NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Diviseurs

 

Débutants

Nombres parfaits

Types de nombres

selon leurs diviseurs

 

Glossaire

Diviseurs

 

 

INDEX

 

Décomposition

 

Diviseurs

 

Présentation

Parfait

Presque parfait

Amiables

de 1 à 100

Démonstration

Unit. Parfait

Sublimes

Programmation

Calculs (Frénicle)

Liste et historique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres parfaits

>>> Parfaits et géométriques

>>> Relation fondamentale

>>> Point de situation

>>> Propriétés

>>> Théorèmes

 

 

 

>>> Triparfait

>>> Nombres multiparfaits

>>> Nombres hyperparfaits

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

NOMBRES PARFAITS

 

On considère les diviseurs d'un nombre; On effectue leur somme; On compare le nombre initial à cette somme:

 

PARFAIT: s'il y a égalité.

 

Les nombres parfaits sont rares. Même si on conjecture qu'il y en a une infinité. On en connaît moins de 50. Ils sont liés aux nombres de Mersenne premier par une formule. Ils sont triangulaires, sommes des cubes des impairs. Etc.

 

Il n'existe que huit nombres parfaits inférieurs à un mille trillions (1021)

 

6

28

496

8 128

33 550 336

8 589 869 056

137 438 691 328

 2 305 843 008 139 952 128

 

Cool SVP! Voir Débutant

Anglais: Perfect numbers

 

 

Un petit avant-goût!

Voici la physionomie d'un nombre parfait*: une puissance k-1 de deux multipliée par une puissance k de deux moins 1. Si ce deuxième facteur (nombre de Mersenne) est premier alors le nombre est parfait.

Notez la ressemblance des facteurs en puissance de deux: le "moins un" est soit dans l'exposant soit en soustraction.

* Tous les parfaits pairs sont de cette forme.

On ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs.

 

 

Approche avec deux exemples

n = 10

est divisible par 1, 2 et 5

n = 6

est divisible par 1, 2 et 3

Le plateau est divisé n  parts.

On prend les parts selon les diviseurs.

La somme des parts est

plus petite que 10 parts.

C'est un nombre déficient.

La somme des parts est

justement 6.

C'est un nombre parfait.

 

 

NOMBRES PARFAITS

 

Définition

NOMBRE PARFAIT: nombre égal à la somme

de ses diviseurs propres.         =  n

 

  

Exemples

 

Diviseurs

Somme des diviseurs

6

3, 2, 1

3 + 2 + 1 = 6

28

14, 7, 4, 2, 1

14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 28

 

À noter

*         On note que la somme des diviseurs ( ) inclut le nombre n lui-même

Alors que la somme des diviseurs propres ( ') l'exclut

*         Soit la relation:  =  ' + n

*         Or pour un nombre parfait, selon sa définition:  ' =  n

*         En remplaçant, on trouve pour un nombre parfait:     = 2 n

 

Définition alternative

 

NOMBRE PARFAIT: nombre dont la somme

des diviseurs vaut le double du nombre.     =  2n

 

*          À ce titre les nombres parfaits pourraient être baptisés bi-parfait.
Les nombres parfaits sont des nombres multi-parfaits d'ordre 2 ou bi-parfait ou 2-parfait.

 

 

 

PARFAITS et nombres figurés

 

Tous les nombres parfaits pairs (connus) sont

triangulaires et hexagonaux.

 

 

       6 = 1 + 2 + 3

     28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7

   496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127

              Etc.

 

 

Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs consécutifs.

 

 

6

Exception

28

13 + 33

496

13 + 33 + 53 + 73

8 128

13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Etc.

 

 

 

 

 

RELATION FONDAMENTALE

 

Formule d'Euclide

 

Si N = 2n-1 ( 2n – 1) avec p = (2n – 1) premier,

alors N est parfait.

 

*         Tous les nombres parfaits connus aujourd'hui répondent à la formule d'Euclide. Léonard Euler (1707-1783) a démontré que tous les parfaits pairs sont de ce type. 

*         Une puissance de deux moins un est un nombre de Mersenne.

 

Voir Démonstration / Divisibilité / Exemple avec modulo

 

 Exemples

 

n

2n – 1

p = 2n – 1

N

p premier

M

1

20 =   1

21 – 1  =   1

1

NON

 

2

21 =   2

22 – 1  =   3

6

 

6

3

22 =   4

23 – 1  =   7

28

 

28

4

23 =   8

24 – 1  = 15

120

NON

 

5

24 = 16

25 – 1  = 31

496

 

496

Suite

 

 

 

 

 

 

Binaire

*         Impliquant des puissances de 2, il n'est pas surprenant que les nombres parfaits prennent une forme sympathique en binaire:

6  110

 28 11100

496 111110000

8 128 1111111000000

 

Historique

 

*         Euclide avait trouvé cette formule. Euler démontre la réciproque (1749):

*       Il montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

*       Or, on ne connaît que des nombres parfaits pairs

 

*         Il se trouve que (2n – 1) est un nombre de Mersenne et, les nombres de Mersenne ne sont premiers que si n lui-même est premier.

