NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ADDITION

 

Débutants

Addition

PARTITION

 

Glossaire

Addition

 

 

Rubrique

 

PARTITION

 

Racines et puissances

 

 

 

Entiers

Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Sommes de carrés, cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Entiers (puissance 1)

>>> Inverses

>>> Partitions particulières

>>> Florilège

>>> Premiers - Goldbach

>>> Triangulaires

>>> De 2 carrés

>>> De 2 carrés: critère

>>> DE n carrés

>>> Différences de carrés

 

 

 

 

 

 

 

Il y a trois sortes de personnes dans le monde :

ceux qui savent compter, et ceux qui ne savent pas...

Voir Pensées & humour

 

 

NOMBRES face à l'ADDITION

 

PARTITION

 

Représentation des nombres entiers par la somme d'entiers non nuls.

On donne, ici, diverses représentations des entiers par leurs sommes d'entiers, de premiers, de carrés, de puissances.

 

 

Orientation

*    Voir S'y retrouver

pour une nomenclature de tous les problèmes

posés par les sommes de puissances.

*    Voir aussi, à titre d'introductionBi, tri, digi, prim … partitions

 

 

SOMME D'ENTIERS (PUISSANCE 1)

 

Partition simple

 

*    Notion introduite par Euler. Les termes sommés s'appellent les sommants ou parts de la partition.

 

Exemple:

*    Il y a 7 partitions de 5:

5 =

1 +

1 +

1 +

1 +

1

1 +

1 +

1 +

2

 

1 +

1 +

3

 

1 +

4

 

2 +

2

 

3 +

2

 

5

 

 

 

Diagramme de Ferrers

 

*     Chaque sommant est représenté par des points.

 

 

Exemple avec 15

 

15 =

 

 

 

 

 

 

2

X

X

 

+ 4

X

X

X

X

 

+ 4

X

X

X

X

 

+ 5

X

X

X

X

X

 

*    La quantité de points (croix) est 15

2 donne 2 points

5 donne 5 points

etc.

 

 

Quantité de partitions

 

Dénombrement

 

*    La quantité de sommes pour partitionner n est 2n-1

 

Exemple

3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1 :

*    4 possibilités (dont le nombre lui-même) = 23-1 = 4.

 

Démonstration

*    On écrit tous les " 1 " pour dont la somme est n.

*    On forme toutes les possibilités des nombres à ajouter en mettant un espace entre les blocs de " 1 " souhaités.

et un signe + entre les blocs ainsi constitués.

 

Exemple

1 1 1 + 1 1 + 1 => 3 + 2 + 1

*    On dénombre les combinaisons de + entre ces blocs de " 1 ".
Il y a deux signes pour n – 1  positions, soit 2n-1 possibilités.

Voir Développement sur les partitions

 

 

SOMME D'INVERSES

 

Théorème

 

Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer par une somme finie de nombres différents de la suite harmonique 1/n.

 

Propriété utilisée

 

Notez la suite des trois dénominateurs: a, le nombre suivant et leur produit.

 

Voir Cette propriété illustrée avec le nombre 101.

 

Exemples

 

 

 

 

 

Propriété

 

 

Notez les nombres: a, somme, produit et b.

 

 

Exemples

 

 

 

Voir Somme donnant 0,5  / Somme des inverses / Fractions débutants / Fractions / Fractions égyptiennes

 

 

Belle relation à noter

 

Propriété de l'inverse d'un nombre composé

Vérification

Exemple

 

Généralisation

Cette relation peut être étendue à plus de deux nombres.

 

 

 

 

PARTITIONS particulières

 

Somme des inverses et unité

 

Tout nombre supérieur à 77 peut être décomposé en une somme d'entiers dont la somme des inverses est égale à l'unité.

 

Exemple

78 = 2 + 6 + 8 + 10 + 12 + 40

 

Théorème

Pour tout entier n, il existe a, b, c tel que :

Erdös 

 

 

Somme de nombres consécutifs

 

Un entier est la somme d'une suite d'entiers consécutifs si et seulement si ce nombre n'est pas une puissance de deux.

 

 

Somme de nombres abondants

 

Tous les nombres supérieurs à 20 161

sont la somme de 2 nombres abondants.

 

 

 

 

Florilège

 

Carrés et impairs

 

Théorème

Les sommes des nombres impairs

forment des carrés.

 

   Exemples

1

 

 

 

 

= 1

= 1²

1

+ 3

 

 

 

= 4

= 2²

1

+ 3

+ 5

 

 

= 9

= 3²

1

+ 3

+ 5

+ 7

 

= 16

= 4²

1

+ 3

+ 5

+ 7

+ 9

= 25

= 5²

 

Généralisation

1 + 3 + 5 + 7 + … +  N = ((N+1) / 2)²

 

Théorème

La somme des N premiers impairs est le carré de la moitié de ce nombre augmenté de un.

Suite >>>

 

Cubes et entiers

 

La somme des cubes des nombres successifs est le carré de la somme de ces nombres.

Suite >>>

 

Cubes et nombres parfaits

 

Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs consécutifs.

 

1 + 27 = 28

 

 

 Voir Somme des entiers, pairs impairs …

  

 

 

SOMME DE NOMBRES PREMIERS – Goldbach

 

*    Le 7 juin 1742, Christian Goldbach propose sa conjecture dans une lettre adressée à Euler

 

Tout entier pair > 2 est la somme de 2 premiers.

Exemples

  10 = 7+ 3 

  50 = 37+13 

100 = 83 + 17 = 53 + 47

 

Tout entier impair > 7 est la somme de 3 premiers.

 

*    Aucune des 2 parties de la conjecture n'est encore prouvée. On a vérifié jusqu'à 33 106 que tous les entiers pairs (>6) sont la somme de 2 impairs distincts.

 

Autres théorèmes

 

Tout nombre supérieur à 45 est décomposable en somme de nombres premiers distincts supérieurs à 11.

 

Tout nombre supérieur à 55 est décomposable en somme de nombres premiers distincts de la forme 4n + 3.

 

Tout nombre premier est un multiple de 6 à ± 1 près. (Sauf 2 et 3).

 

Voir Conjectures 

 

 

 

SOMME DE NOMBRES TRIANGULAIRES

 

Théorème

 

Tout nombre est décomposable en somme d'au plus trois nombres triangulaires. Nombre =

 

Généralisation de Fermat

Tout nombre est décomposable en somme de n nombres n-gulaires au plus:

3 nombres triangulaires,

4 nombres carrés,

5 nombres pentagonaux,

6 nombres hexagonaux 

   ...

 

Voir Nombres triangulaires / Théorème de Waring / Fermat / Nombres géométriques

 

 

 

 

Suite

*    Partition en carrés

*    Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

*    Partition – développements

*    Carrés et partition

*    Conjecture de Goldbach

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Addition - Initiation

*    Bi, tripartitions

*    Calcul mental

*    Carrés magiques

*    Carrés mystérieux
et base du carré magique de 3

*    Jeux - Somme 8/5

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Partition de 15   en  pannumériques 

*    Somme des entiers successifs

*    Somme des entiers, carrés, cubes …

*    Somme des inverses

*    Somme multi puissantes

*    Tables de nombres - Partitions

*    Théorie des nombres

*    Unité des puissances

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/Partiti1.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens

 

SOMME DE 2 CARRÉS

 DIVISIBILITÉ de CARRÉS par 4 et par 8

 SOMME DE 2 CARRÉS: CRITÈRE

 SOMME DE N CARRÉS

SOMME DE 3 CARRÉS:

SOMME DE 4 CARRÉS  

 

DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS

 

Pour tous ces liens voir >>>