NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 16/08/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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TRIPLETS de PYTHAGORE

Génération

Il existe diverses formules pour trouver un triplet de Pythagore. Mais, la formule la plus générale est celle-ci:

(u² – v², 2uv, u² + v²) (a, b, c)

 
La solution générale en nombres entiers de l'équation 
a² + b² = c² avec a>0, b>0 et c>0
a et b étant étrangers (premiers entre eux)
est a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v²
u, v sont des entiers positifs étrangers de parité opposée.
 
Cette solution engendre tous les triplets primitifs 

Note: si vous pensez que la formule n'atteint pas le triplet (9² + 12² = 15²), c'est que le triplet n'est pas primitif; simplifié par 3, son associé primitif est le fameux: 3² + 4² = 5².

Preuve – Vérification

Une formule produisant des triplets jumeaux			haut
Observations Ces triplets comme 5² + 12² = 13² sont particuliers en ce qu'ils comprennent deux nombres consécutifs. Voir le tableau Formule Pour tout n, les trois nombres suivants forment un triplet de Pythagore. Trouver b et c pour a = 21 Ou plus directement : b = 1/2 (a² – 1 )		Triplets jumeaux (Twin triples)
Justification	=
Notez a² = c² – b² = b + c	b + c = 2n² + 2n + 2n² + 2n + 1 = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)² = a² Autrement-dit: dans le tableau, on lit directement: 12 + 13 = 25, 24 + 25 = 49 … Aussi: Tous les nombres impairs au carré sont différence de deux carrés successifs: Ex: 11² = 61² – 60² = 61 + 60 = 121

Voir Triplets jumeaux

UN NOMBRE IMPAIR
Méthode Choisir un nombre n impair. Calculez les expressions indiquées. Nous obtenons des triplets avec deux côtes en nombres consécutifs: Différence de 1. Ce sont des triplets jumeaux. NB: tout nombre impair est générateur d'un triplet.	n 1/2 (n² – 1) 1/2 (n² + 1)	= 5 = 1/2 (25 – 1) = 12 = 1/2 (25 + 1) = 13
Vérification La somme des carrés donne bien le carré de l'hypoténuse.	n² + (1/2 (n² – 1))²	= n² + 1/4 (n^4 – 2n² +1) = 1/4 (n^4 + 2n² +1) = 1/4 (n² + 1)² = (1/2 (n² + 1) )²
Alternative Le triplet peut aussi s'écrire.	a b c	= n = (a² – 1) / 2 = b + 1
Tous Il est possible de former tous les triplets en multipliant ceux de la formule par k.	k n 1/2 k (n² – 1) 1/2 k (n² + 1)	= 3 x 5 = 15 = 3 x 12 = 36 = 3 x 13 = 39

Observation

Tous les nombres impairs correspondent à un côté d'un triplet.

L'autre côté et l'hypoténuse sont des mesures consécutives:
triplets jumeaux.

3	4	5
5	12	13
7	24	25
9	40	41
11	60	61
13	84	85

UN NOMBRE PAIR
Méthode Choisir un nombre n pair. Calculez les expressions indiquées. Nous obtenons des triplets avec deux côtes en nombres consécutifs: Différence de 1. Ce sont des triplets jumeaux. NB: tout nombre pair est générateur d'un triplet	n (n/2)² – 1 (n/2)² + 1	= 4 = 4 – 1 = 3 = 4 + 1 = 5
Vérification La somme des carrés donne bien le carré de l'hypoténuse.	n² + ((n/2)² – 1)²	= n² + (n/2)^4 – 2(n/2)² + 1 = (n/2)^4 + 2(n/2)² + 1 = (n/2)² + 1
Alternative Le triplet peut aussi s'écrire.	a b c	= n = (a/2)² – 1 = b + 2
Tous Il est possible de former tous les triplets en multipliant ceux de la formule par k.	k n k{ (n/2)² – 1 } k{ (n/2)² + 1 }	= 3 x 4 = 12 = 3 x 3 = 9 = 3 x 5 = 15

Observation

Tous les nombres pairs correspondent à un côté d'un triplet.

L'autre côté mesure deux de moins que l'hypoténuse.

4	3	5
6	8	10
8	15	17
10	24	26
12	35	37
14	48	50

DEUX NOMBRES
Méthode Choisir deux nombres u et v. Calculez les expressions indiquées. Prendre: u – v = 1 mod 2 (=> u – v est impair). Autrement dit: l'un pair et l'autre impair. pour obtenir des triplets primitifs.	u² – v² 2uv u² + v²	= 4² – 3² = 7 = 2 . 4 . 3 = 24 = 4² + 3² = 25
Vérification La somme des carrés donne bien le carré de l'hypoténuse.	(u² – v²)² + (2uv)²	= u^4 – 2 u²v² + v^4 – 4u²v² = u^4 + 2u²v² + v^4 = (u² + v²)^2
Valeur de u, v Connaissant le triplet retrouvez les deux nombres générateurs.

Observation

Tout couple de nombres étrangers, l'un pair l'autre impair, donne un triplet primitif.

À tout triplet primitif est associé un couple de deux nombres étrangers l'un pair et l'autre impair.

