Équation de Pell

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ÉQUATION DE PELL-FERMAT

Cette équation a une infinité de solutions si n n'est pas un carré (n'a pas de facteur carré).

Nommée d'abord, et à tord, du nom du mathématicien anglais John Pell (1610-1685), par Euler (1707-1783).

Archimède (-287 / -212) puis Bhaskara (600 / 680) ont tenté de résoudre cette équation.

Le mathématicien indien Brahmagupta (598-670) est le premier à avoir décrit l'ensemble des solutions de cette équation.

Fermat (1601-1665) exhume cette équation oubliée. Il conjecture qu'elle a une infinité de solutions.

Lagrange (1736-1813) le prouve un siècle plus tard.

Exemple historique

32 188 120 829 134 849²

– 313 x 1 819 380 158 564 160² = 1

Équation de Pell pour n = 313:

1657: William Brouncker trouve les relations qui relient la fraction continue d'un nombre quadratique à l'équation de Pell-Fermat.

Bernard Frénicle résout l'équation pour n jusqu'à 150.

Il défie Brouncker de trouver la solution pour n = 313 tout en précisant que lui, il l'a trouvée en quelques heures.

APPROCHE

Quels sont les carrés égaux au double d'un autre à un près?

Exemple

5² = 25

Son double = 50

Or 7² = 49 = 50 – 1

Note: Il est possible de généraliser à m près.

Équation diophantienne de PELL

Une équation diophantienne ne comporte que des coefficients entiers.

Une équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne de la forme indiquée, avec n positif et non carré.

Équation de Pell

Exemple

3² = 2 x 2² + 1

ÉQUATIONS de PELL particulières
Équation de Pell en cube et carré. x² = y³ + 1 x³ = y² – 1 Cette équation sous une forme ou une autre ne possède qu'une seule solution avec les nombre 8 et 9. Équation de Catalan.	3² = 2³ + 1 2³ = 3² – 1
Par contre, cette équation de Pell n'a pas de solution x² = y² + 1 Les tableaux montrent les autres possibilités d'équations, toutes sans solution sauf celle en x² et y³.	Exemple de lecture x² = y² + 1 => N (Non), aucune solution. * hors solution triviale x = 0, y = 1
En passant de 1 à 0. x³ = y² + 0 Solutions possible avec cube = carré. Solutions également évidentes: tous les y sont des carrés: y = t² => x² = (t²)³ & x = t³		T = trivial O = oui, solutions; voir ci-contre

Équation de PELL – Résolution de n = 2
Lorsqu'on cherche quels sont les carrés égaux au double d'un autre à un près, on fait appel à un merveilleux outil mathématique: les fractions continues.
En l'occurrence la fraction continue de racine de 2. Lorsque la fraction continue est tronquée, la fraction correspondante est appelée réduite de racine de 2.
Miracle ou magie! Numérateur et dénominateur sont solutions de l'équation de Pell.	N² – 2D² = 1
Fraction continue de racine de 2:	2 = [1; 2, 2, 2 …]

Voici les quatre premières réduites de racine de 2. Anglais: convergents.	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

Exemples de solutions de l'équation de Pell. Il y en a une infinité. Elles alternent en positif et négatif; positives lorsque le dénominateur est pair.	1² – 2 x 1²	= –1
	3² – 2 x 2²	= 1
	7² – 2 x 5²	= –1
	17² – 2 x 12²	= 1

Les réduites de racines de 2 et vérification de l'équation de Pell

Explication
Que les réduites donnent des valeurs proches, nous n'en sommes pas très étonnés. Le théorème de la meilleure approximation dit que: Si la réduite s'écrit N/D, alors l'écart entre ce nombre rationnel et le nombre irrationnel qu'elle représente est inférieur à 1/D².		Écart selon le théorème: 1/25 = 0,04
La différence est extrêmement petite
Si nous disposons d'une solution avec a et b.	a² – n.b²		= 1
En divisant par b²:
Développement:
En divisant par le 2^e facteur:
Le deuxième membre est très petit, surtout si b est grand.			= très petit
La fraction est très voisine de la racine de n.
Pourquoi une solution de l'équation de Pell est une réduite de racine de n?
Soit a et b une solution:	a² – n.b²			= 1
Développement:	(a – b) (a + b			= 1
En divisant par le 2^e facteur	(a – b)
Le dénominateur est positif	(a – b)			> 0
Soustraction du 2^e terme	a			> b
Calculons cette expression, en multipliant en haut et en bas par le conjugué
Reprenons notre inégalité

En diminuant le dénominateur, on augmente la valeur de la fraction.
C'est précisément la condition pour que a/b soit une réduite de racine de n.