NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRE PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Débutants

Tour d'horizon

Longueur période

Nombres décimaux

Nombres périodiques

Dichotomie de la période

Premiers longs

Nombres cycliques

Extraction des décimales

Fractions en 1/99…99

142 857

Égalité 0,999 = 1

Cas particuliers

Puissances dans la période

 

Sommaire de cette page

>>> Formule de calcul de la fraction du nombre périodique

 

>>> Nombres périodiques – Approche

>>> Définition et notations

>>> Théorème des nombres périodiques

>>> Fraction a/n et type de nombre périodique

>>> Conversion d’un nombre périodique en fraction

>>> De périodique à fraction – La théorie

>>> Chiffres et longueur de la période

>>> Nombres périodiques – Exemple de calcul

>>> Période maximale

>>> Périodiques pannumériques

>>> Anglais

 

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

Développement décimal périodique

Conversion d'un nombre décimal en fraction

 

Nombre à décimales ayant une tranche de décimales qui se répètent.

 

Ex: 78/17 = 4,5882352941176470 5882352941176470 5882352941176470

 

Le bloc de chiffres répété est appelé période ou tranche récurrente (anglais: repetend).

Beauté de la période:

coupée en deux

les chiffres somment en 9.

58 823 529

41 176 470

99 999 999

 

Théorème

 

Tout quotient de deux entiers possède

une écriture décimale finie ou périodique.

La partie périodique peut être précédée d'un certain nombre de décimales.

 

La fraction formée de deux entiers est un nombre rationnel.

 

Voir Cartographie des nombres périodiques

Voir Développement décimal d'un nombre / Nombres à permutations circulaires

 

Le saviez-vous

C'est juste!

Multiplions maintenant

par 3:

 

Voir Nombres rationnels et 0,999…

 

Formule express: calcul de la fraction (F) égale au nombre périodique (D)

Voir Explications

 

 

 

 

Nombres périodiques – Approche

Un nombre rationnel peut s'exprimer sous la forme d'une fraction, qui est, en fait, la division de deux nombres entiers.

 

L'ensemble des nombres rationnels est noté: .

 

Le développement décimal d'un nombre rationnel (lorsqu'on effectue la division) peut prendre plusieurs formes: entier, décimal ou avec période.

 

 

Nombre entier

Si la division "tombe" juste. Aucun chiffre derrière la virgule.
Sauf à lui ajouter des zéros, comme 2 = 2,000… Mais attention: 2 est un vrai nombre entier, alors que 2,000 indique une précision de mesure.

 

Nombre décimal

Si le développement est limité.
Pas de chiffres qui se répètent sans fin. C'est le cas si la fraction peut se mettre sous la forme de la division d'un nombre entier par une puissance de 10.

 

Exemples

5/2 = 25/10 = 2,5 = 2,5000… 

123,456 = 123456/1000  = 123,456000…  (= 15432 / 125 en simplifiant).

 

Nombre avec période

Si le développement présente une suite de chiffres qui se répètent sans fin

*       la partie des décimales qui se répètent sans fin est appelée la période du nombre périodique;

*       le nombre périodique peut être précédé d'une partie fixe entière ou décimale ou les deux.

 

Exemples

Nombre périodique avec période à un chiffre: 1/3 = 0.333… (3 est la période)

Nombre périodique avec période à plusieurs chiffres: 1/7 = 0,.142857142857…

Nombre périodique avec partie fixe décimale: 8/15 = 0.5333…

Nombre périodique avec partie fixe entière: 16/3 = 5,333…

Nombre périodique avec partie fixe entière et partie fixe décimale: 83/15 = 5,5333…

Bouquet final: 864 193 / 7 000 = 123,456 142857 142857 …

Nombre irrationnel

Nombre à virgule, comportant une infinité de chiffres sans répétition >>>

Merci à Laurine M. pour son questionnement

 

 

Notations

 

Notations classiques

Pour matérialiser sans ambiguïté les chiffres qui se répètent, les décimales récurrentes, on les surmonte d'un point sur chacun ou d'une barre sur le bloc de chiffres répétés.

 

 

Exemples

Plus rarement, les décimales récurrentes sont mises entre parenthèses ou entre crochets.

La barre horizontale de surlignement s'appelle vinculum.

 

Notation anglo-saxonne

 

 

En anglais, la virgule devient un point et le zéro initial est omis.

Bel exemple d'emploi de cette notation dans la résolution du célèbre puzzle du quatre-quatre. Elle permet d'obtenir le 9 avec seulement deux 4 de la manière suivante:

 

Notation indienne

 

 

On trouve parfois un "i" à la fin de la période. 1/7 = 0,142857 i

Attention à la confusion possible avec les nombres complexes

 

 

 

Curiosité avec 14

La fraction 1 / 14 présente une bien étrange curiosité.
Ses chiffres:

*    reprennent le 14 du dénominateur;

*    avec sa moitié (7) et son double (28); et

*    le 5 suivant ponctuant le fait que cela fait 5 chiffres.

