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SYSTÈMES d'ÉQUATIONS en 100 Vers l'an 900, Abu Kamil publie un livre dans lequel, pour la première fois,
on compte la quantité de solutions à un problème.
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Pour une mise en bouche,
voici un système d'équations dont les solutions sont bien sympathiques:
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Il s'agit du système
d'équation suivant:
Il fut surpris de constater
qu'il y avait plusieurs solutions, comme:
Et, il se met à compter ces
solutions. Surprise! Il en trouve 2 678. Il décide à faire un livre sur les
problèmes ayant 0 ou 1 ou plusieurs solutions: "le livre des raretés
mathématiques". |
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Programme simple à boucles,
analysant toutes les possibilités, et imprimant (lprint)
toutes les solutions pour lesquelles: X = 100 et Y = 100. Programme
Le compteur kt permet de connaître la quantité de solutions. Il est
incrémenté à chaque occurrence. Sa valeur est imprimée en fin d'exécution du
programme. Notes: les plages d'exploration (a de 20 à 40, par exemple) correspondent à l'essai dont les résultats sont
présentés ci-dessous. Le programme donne toutes les solutions, même celles
avec des termes fractionnaires. Le
début du tableau des solutions
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Statistiques sur cette
plage de calcul |
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YF
nombre total d'occurrences. YE
nombre d'occurrences non fractionnaires. |
Temps de calcul |
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Avant de lancer le
programme sur toute la plage (1 à 100 pour tous les termes) estimons le temps
de calcul.
C'est beaucoup!
Peut-on limiter cette durée? |
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a MAXIMUM
On peut pousser le
raffinement en constatant que c, d et e valent 1 au minimum
a MINIMUN On donne le minimum
aux termes a, c, d et e
Solution minimale:
6, ,85 , 2 , 3 , 4. Et, a Min = 6.
Remarquons la construction d'une gamme de solutions de
ce type.
On
retiendra
Au lieu d'explorer
a jusqu'à 100, on se limite à 50. |
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Trois possibilités
d'exploration pour b, avec a allant toujours de 0 à 50:
Le troisième mode
d'exploration divise par 2 le nombre de cas à considérer. |
PLAGE de CALCUL pour c, d
et e |
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Plage
pour c
On a encore gagné
un facteur 2 Plage
pour d
On a encore gagné
un facteur > 2 Plage
pour e
On a encore gagné
un facteur > 2 Bilan
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YF
nombre d'occurrences total YE
nombre d'occurrences valides (pas de fractions)
Abu Kamil avait vu juste.À la main, lui! |
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Équation - Glossaire |
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