NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 25/08/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique

                                                                    

Puissances

 

Débutants

Logarithmes

Triplets de Pythagore

 

Glossaire

Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Introduction

Propriétés

Cercle

Historique

Primitif

Génération

Matrice

Spéciaux

Illustration

Triangles

Briques

Calculs

Avec un carré

 

Sommaire de cette page

>>> Un nombre impair

>>> Un nombre pair

>>> Deux nombres

>>> Deux nombres pour des jumeaux

>>> Trois nombres

>>> Un nombre et inverses

>>> Chaîne de Pythagore

>>> Généralisation

 

 

 

 

 

 

TRIPLETS de PYTHAGORE

Génération

 

Il existe diverses formules pour trouver un triplet de Pythagore. Mais, la formule la plus générale est celle-ci:

 

 (,  2uv,  + )    (a, b, c)

 
La solution générale en nombres entiers de l'équation 
a² + b² = c²  avec a>0, b>0 et  c>0
a et b étant étrangers (premiers entre eux)
est a = u² – v²,  b = 2uv,  c = u² + v²
u, v  sont des entiers positifs étrangers de parité opposée.
 
Cette solution engendre tous les triplets primitifs 

Note: si vous pensez que la formule n'atteint pas le triplet (9² + 12² = 15²), c'est que le triplet n'est pas primitif; simplifié par 3, son associé primitif est le fameux: 3² + 4² = 5².

 

   

 

UN NOMBRE IMPAIR

 

Méthode

 

*       Choisir un nombre n impair.

*       Calculez les expressions indiquées.

*       Nous obtenons des triplets avec deux côtes en nombres consécutifs:

*    Différence de 1.

*    Ce sont des triplets jumeaux.

 

NB: tout nombre impair est générateur d'un triplet.

 

n

1/2 (n² – 1)

1/2 (n² + 1)

= 5

= 1/2 (25 – 1)  = 12

= 1/2 (25 + 1) = 13

 

Vérification

*       La somme des carrés donne bien le carré de l'hypoténuse.

n² + (1/2 (n² 1))²

= n² + 1/4 (n4 2n² +1)

= 1/4 (n4 + 2n² +1)

= 1/4 (n² + 1)²

= (1/2 (n² + 1) )²

 

Alternative

*       Le triplet peut aussi s'écrire.

a

b

c

= n

= (a² 1) / 2

= b + 1

 

Tous

*       Il est possible de former tous les triplets en multipliant ceux de la formule par k.

k n

1/2 k ( – 1)

1/2 k ( + 1)

= 3 x   5 = 15

= 3 x 12 = 36

= 3 x 13 = 39

 

 

Observation

*       Tous les nombres impairs correspondent à un côté d'un triplet.

*       L'autre côté et l'hypoténuse sont des mesures consécutives:
triplets jumeaux.

3

4

5

5

12

13

7

24

25

9

40

41

11

60

61

13

84

85

 

 

 

UN NOMBRE PAIR

 

Méthode

 

*       Choisir un nombre n pair.

*       Calculez les expressions indiquées.

*       Nous obtenons des triplets avec deux côtes en nombres consécutifs:

*    Différence de 1.

*    Ce sont des triplets jumeaux.

 

NB: tout nombre pair est générateur d'un triplet

 

n

 (n/2)² – 1

(n/2)² + 1

= 4

= 4  – 1 = 3

= 4 + 1 = 5

Vérification

*       La somme des carrés donne bien le carré de l'hypoténuse.

n² + ((n/2)² 1)²

= n² + (n/2)4 2(n/2)² + 1

=        (n/2)4 + 2(n/2)² + 1

= (n/2)² + 1

Alternative

*       Le triplet peut aussi s'écrire.

a

b

c

= n

= (a/2)² 1

= b + 2

Tous

*       Il est possible de former tous les triplets en multipliant ceux de la formule par k.

k n

k{ (n/2)² – 1 }

k{ (n/2)² + 1 }

= 3 x 4 = 12

= 3 x 3 =   9

= 3 x 5 = 15

 

 

Observation

*       Tous les nombres pairs correspondent à un côté d'un triplet.

*       L'autre côté mesure deux de moins que l'hypoténuse.

4

3

5

6

8

10

8

15

17

10

24

26

12

35

37

14

48

50

 

 

 

DEUX NOMBRES

 

Méthode

*       Choisir deux nombres u et v.

*       Calculez les expressions indiquées.

*       Prendre:

u – v = 1 mod 2 (=> u – v est impair).

Autrement dit: l'un pair et l'autre impair.

pour obtenir des triplets primitifs.