 

*       Pour n = 3, on a: 2n – 1 = 8 – 1 = 7, premier et N = 4 x 7 = 28

*       Pour n = 4, on a: 2n – 1 = 16 – 1 = 15, composé

*       Pour n = 5, on a: 2n – 1 = 32 – 1 = 31, premier et N = 16 x 31 = 496

 

*         En 1963, à l'Université de l'Illinois, on a trouvé un nombre parfait pour n = 11 213 qui s'exprime avec 6 751 chiffres et se décompose en 22 425 diviseurs. C'était le nombre parfait n°23.

*         En 2016, on a trouvé le Mersenne premier n°49 qui est aussi le nombre premier le plus grand que l'on connaisse.

Voir Liste des nombres parfaits / Record du plus grand premier

/ Historique des nombres de Mersenne

En résumé – Théorème

 

N est un nombre parfait si et seulment s'il est de la forme 2p-1 (2p – 1 ) et si (2p – 1) est premier.

si (2p – 1) est premier, alors p est lui-même premier.

 

Illustration

Parfait

Mersenne Premier

Premier

2p-1 ( 2p – 1 )

 

 

 

2p  – 1 

 

 

 

p

Parfait  Mersenne premier

L'un entraîne l'autre.

 

 

  Si Mersenne alors p est premier

Pas l'inverse: p premier ne donne pas toujours un Mersenne premier.

 

 

 

Point de situation

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Infinité ?

Conjecture

 

Il y a une infinité de nombres parfaits.

 

*         Les nombres parfaits sont rares. On en connaît seulement 49, autant que de Mersenne premiers connus. On connait bien tous les nombres de Mersenne premiers successifs jusqu'au 45e.       Voir Liste

 

*         On ne pas si les nombres parfaits sont en nombre infini. Probablement oui, car la série harmonique diverge.

*         Existe-t-il une infinité de nombres de Mersenne composés ?

 

Euler a montré que :

*         Si k > 1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p + 1 est premier si et seulement si 2p = 1 (mod 2p + 1).
Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors le nombre de Mersenne 2p – 1 est composé.
Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a une infinité de telles paires p et 2p + 1.

 

 

6 et 28

Tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28.

 

*         Tous les nombres parfaits se terminent par 6 ou 28. La séquence du chiffre final semble vouloir nous dire quelque chose, mais n'est pas régulière:
6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 6, ....

 

Racine numérique

La racine numérique (ou preuve par 9) des nombres parfaits est égale à 1 (sauf pour 6).

 

Exemple: 28  2 + 8 = 10  1

 

Inverses

La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est égale à 2.

 

Exemple: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

*         Cette propriété n'est pas magique!  Essayez de réduire au même dénominateur et vous verrez.
Et, bien sûr, la réciproque est vraie: si la somme des inverses des diviseurs d'un nombre, y compris ce nombre, est égale à " 2 ", le nombre est parfait.  

 

 

Pairs uniquement ?

Conjecture

Il n'existe pas de nombres parfaits impairs.

 

*         S'il existe des nombres parfaits impairs, ils doivent être très grands (au moins 300 chiffres) - Brent et Cohen (1989).

*       On sait que, divisé par 12, il reste 1,

*       Et divisé par 36, il reste 9;

*       Ils ont au moins 6 facteurs premiers;

*       Etc.

*         C'est un carré, multiplié par une puissance impaire d'un nombre premier seul.

*         Il est divisible par au moins 8 premiers.

*         il a au moins 29 facteurs premiers (pas nécessairement distincts).

*         Il a un diviseur premier plus grand que 1020.

 

 

Harmonique :

*         Tous les nombres parfaits sont harmoniques: la moyenne harmonique des diviseurs est un nombre entier.

 

Quantité de chiffres

*         Le ratio entre p (la puissance de 2) et la quantité de chiffres Q du nombre parfait approche log(10) / log(4) = 1,660964048…
Pour le plus grand connu en 2016 (P49), on a p = 74 207 281 et Q = 44 677 235 et p/Q = 1,660964046

 

 

Anecdote

198 585 576 189

*    René Descartes pensait avoir découvert un nombre parfait impair, sauf que 22 021 n'est pas premier. On ne connaît toujours pas de nombre parfait impair à ce jour.

Décomposition de Descartes

N = 32 . 72 . 112 . 132 . 22 021 = 198 585 576 189

Somme des diviseurs

 

 

= 397 171 152 378 = 2 x 198 585 576 189

Véritable décomposition

N = 32 . 72 . 112 . 132 . 192 . 61

Somme des diviseurs

 

 

= 426 027 470 778

*    N n'est pas parfait, il est abondant

Voir Nombre 198 585 576 189

 

 

THÉORÈMES

 

Voyons les premiers nombres parfaits, décomposés en facteurs partiels:
 

6

28

496

8 128

2 x 3

4 x 7

16 x 31

64 x 127

Ils sont tous le produit d'une puissance de 2 et de la puissance suivante de 2 moins 1, comme 4 x 7 = 22 x (23 – 1). En fait, ils sont de la forme 2n – 1 (2n – 1) et chaque 2n – 1 est un nombre premier de Mersenne.

