NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉQUATIONS

 

Débutants

Équations

SYSTÉMES

 

Glossaire

Équations

 

 

INDEX

Équations

 

Général

En 100

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Système singulier

>>> Les équations d'Abu Kamil

>>> Calcul des solutions

>>> Calcul de a min & a max

>>> Plage de calcul pour b, c, d et e

>>> Solutions

 

 

 

 

 

SYSTÈMES d'ÉQUATIONS en 100

 

 

Vers l'an 900, Abu Kamil publie un livre dans lequel, pour la première fois, on compte la quantité de solutions à un problème.

 

 

 

Un système à solution singulières

 

*      Pour une mise en bouche, voici un système d'équations dont les solutions sont bien sympathiques:

 

 

 

  

LES ÉQUATIONS D'ABU KAMIL

 

*       Il s'agit du système d'équation suivant:

 

 X =

a + b + c + d + e

= 100

Y =

2.a + b + c/2 + d/3 + e/4

= 100

 

*      Il fut surpris de constater qu'il y avait plusieurs solutions, comme:

a

b

c

d

e

X

2a

b

c/2

d/3

e/4

Y

31

21

18

6

24

100

62

21

9

2

6

100

24

39

14

3

20

48

39

7

1

5

24

40

10

6

20

48

40

5

2

5

 

 

*      Et, il se met à compter ces solutions. Surprise! Il en trouve 2 678.

 

*      Il décide à faire un livre sur les problèmes ayant 0 ou 1 ou plusieurs solutions: "le livre des raretés mathématiques".

   

 

 

CALCUL DES SOLUTIONS

 

*      Programme simple à boucles, analysant toutes les possibilités, et imprimant (lprint) toutes les solutions pour lesquelles: X = 100 et Y = 100.

 

 

Programme

kt:=0:

for a from 20 to 40 do

for b from 20 to 40 do

for c from  1 to 20 do

for d from  1 to 10 do

for e from 20 to 30 do

      X:=a + b + c + d + e;

  if X=100 then

      Y:= 2*a + b + c/2 + d/3 + e/4;

        if Y=100 then
lprint (a,b,c,d,e,X,2*a,b,c/2,d/3,e/4,Y);

          kt:=kt+1;

        fi;

  fi;

od;od;od;od;od;

kt;

 

24, 39, 14, 3, 20, 100, 48, 39, 7, 1, 5, 100

24, 40, 10, 6, 20, 100, 48, 40, 5, 2, 5, 100

24, 40, 11, 3, 22, 100, 48, 40, 11/2, 1, 11/2, 100

Etc…

 

*      Le compteur kt permet de connaître la quantité de solutions. Il est incrémenté à chaque occurrence. Sa valeur est imprimée en fin d'exécution du programme.

 

Notes: les plages d'exploration (a de 20 à 40, par exemple) correspondent à l'essai dont les résultats sont présentés ci-dessous. Le programme donne toutes les solutions, même celles avec des termes fractionnaires.

 

Le début du tableau des solutions

 

a

b

c

d

e

X

2a

b

c/2

d/3

e/4

Y

24

39

14

3

20

100

48

39

7

1

5

100

24

40

10

6

20

48

40

5

2

5

24

40

11

3

22

48

40

11/2

1

11/2

25

36

16

3

20

50

36

8

1

5

25

37

12

6

20

50

37

6

2

5

25

37

13

3

22

50

37

13/2

1

11/2

25

38

8

9

20

50

38

4

3

5

25

38

9

6

22

50

38

9/2

2

11/2

 

 

 

 

 

Statistiques sur cette plage de calcul

 

Plage

a

20 à 40

b

20 à 40

c

1 à 20

d

1 à 10

e

20 à 30

Calculs

Nombre de calculs

8 105

Durée d'exécution

12 s

Durée d'un calcul

15 m s (15 10-6)

Occurrences

X = 100

33110

YF = 100

112

YE = 100

56

Valeurs

a minimum

24, 39, 14, 3, 20

b minimum

32, 21, 10, 9, 28

YF nombre total d'occurrences.

YE nombre d'occurrences non fractionnaires. 

 

 

 

Temps de calcul

 

*      Avant de lancer le programme sur toute la plage (1 à 100 pour tous les termes) estimons le temps de calcul.

 

Plage

a

1 à 100

b

1 à 100

c

1 à 100

d

1 à 100

e

1 à 100

Calculs

Nombre de calculs

1010

Durée d'un calcul

15 m s

Durée d'exécution

15 x 1010 m s

15 x 104 s

150 000 s

41,6 heures

 

*      C'est beaucoup! Peut-on limiter cette durée?
Oui! En élimant les cas impossibles flagrants.