 

2uv

+

= 4² – 3²   =   7

= 2 . 4 . 3 = 24

= 4² + 3²   = 25

Vérification

 

La somme des carrés donne bien le carré de l'hypoténuse.

 

 

 

( )² + (2uv)²

 

= u4 2 u²v² + v4 4u²v²

= u4  + 2u²v² + v4

= ( + )

 

Valeur de u, v

Connaissant le triplet retrouvez les deux nombres générateurs.

 

 

 

Observation

*       Tout couple de nombres étrangers, l'un pair l'autre impair, donne un triplet primitif.

*       À tout triplet primitif est associé un couple de deux nombres étrangers l'un pair et l'autre impair.

3

4

5

5

12

13

7

24

25

15

8

17

9

40

41

11

60

61

 

 

Tous les triplets

sans imposer les restrictions sur u et v

 

Exemples

 

u en =>

et

v en

 

 

Tous

 

*       La méthode engendre tous les triplets primitifs (surlignés en jaune), et elle produit aussi des triplets non-primitifs, mais pas tous.

 

Dit-autrement, avec ces formules, lorsque les triplets non primitifs sont exclus, alors reste la liste de tous les triplets primitifs.

Voir Exemples pour les nombres de 1 à 500

 

*       Les seules valeurs possibles pour l'hypoténuse sont celles indiquées en rouge ou leurs multiples. Celles de la diagonale (en estompé: 2, 8, 18 …), sont triviales (présence d'un 0: alors 0 + 2² = 2², naturellement; donc, sans intérêt).

 

Complexes

 

*       Clin d'œil au monde des imaginaires:

(u + iv)² = (  ) + i2uv

 

 

 

D'où vient cette formule?

 

Explications

 

*       Écrivons l'égalité sous la forme:

*       Divisons par 2 comme indiqué.

 

(b/2)²

=    c² – a ²

=   (c – a) (c + a)

= { (c – a) / 2 } { (c + a) / 2 }

*       Choisissons b comme terme pair (sinon refaire avec a).

*    Alors a et c sont impairs.

*    Somme et différence sont paires.

b

a

c

c - a

c + a

pair

impair

impair

pair

pair

*       Diviser des nombres pairs par 2 donne des nombres entiers.

(c + a) / 2

(c – a) / 2

= u entier

= v entier

*       Si ces deux nombres entiers possèdent un diviseur commun d.

*       Celui-ci divise leur somme et leur différence.

u

v

c = u + v

a = u – v 

= x.d

= y.d

= x.d  + y.d

= x.d  -  y.d

*       Ce qui voudrait dire que a et c ont un diviseur commun:

*    contraire à l'hypothèse d'un triplet primitif.

*    Manifestement d vaut 1.

c

a

 

d

= (x + y) . d

= (x – y) . d

 

= 1

Première conclusion

*       Nous disposons de:

*    2 nombres entiers u et v.

*    sans diviseur commun.

*    dont le produit est un carré.

Seule possibilité: pour donner un carré, le produit doit être un produit de carrés.

(c + a) / 2

(c – a) / 2

 

PGCD(u, v)

 

(b/2)²

 

 

= u

= v

 

= 1

 

= { (c – a) / 2 } { (c + a) / 2 }

= u . v

= U² . V²

Deuxième conclusion

*       Exprimons U et V.

U.V

= (c + a) / 2

= (c – a) / 2

= b/2

*       En résolvant ces équations.

a

b

c

=

= 2 U.V

= U² + V²

 

 

 

DEUX NOMBRES pour des JUMEAUX 

 

Jumeaux par l'hypoténuse

 

*       Choisir deux nombres consécutifs u et v.

Calculez ( u² – v²,  2uv,  u² + v² ).

*       En effet, b et c seront consécutifs

si 2uv et u² + v² le sont

2uv + 1 = +

+ - 2uv = 1

(u – v)² = 1

|u – v| = 1

*       On retrouve le résultat présenté ci-dessus

 

u      v      a     b      c

2      1      3     4      5

3      2      5     12     13

4      3      7     24     25

5      4      9     40     14

6      5      11    60     61

 

Propriétés

*       a est la suite des impairs.

*       b est égal à 4 fois un nombre triangle.

 

 

 

(1, 3, 6, 10, 15, … )  x 4  
=> (4, 12, 24, 40, 60, …)

Jumeaux par les deux côtés

*       Je ne connais pas de formule!

*       Voici les premiers.

 

Note

a² + (a + 1)² = 2a² + 2a + 1

                     = 2a (a + 1) + 1 = c²

La somme des carrés de deux nombres consécutifs est égale à deux fois leur produit plus 1.

