collection de nombres, nombres périodiques ou cycliques

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/02/2012 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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INDEX Représentation	Nombres périodiques	Développement fini	Développement cyclique
	142 857	Premiers longs	Analyse de cas
	Sommaire de cette page >>> Définition et notations >>> Génération des nombres périodiques >>> Conversion d’un nombre périodique en fraction >>> Permutations circulaires >>> Pourquoi périodique >>> Effet du nombre 33 >>> Anglais

NOMBRES PÉRIODIQUES

Nombre à décimales ayant une tranche de décimales qui se répètent.

Ex: 78/17 = 4,5882352941176470 5882352941176470 5882352941176470 …

Le saviez-vous:

1/9 = 0,111…

1/3 = 3/9 = 0,333…

C'est juste! Multiplions maintenant par 3:

9/9 = 0,999… = 1

Voir Nombres rationnels et 0,999…

Définition et Notations

Si la suite certains des chiffres d'un nombre à décimales se répètent, on dit que le développement décimal est périodique.

Voir Développement décimal dans DicoMot

Pour matérialiser sans ambiguïté les chiffres qui se répètent, les décimales récurrentes, on les surmonte d'un point sur chacun ou d'une barre sur le bloc de chiffres répétés.

Exemples

Fraction	Notation décimale développée	Notations Points	abrégées Barre
		.	_
1 / 3	0,3333…	0,3	0,3
		.	_
1 / 6	0,1666…	0,16	0,16
		. . . . . .	______
1 / 7	0,142 857 142 857 ….	0,142 857	0,142 857

Plus rarement, les décimales récurrentes sont mises entre parenthèses ou entre crochets.

Notation anglo-saxonne

En anglais, la virgule devient un point et le zéro initial est omis.

Bel exemple d'emploi de cette notation dans la résolution du célèbre puzzle du quatre-quatre. Elle permet d'obtenir le 9 avec seulement deux 4 de la manière suivante:

Propriétés

Le développement décimal des nombres fractionnaires, ou rationnels, ne sont pas tous périodiques. Certaines fractions tombent juste.
Exemple: 1/2 = 0,5.

On dit que le développement est limité.

Mais tous les nombres périodiques sont rationnels.
L'ensemble des rationnels est noté: .

Génération des nombres périodiques

Seuls les deux nombres premiers 2 et 5 n'engendrent pas de nombres périodiques. Ex: 11/2 = 5,5; 5/2 = 2,5
Un nombre divisé par 2 ou 5 engendre un nombre de même quantité de décimales ou une de plus.

Table des divisions des nombres de 2 à 10 par les nombres premiers de 2 à 23

Conversion d’un nombre périodique en fraction

Nous allons donner des exemples qui illustreront la procédure de conversion.

0,3333…

Nombre cyclique de période 1

Nombre	N	= 0,333…
Multiplication par 10	10 N	= 3,333…
Soustraction	9 N	= 3
Valeur de N	N	= 3/9 = 1/3

0,1212…

Nombre cyclique de période 2

Nombre	N	= 0,1212…
Multiplication par 100	100 N	= 12,1212…
Soustraction	99 N	= 12
Valeur de N	N	= 12/99 = 4/33

0,51212…

Nombre cyclique de période 2 avec partie fixe

Nombre	N	= 0,51212…
Multiplication par 100	100 N	= 51,21212…
Soustraction	99 N	= 50,7
Multiplication par 10 pour éliminer la décimale	10 x 99 N	= 507
Valeur de N	N	= 507/990 = 169/330

Voir Nombres cycliques et sommes infinies / Fraction pour approximer un irrationnel / Nombres en N/999…

Permutations circulaires

Il est curieux de constater que les fractions de même dénominateurs peuvent donner le même résultat, mais avec des chiffres qui se sont déplacés d'un cran ou de plusieurs (permutation circulaire).

Prenons toutes les fractions en n / 7

1/7 = 0,142857 142857 142857 ...

1 / 7	2 / 7	3 / 7	4 / 7	5 / 7	6 / 7
0,142857	0,285714	0,428571	0,571428	0,714285	0,857142

Les chiffres se répètent, avec une permutation circulaire.

La longueur du motif est: L_c = 6 et il est unique.

Pour comprendre pourquoi, le motif revient, il suffit d'écrire les valeurs de 10ⁿ / 7 en fractions:

1/7	10/7	100/7	1000/7	10000/7	100000/7
1/7	1 3/7	14 2/7	142 6/7	1428 4/7	14285 5/7
0,142857	1,4285714	14,2857142	142,8571428	1428,5714285	14285,7142857

Avec 3 en dénominateur

On trouve: 1/3 = 0,33 et 2/3 = 0,66
soit 2 motifs ou cycles de longueur 1.

Avec 11

On trouve: 5 cycles de longueur 2:

1	2	3	4	5
0,0909	0,1818	0,2727	0,3636	0,4545

6	7	8	9	10
0,5454	0,6363	0,7272	0,8181	0,9090

Observation

Calculons le rapport entre le nombre (N) et la longueur du cycle (L), et comparerons à la quantité de cycles (C) :

N	3	7	11
L	1	6	2
C	2	1	5
L .C	2	6	10

Il semblerait que le produit L .C soit égal au nombre moins un.

Voir Bilan des propriétés des nombres périodiques

Pourquoi périodique?

Lorsqu'on divise un nombre par un autre, le reste ne peut pas être plus grand que le diviseur.

On exprime le fait que la division de a par b donne un reste r par la relation ci-contre.

Pour trouver les décimales dans cette division, on divise 10 fois le reste. Cela donnera la première décimale.

Cherchons les décimales suivantes.

Le processus ne se répète pas sans fin, car au pire, toutes les valeurs du reste sont explorées et le reste suivant est forcément l'un de ceux déjà trouvé.

Sachant que le reste nul est exclu, il reste b-1 possibilités de restes et donc la même quantité de décimales possibles.

Soit la division de a par b: il existe b types de restes possibles: ce sont toutes les valeurs de 0 à b – 1.

Exemple: pour la division par 3, les restes possibles sont: 0, 1 et 2.

a	b	a = bQ + r
r	Q	a = bQ + r

La division et la relation

10r	b	Q,q₁
r₁	q₁	Q,q₁

Q est la partie entière du quotient et q₁ est la première décimale.

10r₁	b	Q,q₁q₂
r₂	q₂	Q,q₁q₂

La deuxième décimale.

Etc.

Le développement périodique de la fraction a/b comporte, au plus,

b – 1 décimales.

EFFET de 33

12, 12 12 12 12 …

= 400 / 33

= 2 / 0,165

Nombre cyclique

Celui-ci est un exemple

Voyez la liste ci-contre

Notez la répétition du multiple de 3

ENGLISH CORNER

Every rational number has a periodic or terminating decimal expansion.
The converse is also true: a periodic expansion always represents a rational number.

If the decimal expansion of a number:

terminates => regular number or finite decimal number;