NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Équations

 

Débutants

Équations

Équation de Pell-Fermat

 

Glossaire

Équations diophantiennes

 

 

INDEX

 

Équations

 

Général

 

Équation de Pell

Exemples

N termes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Pell particulières

>>> Résolution avec n = 2

>>> Solutions

>>> Explications

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

ÉQUATION DE PELL-FERMAT

 

 

*      Cette équation a une infinité de solutions si n n'est pas un carré (n'a pas de facteur carré).

*      Nommée d'abord, et à tord, du nom du mathématicien anglais John Pell (1610-1685), par Euler (1707-1783).

*      Archimède (-287 / -212) puis Bhaskara (600 / 680) ont tenté de résoudre cette équation.

*      Le mathématicien indien Brahmagupta (598-670) est le premier à avoir décrit l'ensemble des solutions de cette équation.

*      Fermat (1601-1665) exhume cette équation oubliée. Il conjecture qu'elle a une infinité de solutions.

*      Lagrange (1736-1813) le prouve un siècle plus tard.

 

 

 

APPROCHE

 

Quels sont les carrés égaux au double d'un autre à un près?

 

Exemple

5² = 25

Son double = 50

Or 7² = 49 = 50 – 1

 

Note: Il est possible de généraliser à m près.

 

 

 

 

 

 

 

Équation diophantienne de PELL

 

Une équation diophantienne ne comporte que des coefficients entiers.

 

Une équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne de la forme indiquée, avec n positif et non carré.

 

Équation de Pell

 

 

Exemple

3² = 2 x 2² + 1

 

Suite Exemples d'équations de Pell

 

 

 

ÉQUATIONS de PELL particulières

 

Équation de Pell en cube et carré.

 

x² = y3 + 1
x3 = y2 – 1

 

Cette équation sous une forme ou une autre ne possède qu'une seule solution avec les nombre 8 et 9. Équation de Catalan.

 

3² = 23 + 1

23 = 3² – 1  

 

Par contre, cette équation de Pell n'a pas de solution

 

x² = y² + 1

 

 

Les tableaux montrent les autres possibilités d'équations, toutes sans solution sauf celle en x2 et y3.

 

 

 

 

Exemple de lecture

x² = y² + 1 => N (Non), aucune solution.

 

* hors solution triviale x = 0, y = 1

 

 

En passant de 1 à 0.

 

x3 = y² + 0

 

Solutions possible avec cube  = carré.

 

Solutions également évidentes: tous les y sont des carrés: y = t²

=> x² = (t²)3   & x = t3

 

 

T = trivial

O = oui, solutions; voir ci-contre

 

 

 

Équation de PELL – Résolution de n = 2

 

Lorsqu'on cherche quels sont les carrés égaux au double d'un autre à un près, on fait appel à un merveilleux outil mathématique: les fractions continues.

 


 

 

 

 

En l'occurrence la fraction continue de racine de 2. Lorsque la fraction continue est tronquée, la fraction correspondante est appelée réduite de racine de 2.

 

 

 

Miracle ou magie! Numérateur et dénominateur sont solutions de l'équation de Pell.

 

N² – 2D² =  1

Fraction continue de racine de 2:

2 = [1; 2, 2, 2 …]

 

Voici les quatre premières réduites de racine de 2.

 

Anglais: convergents.

(1)

(2)

(3)

(4)

 

Exemples de solutions de l'équation de Pell.

 

Il y en a une infinité. Elles alternent en positif et négatif; positives lorsque le dénominateur est pair.

  – 2 x 1²

= –1

  – 2 x 2²

= 1

  – 2 x 5²

= –1

17²  – 2 x 12²

= 1

 

Les réduites de racines de 2 et vérification de l'équation de Pell

Voir Tables des réduites

 

 

 

Explication

 

Que les réduites donnent des valeurs proches, nous n'en sommes pas très étonnés.

 

Le théorème de la meilleure approximation dit que:

 

Si la réduite s'écrit N/D, alors l'écart entre ce nombre rationnel et le nombre irrationnel qu'elle représente est inférieur à 1/D².

 

 


 

 

 

 

Écart selon le théorème: 1/25 = 0,04

La différence est extrêmement petite

Si nous disposons d'une solution avec a et b.

a² – n.b²

= 1

En divisant par b²:

Développement:

En divisant par le 2e facteur:

Le deuxième membre est très petit, surtout si b est grand.

= très petit

La fraction est très voisine de la racine de n.

Pourquoi une solution de l'équation de Pell est une réduite de racine de n?

Soit a et b une solution:

a² – n.b²

= 1

Développement:

(a – b) (a +  b

= 1

En divisant par le 2e facteur

(a – b)

Le dénominateur est positif

(a – b)

> 0

Soustraction du 2e terme

a

> b

Calculons cette expression, en multipliant en haut et en bas par le conjugué

Reprenons notre inégalité

 

 

 

En diminuant le dénominateur, on augmente la valeur de la fraction.

 

 

C'est précisément  la condition pour que a/b soit une réduite de racine de n.

 

 

Bilan

 

 

Les solutions de cette équation sont les paires (numérateur / dénominateur) des réduites de racine de n.

Cette page montrait l'exemple pour n = 2.

Voir Énigme du numéro de la villa comme belle application

 

 

 

 

 

Suite

*         Pell – exemples

*           Nombres (ou suite) de Pell

*           Réduites d'un nombre irrationnel

Voir

*         10e problème de Hilbert

*         Calcul mentalIndex

*         Équation diophantienneGlossaire

*         GéométrieIndex

*           Les bœufs d'Hélios

*         Partition et somme de puissances

*           Racine de 2

*         Théorie des nombresIndex

*           Triplets de Pythagore

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