 

 

Théorème des nombres périodiques

 

Tout nombre rationnel (n = p/q) a un développement décimal périodique (éventuellement formé de 0 répétés).

La réciproque est vraie: un nombre périodique peut toujours être mis sous forme rationnelle (une fraction). 

 

Every rational number has a periodic (or terminating) decimal expansion. The converse is also true; a periodic expansion always represents a rational number.

 

Autre formulation

Soit n un nombre réel, . Ces deux propositions sont équivalentes:

*       n est un nombre rationnel: il existe deux entiers A et B tels que n = A/B;

*       le développent décimal de n est ultimement périodique: il existe deux entiers F et p tels que n = 0,Fppp…

 

 

Fraction a/n et type de nombre périodique

 

Théorème du développement périodique:

 

Soit n un nombre entier tel que n > 1 et PGCD (10, n) = 1, et soit a un autre nombre entier avec a  n – 1, alors la fraction a/n a un développement périodique.

 

Autrement dit: une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur et dont le dénominateur n'est ni divisible par 2 ni par 5 a un développement décimal périodique.

 

 

Les trois cas possibles

Développement décimal avec quantité de chiffres fixe si:

n est terminé par un zéro.

n divisible par 2 et par 5.
Soit: n = 2x.5y

 

 

Développement décimal périodique pur (sans partie fixe) si:

n divisible ni par 2 et ni par 5

 

 

 

Peu comporter une partie fixe si:

n est divisible par 2 ou par 5

Anglais: periodic decimal expansion

 

 

Nombres périodiques

Soit p un nombre premier (hors 2 et 5):

*       Le développent décimal de 1/p  est périodique et p – 1 est une longueur de période ou un de ses multiples;

 

 

Si L est la longueur de la période, alors p divise 10L – 1; 

Le motif de la période est  M = (10L – 1) / p = (99…9) / p.

 

Petit théorème de Fermat (1640)

ap – 1   1 mod p

avec p premier ne divisant pas a.

Voir Ce théorème

Application à notre cas

Pour p premier, p divise 10p – 1 – 1.

Amusements

Le p-ième chiffre de 1/p est le premier chiffre de la période.

Le précédent résulte de la division de 9 par l'unité de p.

  7éme chiffre de  1/7   = 1

13éme chiffre de 1/13  = 0

 

  6éme chiffre de  1/7   = 7 car 7 x 7 = 49

12éme chiffre de 1/13  = 3 car 3 x 3 = 9

 

 

 

Conversion d’un nombre périodique en fraction

 

Période pure

Nous allons donner des exemples qui illustreront la procédure de conversion.

 

0,3333…

Nombre cyclique de période 1

Nombre

N

= 0,333…

Multiplication par 10

10 N

= 3,333…

Soustraction

9 N

= 3

Valeur de N

N

= 3/9 = 1/3

 

0,1212…

Nombre cyclique de période 2

Nombre

N

=   0,1212…

Multiplication par 100

100 N

= 12,1212…

Soustraction

99 N

= 12

Valeur de N

N

= 12/99 = 4/33

 

0,51212…

Nombre cyclique de période 2 avec partie fixe

Nombre

N

=   0,51212…

Multiplication par 100

100 N

= 51,21212…

Soustraction

99 N

= 50,7

Multiplication par 10

pour éliminer la décimale

10 x 99 N

= 507

Valeur de N

N

= 507/990 = 169/330

 

Autres exemples

 

 

 

Avec partie fixe

Voir Nombres rationnels / Nombres cycliques et sommes infinies /

Fraction pour approximer un irrationnel / Nombres en N/999…

Nombre 1,61818… (Approximation du nombre d'or)

Site: Calculateur decimal/ fraction – Calculis

 

 

 

De périodique à fraction – La théorie

Comment transformer un nombre périodique simple en fraction?

 

Multiplions par 10Période = 102

Et faisons la différence.

Le cas échéant, la fraction est réduite.

Bilan

La fraction correspondant à un nombre périodique de période P, de longueur p, est la fraction ayant pour numérateur P et pour dénominateur un 9-repdigit de longueur p.

Comment transformer un nombre périodique mixte en fraction?

 

Multiplions par 10Longueur mixte = 102

 

Puis multiplions par 10Période = 103

Et différence des deux.

Bilan

La fraction correspondant à un nombre périodique de période P, de longueur p, avec partie mixte M de longueur m est la fraction ayant pour numérateur (MP – M) et pour dénominateur un nombre de p fois 9 suivi de m zéros.

