somme des entiers et des carrés

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/09/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	ADDITION
Débutants Addition	PARTITION					Glossaire Addition
Rubrique Partition Racines et puissances	Entiers	Carrés	Cubes		Puissances 4...n
	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange			Somme de n puissances Théorème de Waring
	1 à 100 en 4 carrés
	Sommes de carrés, cubes et autres puissances
	Comprendre les sommes de carrés
	Sommaire de cette page >>> Entiers (puissance 1) >>> Inverses >>> Partitions particulières >>> Florilège >>> Premiers - Goldbach >>> Triangulaires >>> De 2 carrés >>> De 2 carrés: critère >>> DE n carrés >>> Différences de carrés

Il y a trois sortes de personnes dans le monde :

ceux qui savent compter, et ceux qui ne savent pas...

Voir Pensées & humour

NOMBRES face à l'ADDITION

PARTITION

Représentation des nombres entiers par la somme d'entiers non nuls.

On donne, ici, diverses représentations des entiers par leurs sommes d'entiers, de premiers, de carrés, de puissances.

Orientation

Voir S'y retrouver

pour une nomenclature de tous les problèmes

posés par les sommes de puissances.

Voir aussi, à titre d'introduction : Bi, tri, digi, prim … partitions

SOMME D'ENTIERS (PUISSANCE 1)

Partition simple

Notion introduite par Euler. Les termes sommés s'appellent les sommants ou parts de la partition.

Exemple:

Il y a 7 partitions de 5:

5 =	1 +	1 +	1 +	1 +	1
	2 +	1 +	1 +	1
	2 +	2 +	1
	3 +	1 +	1
	3 +	2
	4 +	1
	5

Diagramme de Ferrers

Chaque sommant est représenté par une quantité équivalente de points.

Exemple avec 15

15 =
2	X	X
+ 4	X	X	X	X
+ 4	X	X	X	X
+ 5	X	X	X	X	X

La quantité de points (croix) est 15.

2 donne 2 points

5 donne 5 points

etc.

Voir Présentation ci-dessous

pour le nombre 5

Diagramme de Ferrers: une manière originale de représenter les partitions

Voir Nombre 5

Merci à Riquier pour sa vigilance

Quantité de partitions

Dénombrement

La quantité de sommes pour partitionner n est 2^n-1

Exemple

3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1 :

4 possibilités (dont le nombre lui-même) = 2^3-1 = 4.

Démonstration

On écrit tous les " 1 " dont la somme est n.

On forme toutes les possibilités des nombres à ajouter en mettant un espace entre les blocs de " 1 " souhaités.

et un signe + entre les blocs ainsi constitués.

Exemple

1 1 1 + 1 1 + 1 => 3 + 2 + 1

On dénombre les combinaisons de + entre ces blocs de " 1 ".
Il y a deux signes pour n – 1 positions, soit 2^n-1 possibilités.

Voir Développement sur les partitions

SOMME D'INVERSES

Théorème

Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer par une somme finie de nombres différents de la suite harmonique 1/n.

Propriété utilisée

Notez la suite des trois dénominateurs: a, le nombre suivant et leur produit.

Voir Cette propriété illustrée avec le nombre 101.

Exemples

Propriété

Notez les nombres: a, somme, produit et b.

Exemples

Voir Somme donnant 0,5 / Somme des inverses / Fractions débutants / Fractions / Fractions égyptiennes

Belle relation à noter

Propriété de l'inverse d'un nombre composé

Vérification

Exemple

Généralisation

Cette relation peut être étendue à plus de deux nombres.

PARTITIONS particulières

Somme des inverses et unité

Tout nombre supérieur à 77 peut être décomposé en une somme d'entiers dont la somme des inverses est égale à l'unité.

Exemple

78 = 2 + 6 + 8 + 10 + 12 + 40

Théorème

Pour tout entier n, il existe a, b, c tel que :

Erdös

Somme de nombres consécutifs

Un entier est la somme d'une suite d'entiers consécutifs si et seulement si ce nombre n'est pas une puissance de deux.

Somme de nombres abondants

Tous les nombres supérieurs à 20 161

sont la somme de 2 nombres abondants.

Florilège

Carrés et impairs

Théorème

Les sommes des nombres impairs

forment des carrés.

Exemples

1					= 1	= 1²
1	+ 3				= 4	= 2²
1	+ 3	+ 5			= 9	= 3²
1	+ 3	+ 5	+ 7		= 16	= 4²
1	+ 3	+ 5	+ 7	+ 9	= 25	= 5²

Généralisation

1 + 3 + 5 + 7 + … + N = ((N+1) / 2)²

Théorème

La somme des N premiers impairs est le carré de la moitié de ce nombre augmenté de un.

Suite >>>

Cubes et entiers

La somme des cubes des nombres successifs est le carré de la somme de ces nombres.

Suite >>>

Cubes et nombres parfaits

Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs consécutifs.

1 + 27 = 28

Voir Somme des entiers, pairs impairs …

SOMME DE NOMBRES PREMIERS – Goldbach

Le 7 juin 1742, Christian Goldbach propose sa conjecture dans une lettre adressée à Euler

Tout entier pair > 2 est la somme de 2 premiers.

Exemples

10 = 7+ 3

50 = 37+13

100 = 83 + 17 = 53 + 47

Tout entier impair > 7 est la somme de 3 premiers.

Aucune des 2 parties de la conjecture n'est encore prouvée. On a vérifié jusqu'à 33 10⁶ que tous les entiers pairs (> 6) sont la somme de deux premiers distincts.

Autres théorèmes

Tout nombre supérieur à 45 est décomposable en somme de nombres premiers distincts supérieurs à 11.

Tout nombre supérieur à 55 est décomposable en somme de nombres premiers distincts de la forme 4n + 3.

Tout nombre premier est un multiple de 6 à ± 1 près. (Sauf 2 et 3).

Voir Conjectures

SOMME DE NOMBRES TRIANGULAIRES

Théorème

Tout nombre est décomposable en somme d'au plus trois nombres triangulaires. Nombre =