NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 18/09/2011

SOS je suis Débutant	-Ý- Rubrique: Nombres ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS
§ Présentation		§ Parfait	§ Presque parfait		§ Amiables
§ de 1 à 100		§ Démonstration	§ Unit. Parfait		§ Sublimes
Sommaire de cette page >>> APPROCHE >>> Nombres PARFAITS >>> RELATION FONDAMENTALE >>> PROPRIÉTÉS >>> PARFAITS ET GÉOMÉTRIQUES >>> THÉORÈMES >>> TRIPARFAIT >>> Nombres MULTIPARFAITS >>> Nombres UNITAIREMENT PARFAITS >>> ALGORITHMES >>> LISTE et HISTORIQUE				Pages voisines § Traité sur les nombres parfaits § Nombres bons § Nombres de Mersenne § Nombres premiers records § Nombres économes, équidistants et prodigues § Théorie des nombres § Calcul mental § Géométrie

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Nombres PARFAITS
On considère les diviseurs d'un nombre On effectue leur somme On compare le nombre initial à cette somme PARFAIT: il y a égalité Les nombres parfaits sont rares Même si on conjecture qu'il y en a une infinité On en connaît moins de 40 Ils sont liés aux nombres de Mersenne premier par une formule Ils sont triangulaires, sommes des cubes des impairs, Etc.	Il n'existe que huit nombres parfaits inférieurs à un mille trillions (10^21) 6 28 496 8 128 33 550 336 8 589 869 056 137 438 691 328 2 305 843 008 139 952 128

Anglais: Perfect numbers

Cool SVP!

§ Voir Débutant

-Ý - APPROCHE

n = 10	n = 6
est divisible par 1, 2 et 5	est divisible par 1, 2 et 3
Le plateau est divisé n parts On prend les parts selon les diviseurs
La somme des parts est plus petite que 10 parts	La somme des parts est justement 6
C'est un nombre déficient	C'est un nombre parfait

-Ý - NOMBRES PARFAITS

Définition

NOMBRE PARFAIT

Nombre égal à la somme de ses diviseurs propres

(Cad: y compris 1, lui-même exclu)

s' = n

Voir	§ Approche des nombres parfaits, abondants et déficients § Somme des diviseurs Sigma

Exemples

	Diviseurs	Somme des diviseurs
6	3, 2, 1	3 + 2 + 1 = 6
28	14, 7, 4, 2, 1	14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 28

À noter

• On note que la somme des diviseurs (s ) inclut le nombre n lui-même
• Alors que la somme des diviseurs propres (s ') l'exclut
• Soit la relation

s = s ' + n

• Or pour un nombre parfait, selon sa définition

s ' = n

• En remplaçant, on trouve

s = 2 n

Définition alternative

NOMBRE PARFAIT

Nombre dont la somme des diviseurs est

le double du nombre

s = 2n

À ce titre les nombres parfaits pourraient être baptisés bi-parfait

Les nombres parfaits sont des nombres

multi-parfaits d'ordre 2

ou bi-parfait

ou 2-parfait

-Ý - RELATION FONDAMENTALE

Formule d'Euclide

Si N = 2^n-1 ( 2ⁿ - 1 )

avec p = (2ⁿ -1) premier,

alors N est parfait

Voir	§ Démonstration § Divisibilité § Exemple avec modulo

Exemples

n	2^n-1	p =( 2^n - 1 )	N	P premier	M
1	2^0 = 1	2^1 - 1 = 1	1	NON
2	2^1 = 2	2^2 - 1 = 3	6		6
3	2^2 = 4	2^3 - 1 = 7	28		28
4	2^3 = 8	2^4 - 1 = 15	120	NON
5	2^4 = 16	2^5 - 1 = 31	496		496
Suite

Historique

• Euclide avait trouvé cette formule
• Euler démontre la réciproque (1749)

ü Il montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme

ü Or, on ne connaît que des nombres parfaits pairs

• Or, ( 2 ⁿ - 1 ) est un nombre de Mersenne et,

les nombres de Mersenne ne sont premiers que si

" n " lui-même est premier

• Pour n = 3, on obtient:

N = 2² x 2³ - 1 = 4 x (8 - 1) = 4 x 7 = 28

• Le suivant est:

8 589 869 056

• Le douzième est:

2¹²⁶ (2¹²⁷ -1)

soit un nombre de 77 chiffres.

