différent des deux autres.

 

Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0, 999 ... et 1. Ils sont donc égaux.

 

Équation

Prenons l'égalité suivante

Multiplions par 3

1/3

1

=

=

0,333 …

0,999 …

Avec les nombres périodiques

 

Soit n notre nombre

Multiplions par 10

Soustraction

Et, résultat

n

10 n

9 n

n

=

=

=

=

0,999 …

9,999 …

9

1

 

Avec  le développement décimal

On appelle M la moyenne arithmétique entre 0,999… et 1.

C'est un nombre qui se situe entre 0,999… et 1.

 

Supposons

Moyenne

0,999…

0,999…

< 

< 

1

M  < 1

 

L'écriture décimale

de M commence par :

0,9xyz…

=

M

 

Or

0,99

< 

M

 

L'écriture décimale

de M commence par:

0,99yz…

=

M

 

Soit, en recommençant

0,999…

=

M

 

Or, la moyenne n'est pas

égale à l'un des nombres

L'hypothèse est fausse.

Autre fin

Notons

n

=

0,999…

 

Par définition

M

=

 

Nous avons trouvé que:

M

=

n

 

Égalisons

n

=

 

Qui amène à:

n

=

1

 

Avec une suite géométrique

Développement fractionnaire

0,999…

=

 

C'est une suite géométrique de raison

r

=

 

La somme vaut

S

=

 

Avec une limite

Différence

1 – 0,9

1 – 0,99

1 – 0,999

1 – 0,99…9k

=

=

=

=

0,1

0,01

0,001

1/ 10k

 

Limite

=

0

 

Somme de factions pour l'amusement

 

Voir Énigme du chocolat

 

 

 

 

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Sites

*       Développement décimal de l'unité – Wikipédia

*       Does 0.999… Really Equal 1? – Anderson Norton and Michael Baldwin

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