NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRE PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Nombres périodiques

Développement fini

Développement cyclique

142 857

Premiers longs (cycle max)

Analyse de cas

Fractions en 1/99…99

Égalité 0,999 = 1

THÉORIE

 

Sommaire de cette page

>>> Définition et notations

>>> Génération des nombres périodiques

>>> Conversion d’un nombre périodique en fraction

>>> Permutations circulaires

>>> Pourquoi périodique

>>> Période maximale

>>> Effet du nombre 33

>>> Quotients périodiques en 0,1

>>> Périodiques pannumériques

>>> Anglais

 

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

Développement décimal périodique

 

 

Nombre à décimales ayant une tranche de décimales qui se répètent.

 

Ex: 78/17 = 4,5882352941176470 5882352941176470 5882352941176470

 

Le bloc de chiffres répété est appelé période ou tranche récurrente (anglais: repetend).

Beauté de la période:

coupée en deux

les chiffres somment en 9.

58 823 529

41 176 470

99 999 999

 

Théorème

 

Tout quotient de deux entiers possède

une écriture décimale finie ou périodique.

 

 

Voir Développement décimal d'un nombre / Nombres à permutations circulaires

 

 

Observation

Voir Division posée  /  Explications détaillées en Période

 

 

Le saviez-vous

C'est juste!

Multiplions maintenant

par 3:

 

Voir Nombres rationnels et 0,999…

 

 

Définition et Notations

 

*       Si la suite certains des chiffres d'un nombre à décimales se répètent, on dit que le développement décimal est périodique.

Voir  Développement décimal dans DicoMot

 

*       Pour matérialiser sans ambiguïté les chiffres qui se répètent, les décimales récurrentes, on les surmonte d'un point sur chacun ou d'une barre sur le bloc de chiffres répétés.

 

Exemples

 

Fraction

Notation décimale

développée

Notations

Points

abrégées

Barre

 

 

    .

   _

1 / 3

0,3333…

0,3

0,3

 

 

      .

     _

1 / 6

0,1666…

0,16

0,16

 

 

    . . .  . . .

    ______

1 / 7

0,142 857 142 857 ….

0,142 857

0,142 857

 

 

 

 

Plus rarement, les décimales récurrentes sont mises entre parenthèses ou entre crochets.

Notation anglo-saxonne

*       En anglais, la virgule devient un point et le zéro initial est omis.

*       Bel exemple d'emploi de cette notation dans la résolution du célèbre puzzle du quatre-quatre. Elle permet d'obtenir le 9 avec seulement deux 4 de la manière suivante:

 

Notation indienne

*       On trouve parfois un "i" à la fin de la période. 1/7 = 0,142857 i

 

Propriétés

*       Le développement décimal des nombres fractionnaires, ou rationnels, ne sont pas tous périodiques. Certaines fractions tombent juste.
                         Exemple:  1/2 = 0,5.

On dit que le développement est limité.
 

*       Mais tous les nombres périodiques sont rationnels.
L'ensemble des rationnels est noté:
.

 

 

 

Curiosité avec 14

La fraction 1 / 14 présente une bien étrange curiosité.
Ses chiffres:

*    reprennent le 14 du dénominateur;

*    avec sa moitié (7) et son double (28); et

*    le 5 suivant ponctuant le fait que cela fait 5 chiffres.

 

 

 

Génération des nombres périodiques

 

*    Seuls les deux nombres premiers 2 et 5 n'engendrent pas de nombres périodiques. Ex: 11/2 = 5,5; 5/2 = 2,5
Un nombre divisé par 2 ou 5 engendre un nombre de même quantité de décimales ou une de plus.

 

Table des divisions des nombres de 2 à 10 par les nombres premiers de 2 à 23



 

 

Conversion d’un nombre périodique en fraction

 

*       Nous allons donner des exemples qui illustreront la procédure de conversion.

 

0,3333…

Nombre cyclique de période 1

Nombre

N

= 0,333…

Multiplication par 10

10 N

= 3,333…

Soustraction

9 N

= 3

Valeur de N

N

= 3/9 = 1/3

 

0,1212…

Nombre cyclique de période 2

Nombre

N

=   0,1212…

Multiplication par 100

100 N

= 12,1212…

Soustraction

99 N

= 12

Valeur de N

N

= 12/99 = 4/33

 

0,51212…

Nombre cyclique de période 2 avec partie fixe

Nombre

N

=   0,51212…

Multiplication par 100

100 N

= 51,21212…

Soustraction

99 N

= 50,7

Multiplication par 10

pour éliminer la décimale

10 x 99 N

= 507

Valeur de N

N

= 507/990 = 169/330

 

 

Voir Nombres rationnels / Nombres cycliques et sommes infinies /

Fraction pour approximer un irrationnel / Nombres en N/999…

 

 

 

Permutations circulaires

 

*       Il est curieux de constater que les fractions de même dénominateurs peuvent donner le même résultat, mais avec des chiffres qui se sont déplacés d'un cran ou de plusieurs (permutation circulaire).

 

Prenons toutes les fractions en n / 7

 

1/7 = 0,142857 142857 142857 ...

 

1 / 7

2 / 7

3 / 7

4 / 7

5 / 7

6 / 7

0,142857

0,285714

0,428571

0,571428

0,714285

0,857142

 

*       Les chiffres se répètent, avec une permutation circulaire.

*       La longueur du motif est:  Lc = 6  et il est unique.

