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Atlas / Nombres / Algèbre

Équation du deuxième degré / Diophantiennes / Différentielles

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ÉQUATIONS

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Vocabulaire des équations

>>> Résolution des équations

>>> Types d'équations

 

Voir INDEX ÉQUATIONS >>>

 

 

Approche

*        Gérard et Gilbert ont autant de billes; si on y ajoute les 5 de Daniel, ils ont 25 billes; combien de billes a Gérard?

On pose x la quantité de billes de Gérard.

Gilbert en a x aussi; et a tous les deux cela fait x + x = 2x

Avec celles de Daniel cela fait 2x + 5, ce qui donne le total de billes dont on nous dit que c'est 25.

On note l'égalité: 2x + 5 = 25

Retirons 5 billes de chaque côté (ce qui ne change pas l'équilibre de l'égalité): 2x = 20

La quantité de billes de Gérard, comme celle de Gilbert est donc 10

Vérifions: 2 x 10 + 5 = 25, c'est juste!

 

*        Nous venons de poser une équation (2x + 5 = 25) et de la résoudre (x = 10).

Définition

*        Égalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs de la ou les inconnues.

Résoudre une équation f(x) = g(x),

où f et g sont des applications d'un ensemble E dans un ensemble H,

c'est déterminer les éléments a de E

(appelés racines ou solutions de l'équation)

pour lesquels l'égalité f(a) = g(a) est vérifiée.

f(x) et g(x) sont les deux membres de l'équation,

x est l'inconnue.

 

 

Racines

*        Les racines sont telles que le polynôme prend une valeur nulle.

x2 – 11x + 30

5² – 11 x 5 + 30 = 0    5 est une racine

6² – 11 x 6 + 30 = 0    6 est une racine

 

*        La connaissance des racines permet de factoriser le polynôme.

x2 – 11x + 30 = (x – 5) (x – 6) 

 

Vocabulaire des équations

Équation

*        Égalité de la forme:

f(x) = g(x)

Membres

*        Chacune des parties:

f(x) & g(x)

Inconnue

*        La variable:

x

Résoudre

*        Trouver la valeur de x  pour

f(x) = g(x)

Solution

 ou racine

*        Vérification de l'égalité pour:

f(a) = g(a)

Réduire

*        Ramener l'équation à une équation équivalente plus simple, et si possible de type connu

 

Type

*        Équation à plusieurs variables

x, y, z …

*        Équation algébrique

P(x) = 0

L'équation du cercle est une équation algébrique: x²  + y² = 1. Elle définit un lieu géométrique qui est appelé une variété algébrique.

Degré

*        Degré du polynôme P(x)

n

dans axn + bxn-1 +…

2e degré

*        Équation de la forme

ax² + bx + c = 0

Système

*        Combinaison de plusieurs équations dont il faut chercher les solutions communes

ax + by + c = 0

a'x + b'y +c' = 0

Voir Dicomot des Maths

 

Résolution des équations de plus en plus dur

Les équations algébriques étudiées au collège puis au lycée ne sont que le commencement d'une longue liste d'équations plus ou moins facile à résoudre.

 

Les solutions sont des nombres réels ou complexes.

 

 

Équation algébrique ou polynômiale

du second degré

ax² + bx  + c = 0

 

Exemple

x² + 3x + 2 = 0

(x + 2)(x + 1) = 0

x1 = et x2 = – 1  

 

En fin de lycée, on aborde les équations différentielles  et intégrales qui au lieu de considérer une ou plusieurs inconnues, impliquent la variation dans le temps ou dans l'espace de ces inconnues.

 

Les solutions sont des fonctions ou combinaison de fonctions.

 

 

Équation différentielle du deuxième ordre

Exemple

Trois écritures équivalentes

 

Solutions

 

Vérification avec c1 = 1 et c2 = 1

y =

y' = exp(t) – 3 exp(-3x)

y"= exp(t) + 9 exp(-3x)

  exp(t) + 9 exp(-3x) + 2 exp(t) – 6 exp(-3x) – 3 exp(t) – 3 exp(-3x) = 0

 

 

Méthodes algébriques (comme exposé ci-dessus)

La résolution des équations différentielles n'est pas toujours évidente. Elles n'ont pas toujours (même pas souvent) une solution analytique (sous forme de fonctions).

 

Méthodes topologiques

Au début du XXe siècle, on a commencé à utiliser des méthodes topologiques (graphiques) pour obtenir au moins des informations qualitatives sur les solutions, comme par exemple: sont-elles périodiques? Malheureusement encore bon nombre d'équations différentielles échappent à cette méthode, par exemple celles qui ont plusieurs périodes lesquelles peuvent être enchevêtrées de façon assez complexe.