• En 1963, à l'Université de l'Illinois on a trouvé un nombre parfait pour n = 11 213 qui s'exprime avec 6 751 chiffres et se décompose en 22 425 diviseurs

Voir Record

En résumé

Parfait	Mersenne Premier	Premier
2^p^-1 ( 2^p – 1 )
	2^p - 1
		p
Parfait ó Mersenne premier L'un entraîne l'autre
	=> Si Mersenne alors p est premier Pas l'inverse: p premier ne donne pas toujours un Mersenne

-Ý - PROPRIÉTÉS

Infinité ?

Il y a une infinité de nombres parfaits - Conjecture

• Les nombres parfaits sont rares

On en connaît seulement 39

• On ne pas si les nombres parfaits sont en nombre infini.

Probablement oui, car la série harmonique diverge

• Existe-t-il une infinité de nombre de Mersenne composés ?

Euler a montré que :

• Si k >1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p+1 est premier

si et seulement si 2^p = 1 (mod 2p+1).

• Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors

le nombre de Mersenne 2^p-1 est composé

• Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a

une infinité de telles paires p et 2p+1

6 et 28

• Tous les nombres parfaits se terminent par 6 ou 28.
• La séquence du chiffre final semble vouloir nous dire quelque chose, mais n'est pas régulière:
• 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 6, ....

Pairs uniquement ?

Il n'existe pas de nombres parfaits impairs - Conjecture

• S'il existe des nombres parfaits impairs, ils doivent être très grands (au moins 300 chiffres) - Brent et Cohen (1989)

ü On sait que, divisé par 12, il reste 1

ü Et divisé par 36, il reste 9

ü Ils ont au moins 6 facteurs premiers

ü Etc.

• C'est un carré, multiplié par une puissance impaire d'un nombre premier seul.
• Il est divisible par au moins 8 premiers, il a au moins 29 facteurs premiers (pas nécessairement distincts).
• Il a un diviseur premier plus grand que 10²⁰

Voir 198 585 576 189

Tous les nombres parfaits pairs se terminent par

6 ou 28

Tous les nombres parfaits connus aujourd'hui

répondent à la formule d'Euclide

.

• En fait, Léonard Euler (1707-1783) a démontré que tous le parfaits pairs sont de ce type.

La racine numérique

(ou preuve par 9)

des nombres parfaits

est " 1 "

(sauf pour 6)

Exemple

28 => 2 + 8 = 10 => 1

La somme des inverses des diviseurs

d'un nombre parfait

est égale à 2

Exemple:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

• Cette propriété n'est pas magique!
• Essayez de réduire au même dénominateur et vous verrez.
• Et, bien sûr, la réciproque est vraie:
• Si la somme des inverses des diviseurs d'un nombre, y compris ce nombre, est égale à " 2 ", le nombre est parfait.

Les premiers nombres parfaits en binaire

110

11100

111110000

1111111000000

-Ý - PARFAITS ET GÉOMÉTRIQUES

Tous les nombres parfaits pairs

(les seuls que l'on connaissent)

sont triangulaires

  (Pythagore):

P = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

et hexagonaux

6	=	1 + 2 + 3
28	=	1 + 2 + 3 + ... + 7
496	=	1 + 2 + 3 + ... + 31
8 128	=	1 + 2 + 3 + ... + 127
etc.

Cubes

Tous les nombres parfaits

sont la somme des cubes

des nombres impairs consécutifs

6	Exception
28	1^3 + 3^3
496	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3
8 128	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3
Etc.

Nombre impair	Cube	Cumul
1	1	1
3	27	28
5	125	153
7	343	496
9	729	1 225
11	1 331	2 556
13	2 197	4 753
15	3 375	8 128

-Ý - THÉORÈMES

• Voyons les premiers nombres parfaits, décomposés en facteurs partiels

6	28	496	8 128
2 x 3	4 x 7	16 x 31	64 x 127

• Ils sont tous de la forme 2^n-1(2ⁿ-1) et chaque 2ⁿ-1 est un premier de Mersenne

Théorème 1

k est un nombre parfait pair, si et seulement si,

il a la forme 2^n-1(2ⁿ-1) avec 2ⁿ-1 premier.