  

*       Pour comprendre pourquoi, le motif revient, il suffit d'écrire les valeurs de 10n / 7 en fractions:

 

1/7

10/7

100/7

1000/7

10000/7

100000/7

1/7

1 3/7

14 2/7

142 6/7

1428 4/7

14285 5/7

0,142857

1,4285714

14,2857142

142,8571428

1428,5714285

14285,7142857

 

Avec 3 en dénominateur

 

*       On trouve: 1/3 = 0,33  et 2/3 = 0,66
soit 2 motifs ou cycles de longueur 1.

 

Avec 11

*       On trouve: 5 cycles de longueur 2:

 

  1

2

3

4

5

0,0909

0,1818

0,2727

0,3636

0,4545

 

6

7

8

9

10

0,5454

0,6363

0,7272

0,8181

0,9090

  

Observation

*       Calculons le rapport entre le nombre (N) et la longueur du cycle (L), et comparerons à la quantité de cycles (C) :

 

N

3

7

11

L

1

6

2

C

2

1

5

L .C

2

6

10

 

*       Il semblerait que le produit L .C soit égal au nombre moins un.

 

Voir Bilan des propriétés des nombres périodiques

 

Pourquoi périodique?

 

*      Lorsqu'on divise un nombre par un autre, le reste ne peut pas être plus grand que le diviseur.

 

 

 

*      On exprime le fait que la division de a par b donne un reste r par la relation ci-contre.

 

*      Pour trouver les décimales dans cette division, on divise 10 fois le reste. Cela donnera la première décimale.

 

*      Cherchons les décimales suivantes.

 

*      Le processus ne se répète pas sans fin, car au pire, toutes les valeurs du reste sont explorées et le reste suivant est forcément l'un de ceux déjà trouvé.

 

*      Sachant que le reste nul est exclu, il reste b-1 possibilités de restes et donc la même quantité de décimales possibles.

 

 

Soit la division de a par b: il existe b types de restes possibles: ce sont toutes les valeurs de 0 à b – 1.

Exemple: pour la division par 3, les restes possibles sont: 0, 1 et 2.

 

a

b

a = bQ + r

r

Q

La division et la relation

 

10r

b

Q,q1

r1

q1

Q est la partie entière du quotient et q1 est la première décimale.

 

10r1

b

Q,q1q2

r2

q2

La deuxième décimale.

 

Etc.

 

 

 

Le développement périodique de la fraction a/b comporte, au plus,

b – 1 décimales.

 

 

 

Période maximale

 

Les nombres suivants possèdent la périodicité maximale possible.
En fait période p = n – 1; r étant la période répétitive.

 

n = 17   p = 16   r = 0588235294 117647

n = 19   p = 18   r = 0526315789 47368421

n = 23   p = 22   r = 0434782608 6956521739 13

n = 29   p = 28   r = 3448275862 0689655172 4137931

n = 47   p = 46   r = 0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617

n = 59   p = 58   r = 1694915254 2372881355 9322033898 3050847457 6271186440 67796610

n = 61   p = 60   r = 1639344262 2950819672 1311475409 8360655737 7049180327 8688524590

n = 97   p = 96   r = 1030927835 0515463917 5257731958 7628865979 3814432989 6907216494 8453608247 4226804123 7113402061 855670

 

Propriété fabuleuse

La période r possède un nombre pair de chiffres. La somme de la première moitié avec la seconde produit un repdigit en 9 et cela se démontre.

 

Avec certains, il est possible de diviser en trois parties:

1/7 = 0,142857....  et 142 + 857 = 999 de même: 14 + 28+ 57 = 99.

 

Conjecture

Ces nombres premiers particuliers, dits premiers longs, sont en nombre infini et leur densité tend vers la constante d'Artin.

 

C = 0,373 955 813 6…

 

Voir Conjecture / Nombre 0, 373… / Division védique

 

 

EFFET de 33

 

12, 12 12 12 12

= 400 / 33

= 2 / 0,165

 

Nombre cyclique

Celui-ci est un exemple

Voyez la liste ci-contre

Notez la répétition du multiple de 3

 

 

 

 

 

QUOTIENTS PÉRIODIQUES en 0,1

 

0, 10 10 10

=

10 /

99

0, 11 11 11 11

=

11 /

99

0, 12 12 12 12

=

12 /

99

0, 13 13 13 13

=

13 /

99

 

 

Etc.

 

0, 10 20 30 40 50 60 70 80 9 10 11 12 13 14 ...

=

1 000  /

9 801

0, 100 200 300 400 500 600 …

=

2001 /

19970

0, 1000 2000 3000 4000 5000 …

=

19501 /

194971

 

 

Etc.

 

0, 11 22 33 44 55 66 77 89 00 11 22 33 44 ...

=

100  /

891

0, 111 222 333 444 555 666 777 889 000 111 ...

=

1 000  /

8 991

0, 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 ...

=

10 000  /

89 991

0, 11111 22222 33333 44444...

=

11 111  /

99 998

0, 111111 222222 333333 444444...

=

111111 /

999998

 

 

Etc.

 

 

 

 

Périodiques pannumériques

= 0,12345679 0123456790 …

= 0,123456789 0123456789 01234 ...

= 0,123456789 123456789 1234 ...

= 0,123456000

= 0,98765432 0987…

= 0,987654321 0987654321 …

 

 

ENGLISH CORNER

 

*      Repeating or recurring decimals

 

*      Every rational number has a periodic or terminating decimal expansion.
The converse is also true: a periodic expansion always represents a rational number.

 

*      If the decimal expansion of a number:

*    terminates => regular number or finite decimal number;

*    becomes periodic => repeating decimal number; or

*    continues infinitely without repeating => irrational number.

 

*      Le trait de surligement pour noter la période est baptisé: vinculum.

 

 

 

 

 

 

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Voir

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Aussi

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*    Nombre 17

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Renvois de liens

>>> Nombre de cycles et leur longueur

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