Comment transformer un nombre périodique avec partie entière en fraction?

 

On calcule la fraction en ignorant la partie entière puis on ajoute la partie entière.

Bilan

En présence d'une partie entière, celle-ci est ajoutée à la fraction trouvée pour la partie décimale.

En présence d'une période composée de 9?

 

 

Bilan

Validation de l'écriture courante des nombres en xxx,999 = xxx+1.

Voir Justification avec progression géométrique

 

 

 

Chiffres et longueur de la période

 

Observation

 

Les chiffres de la période (division euclidienne)

 

Exemple

1/7 = 0,142857 …10

       = 0,1111 …8

       = 0,125125 …9

 

 

En base 10

      10 = 1 x 7 + 3

3 x 10 = 4 x 7 + 2

2 x 10 = 2 x 7 + 6

6 x 10 = 8 x 7 + 4

4 x 10 = 5 x 7 + 5

5 x 10 = 7 x 7 + 1

1 x 10 = 1 x 7 + 3

etc.

En base 8

      8 = 1 x 7 + 1

1 x 8 = 1 x 7 + 1

1 x 8 = 1 x 7 + 1

etc.

 

En base 9

      9 = 1 x 7 + 2

2 x 9 = 2 x 7 + 4

4 x 9 = 5 x 7 + 1

1 x 9 = 1 x 7 + 2

etc.

La longueur de la période L est déterminée par la plus petite valeur telle que:

 

D'une manière générale:

 

 

 

Pour p = 7

La période est de 6 chiffres

 

Voir Division par 9 / Division posée / Base de numération / Conversion des nombres en base b – Programme /  Nombre 142 857

 

 

Produit de périodes

 

 

Nombres périodiques – Exemple de calcul

Lorsqu'une fraction ne peut pas être convertie en nombre décimal, elle est périodique.

La démonstration repose sur le fait que les restes sont compris entre 1 et 20 (en jaune sur l'exemple) et qu'à un moment donné on retrouve la même quantité à diviser.

La succession des chiffres du quotient peut être plus ou moins longue entre 1 et 20 chiffres.

 

 

 

Période maximale

 

Deux types de nombres premiers selon leur période:

*       La période est maximale et égale à p – 1: cas de 7, 17, 19 … Période maximale, car, "en gros", tous les restes possibles de la division par p sont épuisés.

*       La période est plus petite: cas de 11,13,  31 …

Voir Trouver quand le premier est long ou pas

 

 

Par exemple, les nombres suivants possèdent la périodicité maximale possible. Ce sont les nombres premiers longs.


      n est le nombre premier;  p = n – 1; r est la période répétitive.

n = 17   p = 16   r = 0588235294 117647

n = 19   p = 18   r = 0526315789 47368421

n = 23   p = 22   r = 0434782608 6956521739 13

n = 29   p = 28   r = 3448275862 0689655172 4137931

n = 47   p = 46   r = 0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617

n = 59   p = 58   r = 1694915254 2372881355 9322033898 3050847457 6271186440 67796610

n = 61   p = 60   r = 1639344262 2950819672 1311475409 8360655737 7049180327 8688524590

n = 97   p = 96   r = 1030927835 0515463917 5257731958 7628865979 3814432989 6907216494 8453608247 4226804123 7113402061 855670

 

 

Conjecture

Ces nombres premiers particuliers, dits premiers longs, sont en nombre infini et leur densité tend vers la constante d'Artin.

 

C = 0,373 955 813 6…

 

Voir Conjecture / Nombre 0, 373… / Division védique

 

 

 

Périodiques pannumériques

= 0,12345679 0123456790 …

= 0,98765432 0987…

= 0,123456789 0123456789 01234 ...

= 0,123456789 123456789 1234 ...

= 0,987654321 0987654321 …

 

Pour information – Nombres décimaux pannumériques

 

 

ENGLISH CORNER

 

*      Repeating or recurring decimals

 

*      Every rational number has a periodic or terminating decimal expansion.
The converse is also true: a periodic expansion always represents a rational number.

 

*      If the decimal expansion of a number:

*    terminates => regular number or finite decimal number;

*    becomes periodic => repeating decimal number; or

*    continues infinitely without repeating => irrational number.

 

*      Le trait de surligement pour noter la période est baptisé: vinculum.

 

 

 

 

 

 

 

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DicoNombre

*    Nombre 17

Sites

*    Développement décimal périodique – Wikipédia

*    Notes sur les développements décimaux périodiques – Robert Rolland

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Renvois de liens

>>> Nombre de cycles et leur longueur

>>> Liste des valeurs périodiques pour n < 100

>>> Nombres premiers longs

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>>> 1/53 - exemple de 4e catégorie

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