Théorème 2

Si 2ⁿ-1 est premier, alors n est premier.

La recherche des nombres de Mersenne est aussi celle

des nombres parfaits pairs

Théorème 3

Soit p et q premiers.

Si divise M_p = 2^p-1, alors

q = ± 1 (mod 8) et q = 2 k p + 1

pour quelques valeurs entières de k.

Théorème 4

Soit p = 3 (mod 4) un premier.

2p+1 est aussi un premier si et seulement si 2p+1 divise M_p.

Théorème 5

Si on fait la somme des chiffres d'un nombre parfait pair (excepté 6).

On recommence avec les chiffres obtenus jusqu'à n'obtenir qu'un seul chiffre,

alors ce chiffre est 1.

TRIPARFAIT
Dans le cas d'un nombre triparfait, la somme des diviseurs, y compris lui-même, est égale à trois fois le nombre: 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 3 x 120. Ils sont tous pairs. S'il en existe un impair, il est supérieur à 10^50. On ne connaît que six nombres triparfaits:
120 672 523 776 459 818 240 1 476 304 896 51 001 180 160	= 2^3 x 3 x 5 (Mersenne 1557) = 2^5 x 3 x 7 (Fermat 1636) = 2^9 × 3 × 11 × 31 = 2^8 × 5 × 7 × 19 × 37 × 73 = 2^13 × 3 × 11 × 43 × 127 = 2^14 × 5 × 7 × 19 × 31 × 151

-Ý - NOMBRES MULTIPARFAITS OU PARFAITS MULTIPLICATIFS

Définition

• La somme des diviseurs, y compris lui-même, fait k fois le nombre

s = k . n

n est appelé k-parfait

• On connaît plus de 500 nombres multiparfaits jusqu'à l'ordre 8.
• On conjecture qu'il existe des nombres k-parfait pour toutes les valeurs de k.
• 2⁵ x 3³ x 5 x 7 est le premier tétraparfait
• 2⁷ x 3⁴ x 5 x 7 x 11² x 17 x 19, le premier pentaparfait

Quelques multiparfaits Pn

P2	6, 28, 496, 8128 … (nombres parfaits)
P3	120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 31001180160
p4	30240, 32760, 2178540, 23569920 …
p5	14182439040, 31998395520, 518666803200 …
P6	154345556085770649600, 9186050031556349952000 …

Quantité minimum de facteurs premiers distincts

P3	P4	P5	P6	P7
3	4	6	9	14

Lehmer 1901

Quantité de nombre multiparfaits connus

1911	251	Carmichael et Mason
1929	334	Poulet
1953	397	Franqui and García
1954	482	Brown
1954	539	Franqui and García
2000	> 2 000

• On pense connaître tous les multiparfaits d'ordre 3, 4, 5, 6 et 7

Le plus grand connu

De l'ordre de 7,3 10 ^{1 345}

Moxham - Février 2000

-Ý - NOMBRES UNITAIREMENT PARFAITS

Voir	§ Nombres unitairement parfaits

-Ý - ALGORITHMES de recherche des nombres parfaits

Avec un logiciel de calcul (comme Mapple)

for n from 1 to 1000 do
	if sigma(n) - n = n then
		print(n):
	fi:
od:

Qui donne:

6

28

496

Boucle curieuse

Programme

Initialisation A:= Valeur entrée par l'utilisateur B:=A C:=A D:=1
Boucle
	A:=C B:=B-1
		Si B=1 et A=D alors Imprimer A
	A:=A/D
		Si Reste ¹ 0 alors aller en début de boucle
		Sinon D:=D+A; Aller en début de boucle
Fin

Ce qui donne

A	B	C	D
6	6	6	1
6	5
6/5
6	4
6/4
6	3
2			3
6	2
3
6	1		6

(Envoi de Cédric Courtois)

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-Ý-

Voir

§ Liste des nombres parfaits § Démonstration de la formule d'Euclide § Nombres parfaits, abondants et déficients § Nombres presque -parfaits