 

Théorème 1

k est un nombre parfait pair, si et seulement si, il est de la forme

 2n – 1 (2n – 1) avec  2n – 1 premier (premier de Mersenne).

 

 

Théorème 2

Si 2n – 1 est premier, alors n est premier.

La recherche des nombres de Mersenne est aussi celle des nombres parfaits pairs.

 

 

Théorème 3

Soit p et q premiers.

Si divise Mp = 2p – 1, alors q =  1 (mod 8) et q = 2 k.p + 1

pour quelques valeurs entières de k.

 

 

Théorème 4

Soit p = 3 (mod 4), un premier.

2p + 1 est aussi un premier si et seulement si 2p + 1 divise Mp.

 

 

 

 

 

TRIPARFAIT

 

*      Dans le cas d'un nombre triparfait, la somme des diviseurs, y compris lui-même, est égale à trois fois le nombre:

 

Cas de 120 = 23 . 3 . 5 et la somme de tous ses diviseurs:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 3 x 120.

 

*      Les riparfaits sont tous pairs. S'il en existe un impair, il est supérieur à 1050.

 

*      On ne connaît que six nombres triparfaits:

 

120

672

523 776

459 818 240

1 476 304 896

51 001 180 160

= 23 x 3 x 5 (Mersenne 1557)

= 25 x 3 x 7 (Fermat 1636)

= 29 × 3 × 11 × 31

= 28 × 5 × 7 × 19 × 37 × 73

= 213 × 3 × 11 × 43 × 127

= 214 × 5 × 7 × 19 × 31 × 151

 

 

NOMBRES MULTIPARFAITS OU PARFAITS MULTIPLICATIFS

 

Définition

*      La somme des diviseurs, y compris lui-même, fait k fois le nombre:     = k . n

n est appelé k-parfait.

 

*      On connaît plus de 500 nombres multiparfaits jusqu'à l'ordre 8. On conjecture qu'il existe des nombres k-parfait pour toutes les valeurs de k.

*       25 x 33 x 5 x 7 est le premier tétraparfait.

*       27 x 34 x 5 x 7 x 11² x 17 x 19, le premier pentaparfait.

 

 

Quelques multiparfaits Pn

 

P2

6, 28, 496, 8128 … (nombres parfaits)

P3

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 31001180160 …

P4

30240, 32760, 2178540, 23569920 …

P5

14182439040, 31998395520, 518666803200 …

P6

154345556085770649600, 9186050031556349952000 …

 

Quantité minimum de facteurs premiers distincts

 

P3

P4

P5

P6

P7

3

4

6

9

14

Lehmer 1901

  

Quantité de nombre multiparfaits connus

 

1911

251

Carmichael et Mason

1929

334

Poulet

1953

397

Franqui and García

1954

482

Brown

1954

539

Franqui and García

2000

> 2 000

 

 

 

*      On pense connaître tous les multiparfaits d'ordre 3, 4, 5, 6 et 7.

 

Le plus grand connu

De l'ordre de 7,3 10 1 345             Moxham - Février 2000

 

 

Multi ou hyper ?

 

 

Nombres HYPERPARFAITS

 

Définition

Un nombre k-hyperparfait est  tel que:

 

Un nombre 1-hyperparfait est un nombre parfait:

 

Un nombre 2-hyperparfait (2-HP) est de la forme:

 

Un nombre 3-hyperparfait (2-HP) est de la forme:

 

Relations

 

 

Listes

2-HP: 21, 2 133, 19 521, 176 661,
1 29 127 041,
328 256 967 373 616 371 221,...

 

               Ex:

 

3-HP: 325,  aucun autre jusqu'à n = 1 000 000

 

4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625,
186 264 514 898 681 640 625

 

5-HP: aucun connu

 

6-HP: 301, 16 513, 60 110 701,
1 977 225 901
2 733 834545 701
232 630 479 398 401

 

 

 

English corner

 

A positive integer n is called a perfect number if it is equal to the sum of all of its positive divisors, excluding n itself.

 

 

Grand merci à Maximilian pour ses remarques

 

 

 

Suite

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Voir

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*    Tables abondants / déficients

*    Théorie des nombresIndex

*    Types de nombres selon leurs diviseurs

DicoNombre

*    Nombre 1,66…

*    Nombre 198 585 576 189

Sites

*      Répartition des nombres superabondants par Paul Erdös et JL Nicolas – Définition des nombres hautement composés et superabondants.

*      Mersenne Primes: History, Theorems and List – Chris Caldwell

*      Nombres hyperparfaits – Wikipedia

*      OEIS A007593 - 2-hyperperfect numbers: n = 2*(sigma(n) - n - 1) + 1.

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