  

 

 

CALCUL de a Min & a Max

 

a MAXIMUM

 

Y =

2.a + b + c/2 + d/3 + e/4

= 100

=>

2.a

 100

ou

a Max = 50

 

 

*      On peut pousser le raffinement en constatant que c, d et e valent 1 au minimum

Y =

2.a + b + c/2 + d/3 + e/4

= 100

b, c, d, e min =>

2.a + 1 + 1 + 1 + 1

= 100

=>

2.a

 94

ou

a Max = 48

 

 

 

 

a MINIMUN

 

*      On donne le minimum aux termes a, c, d et e
Faisons: X = 100 & Y = 100
Que vaut b dans les 2 cas?
Solution que si ces deux valeurs sont égales.

 

a

b

c

d

e

X

2a

b

c/2

d/3

e/4

Y

1

90

2

3

4

100

2

95

1

1

1

100

2

89

2

3

4

4

93

1

1

1

3

88

2

3

4

6

91

1

1

1

4

87

2

3

4

8

89

1

1

1

5

86

2

3

4

10

87

1

1

1

6

85

2

3

4

12

85

1

1

1

7

82

4

3

4

14

82

2

1

1

8

79

6

3

4

16

79

3

1

1

9

76

8

3

4

18

76

4

1

1

 

*      Solution minimale: 6, ,85 , 2 , 3 , 4. Et,  a Min = 6.

 

*      Remarquons la construction d'une gamme de solutions de ce type.

a

b

c

d

e

X

2a

b

c/2

d/3

e/4

Y

+1

-3

+2

 

 

 

+2

-3

+1

 

 

 

 

 

On retiendra

a

Min

Max

Calcul

6

48

Approximation

1

50

 

*      Au lieu d'explorer a jusqu'à 100, on se limite à 50.
Durée de calcul: 41,6 / 2 = 20,8 heures.

 

 

 

-PLAGE de CALCUL pour b

 

X =

a + b + c + d + e

= 100

=>

a + b

 100

ou

b Max = 100 – a

 

 

 

Y =

2.a + b + c/2 + d/3 + e/4

= 100

=>

2.a + b

 100

ou

b Max = 100 – 2.a

 

 

 

 

 

*      Trois possibilités d'exploration pour b, avec a allant toujours de 0 à 50:

 

b

Surface

Aire

0 à 100

Grand rectangle

50 x 100 =

5 000

0 à b Max =100 - a

Totale colorée

50 x 50 + 1/2 x 50 x 50 =

3 750

0 à b Max =100 - 2.a

Jaune

1/2 x 50 x 100 =

2 500

 

*      Le troisième mode d'exploration divise par 2 le nombre de cas à considérer.
Durée de calcul: 20,8 / 2 = 10,4 heures.

 

 

 

 

PLAGE de CALCUL pour c, d et e

 

Plage pour c

 

X =

a + b + c + d + e

= 100

=>

a + b + c

 100

ou

c Max = 100 - a - b

 

 

*      On a encore gagné un facteur 2
Durée de calcul: 10,4 / 2 = 5,2 heures.

 

Plage pour d

X =

a + b + c + d + e

= 100

=>

a + b + c + d

 100

ou

d Max = 100 - a - b - c

 

 

*      On a encore gagné un facteur > 2
Durée de calcul: 5,2 / 2 = 2,6 heures.

 

Plage pour e

X =

a + b + c + d + e

= 100

ou

e Max = 100 - a - b - c - d

 

 

*      On a encore gagné un facteur > 2
Durée de calcul: 2,6 / 2 = 1,3 heures.

 

Bilan

 

Min

Max

a

1

50

b

1

100 – 2.a

c

1

100 – a – b

d

1

100 – a – b – d

e

1

100 – a – b – d – e

 

 

 

 

SOLUTIONS

 

Maximum

a

50

b

100 - 2.a

c

100 - a - b

d

100 - a - b - c

e

100 - a - b - c - d

Calculs

Durée des calculs

940 s

Soit: 15, 6 minutes

Nombre d'itérations

70 819 700

Durée d'un calcul

13,4 m s

Occurrences

X = 100

3 322 200

YF = 100

2 678

YE = 100

1 233

Valeurs

a minimum

6, 85, 2, 3, 4

a maximum

42, 1, 2, 3, 52

YF nombre d'occurrences total

YE nombre d'occurrences valides (pas de fractions)

 

 

*      Abu Kamil avait vu juste.À la main, lui!

  

 

 

 

 

Suite

*    Système d'équations

*    Équation - Glossaire

Voir

*    Nombre 100

*    Équation de Pell

*    Partition et somme de puissances

*    Triplets de Pythagore