Ex: 20² + 21² = 2 x 20 x 21 + 1 = 841 = 29²

 

a      b      c

3      4      5

21    20    29

119 120 169

697 696   985

   4059 4060  5741

 

 

 

 

 

TROIS NOMBRES

 

Méthode 1 – triviale

 

*       Multipliez les termes du triplet.

*       Les triplets formés ne sont pas primitifs (évidemment).

*       Il y en a une infinité.

 

3, 4, 5 =>

6, 8, 10

9, 12, 15

 

Méthode 2 – performante

 

*       Le triplet (3, 4, 5) est le point de départ pour engendrer tous les triplets primitifs.

 

Voir Matrices Génératrices

 

 

UN NOMBRE ET INVERSES  

 

Méthode

 

*       Choisir un nombre et ses voisins.

 

n

n – 1

n + 1

= 8

= 7

= 9

*       Somme des inverses des extrêmes.

*       Séparez numérateur et dénominateur.

1/(n–1) + 1/(n+1) =

= 1/7 + 1/9

= 16/63

= M/N

*       Nous avons les deux côtés d'un triangle de Pythagore.

*       Notons que deux côtés sont séparés par 2.

M

N

O

= 16

= 63

= 65

Explications

*       Il s'agit d'un cas particulier de la formule génératrice à deux nombre avec =>

u

v

= u

= 1

*       Alors, =>

M

N

O

= 2u

= 1

= + 1

 

    

CHAÎNE DE PYTHAGORE

 

Quadruplets …

 

*       Si un côté d'un triplet se trouve être aussi une hypoténuse, il est possible de produire un quadruplet.

 

3² + 4² = 5²

              5² + 12² = 13²

3² + 4²        + 12² = 13²

*       Ou un quintuplet.

*       Etc.

                             13² + 84² = 85²

3² + 4²        + 12²          + 84² = 85²

 

Généralisation

 

 

*       Disposant d'un triplet, il est toujours possible de trouver un autre triplet formé à partir de l'hypoténuse.

Le nombre étant toujours impair,

on utilise la formule du plus 1

 

*       Il est possible de poursuivre ces chaînes jusqu'à l'infini.

3² + 4² = 5²

               5² + 12² = 13²

3² + 4²        + 12² = 13²

                                13² + 84² = 85²

3² + 4²        + 12²           + 84² = 85²

                                                    85² + 3612² = 3613²

3² + 4²        + 12²          + 84²            + 3612² = 3613²

Etc.

 

8² + 15² = 17²

                 17² + 144² = 145²

8² + 15²          + 144² = 145²

                                      145² + 10512² = 10513²

8² + 15²          + 144²             + 10512² = 10513²

Etc.

 

 

 

GÉNÉRALISATION

 

Triplets à la puissance 3 et plus

 

*       Il n'en existe pas.

C'est le théorème de Fermat -Wiles.

 

xn + yn  zn pour n > 2

 

Quadruplets à la puissance 3 et plus

 

*       Le plus petit pour la puissance 3.

*       Et d'autres.

 

33 + 43 + 53 = 63            >>>

13 + 63 + 83 = 93            >>>

33 + 103 + 183 = 193

73 + 143 + 173 = 203     >>>

43 + 173 + 223 = 253

183 + 193 + 213 = 283

113 + 153 + 273 = 293

*       Le plus petit pour la puissance 4.

*       Un autre, le premier trouvé.

 

95 8004  + 217 5194 + 414 5604

                                = 422 4814   >>>

 

2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604

                                = 20 615 6734

 

k-uplets à la puissance n

 

*       Ils existent toujours à partir d'une puissance k.

Puissance ou pas.

C'est le théorème de Waring.

 

 

Tout nombre est décomposable en somme de 4 carrés; a fortiori tout carré.

Tout nombre est décomposable en somme de 9 cubes; a fortiori tout cube.

Etc.

Retour à Somme de puissances

 

 

 

Suite

*    Exemples de calculs

*    Matrice

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Équations diophantiennes

*    Nombres congruents

*    Pythagore - Biographie

*    Somme de carrés

*    Triangle de Pythagore en allumettes

Site

*      Compute a Pythagorean Triple

*      Pythagorean triples by Alexander Bogomolny

*      Pythagorean triples by Eric S Rowland

*      Pythagorean triples by Fred Curtis

*      Pythagorean triples by Dr Math

*      Pythagorean triples by John Cremona

*      Some Unique Pythagorean Triples And Some Ways To Work With Them by William V. Thayer

*      Pythagorean Triple Table  by Michael Somos

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripGene.htm