 

Méthodes numériques avec ordinateurs

Durant les dernières décennies, les méthodes numériques se sont développées avec l'usage des ordinateurs.

Cependant, ce n'est pas encore suffisant pour toutes ces équations sensibles à la moindre variation des conditions initiales. Sans compter sur le cumul exponentiel des erreurs d'approximation. Même en augmentant la capacité des ordinateurs certaines équations résisteront toujours à donner une solution.

 

Méthodes ergodiques

Alors, les mathématiciens ont recours à une méthode basée sur les probabilités, faisant partie de la théorie de la mesure, dite théorie ergodique. Elle transpose un problème de dynamique (souvent temporel) en examen de probabilités à un instant donné. En gros, et c'est une image, elle repose sur le fait que la croissance d'un arbre dans la forêt au cours des années serait observable en regardant simplement l'ensemble de ses congénères à un instant donné.

 

Voir Divers types d'équations différentielles en physique

 

 

 

Types d'équations

Autres

*        Équations à coefficients entiers

*        Équations aux dérivées partielles

*        Équations aux différences finies

*        Équations canoniques

*        Équations caractéristiques

*        Équations cyclotomiques (racine de l'unité)

*        Équation d'Einstein

*        Équations de la chaleur

*        Équations de mouvement

*        Équations des courbes

*        Équations différentielles

*        Équations diophantiennes

*        Équations d'une droite, d'un plan

*        Équation du temps (au sens de correction)

*        Équations elliptiques, paraboliques, hyperboliques

*        Équations fonctionnelles

*        Équations intégrales

*        Équations matricielles

*        Équations paramétriques

*       

Pour les noms sans lien, se reporter aux

ouvrages spécialisés

(hors du champ de ce site)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Général

*       SOS – Je suis débutant

*       Techniques de base

*       Exemple décortiqué – Premier degré

*       Exercices simples – Premier degré

*       Innumérisme – Difficultés en maths

 

*       Histoire de la résolution des équations

*       Techniques de base de l'algèbre

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*    Troisième degré

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*       Résolution par la méthode symétrique de Lagrange

*       DiophantiennesIndex

*       Classification décimale - 5179

Algèbre

*       Algorithme d'Héron - calcul de la racine carrée

*       Complexes - équation en racine de moins un

*       Cubique résolue par Wallis

*       Division par zéro

*       Équation de la droite (1er degré)

*       Équation de la parabole (2e degré)

*       Équation de Pell-Fermat

*       Équation et nombre irrationnel

*       Équations avec exponentielle

*       Équations en 100

*       Équations différentielles (courbure)

 

*       Exponentielle égale à sa dérivée

*       Factorisation des polynômes

*       Factorisation des polynômes du 3e degré

*       Fractions continues

*       Introduction à la théorie des nombres - exemples d'équations

*       Méthode de Newton - résolution des équations

*       Racine de 1

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*       RepUnits

*       Somme et produit donnés

*       Sommes des entiers, carrés …

*       Système d'équations

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Géométrie

*       Équation de la droite – Exemple

*       Aire de l'hexagone de Graham

*       Empilement des sphères

*       Équation de la trisection de l'angle

*       Équation du nombre d'or

*       Équation paramétrique de la cycloïde

*       Équation trigonométrique en or

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*       Pas d'équation pour Pi

*       Triangle équilatéral

Dénombrement

*       Pions blancs et noirs

Jeux

*       Cryptarithmes – Équation avec des lettres

*       Démonstration de 1 égal 0

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*       Pauli et les équations de Dieu

*       Pépites numériques

*       Quel est l'âge du petit-fils

En physique

*       Chromodynamique quantique

*       Conservation du moment angulaire

*       E = mc²

*       Équation de Drake (vie extraterrestre)

*       Équation de la mécanique quantique - Schrödinger

*       Équation de Nottale, Chaline & Grou: fractale de la vie

*       Équations de la relativité

*       Équations de Maxwell

*       Équations de Navier-Stokes

*       Équations de Schrödinger

*       Invariance: Galilée / Maxwell

*       Les 12 équations de Lagrange

*       Les 3 équations de Newton et les 14 d'Einstein

*       Masse, relativité & photon

*       Mercure et Vulcain

*       Trous de vers

 

 

 

Origine

*        Latin: aequatio: égaliser

Anglais

*        Equation:

Mathematical statement that two expressions are equal.

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http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosE/Equation.htm