3	4	5
5	12	13
7	24	25
15	8	17
9	40	41
11	60	61

Tous les triplets sans imposer les restrictions sur u et v
Exemples u en => et v en
Tous	La méthode engendre tous les triplets primitifs (surlignés en jaune), et elle produit aussi des triplets non-primitifs, mais pas tous. Dit-autrement, avec ces formules, lorsque les triplets non primitifs sont exclus, alors reste la liste de tous les triplets primitifs. Voir Exemples pour les nombres de 1 à 500 Les seules valeurs possibles pour l'hypoténuse sont celles indiquées en rouge ou leurs multiples. Celles de la diagonale (en estompé: 2, 8, 18 …), sont triviales (présence d'un 0: alors 0 + 2² = 2², naturellement; donc, sans intérêt).
Complexes	Clin d'œil au monde des imaginaires: (u + iv)² = (u² – v²) + i2uv

D'où vient cette formule?
Explications Écrivons l'égalité sous la forme: Divisons par 2 comme indiqué.	b² (b/2)²	= c² – a ² = (c – a) (c + a) = { (c – a) / 2 } { (c + a) / 2 }
Choisissons b comme terme pair (sinon refaire avec a). Alors a et c sont impairs. Somme et différence sont paires.	b a c c - a c + a	pair impair impair pair pair
Diviser des nombres pairs par 2 donne des nombres entiers.	(c + a) / 2 (c – a) / 2	= u entier = v entier
Si ces deux nombres entiers possèdent un diviseur commun d. Celui-ci divise leur somme et leur différence.	u v c = u + v a = u – v	= x.d = y.d = x.d + y.d = x.d - y.d
Ce qui voudrait dire que a et c ont un diviseur commun: contraire à l'hypothèse d'un triplet primitif. Manifestement d vaut 1.	c a d	= (x + y) . d = (x – y) . d = 1
Première conclusion Nous disposons de: 2 nombres entiers u et v. sans diviseur commun. dont le produit est un carré. Seule possibilité: pour donner un carré, le produit doit être un produit de carrés.	(c + a) / 2 (c – a) / 2 PGCD(u, v) (b/2)²	= u = v = 1 = { (c – a) / 2 } { (c + a) / 2 } = u . v = U² . V²
Deuxième conclusion Exprimons U et V.	U² V² U.V	= (c + a) / 2 = (c – a) / 2 = b/2
En résolvant ces équations.	a b c	= U² – V² = 2 U.V = U² + V²

DEUX NOMBRES pour des JUMEAUX
Jumeaux par l'hypoténuse Choisir deux nombres consécutifs u et v. Calculez ( u² – v², 2uv, u² + v² ). En effet, b et c seront consécutifs si 2uv et u² + v² le sont 2uv + 1 = u² + v² u² + v² - 2uv = 1 (u – v)² = 1 |u – v| = 1 On retrouve le résultat présenté ci-dessus	u v a b c 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 4 3 7 24 25 5 4 9 40 14 6 5 11 60 61 Les nombres c sont les nombres carrés centrés: cn = (n + 1)² + n² et les nombres b sont les nombres quadrillages, ou quatre fois triangulaires: bn = 4 Tn = 2 n (n + 1)
Propriétés a est la suite des impairs. b est égal à 4 fois un nombre triangle.	(1, 3, 6, 10, 15, … ) x 4 => (4, 12, 24, 40, 60, …)
Jumeaux par les deux côtés Je ne connais pas de formule! Voici les premiers. Note a² + (a + 1)² = 2a² + 2a + 1 = 2a (a + 1) + 1 = c² La somme des carrés de deux nombres consécutifs est égale à deux fois leur produit plus 1. Ex: 20² + 21² = 2 x 20 x 21 + 1 = 841 = 29²	a b c 3 4 5 21 20 29 119 120 169 697 696 985 4059 4060 5741

TROIS NOMBRES
Méthode 1 – triviale Multipliez les termes du triplet. Les triplets formés ne sont pas primitifs (évidemment). Il y en a une infinité.	3, 4, 5 => 6, 8, 10 9, 12, 15 …
Méthode 2 – performante Le triplet (3, 4, 5) est le point de départ pour engendrer tous les triplets primitifs.	Voir Matrices Génératrices

UN NOMBRE ET INVERSES
Méthode Choisir un nombre et ses voisins.	n n – 1 n + 1	= 8 = 7 = 9
Somme des inverses des extrêmes. Séparez numérateur et dénominateur.	1/(n–1) + 1/(n+1) =	= 1/7 + 1/9 = 16/63 = M/N
Nous avons les deux côtés d'un triangle de Pythagore. Notons que deux côtés sont séparés par 2.	M N O	= 16 = 63 = 65
Explications Il s'agit d'un cas particulier de la formule génératrice à deux nombre avec =>	u v	= u = 1
Alors, =>	M N O	= 2u = u² – 1 = u² + 1

CHAÎNE DE PYTHAGORE
Quadruplets … Si un côté d'un triplet se trouve être aussi une hypoténuse, il est possible de produire un quadruplet.	3² + 4² = 5² 5² + 12² = 13² 3² + 4² + 12² = 13²
Ou un quintuplet. Etc.	13² + 84² = 85² 3² + 4² + 12² + 84² = 85²
Généralisation Disposant d'un triplet, il est toujours possible de trouver un autre triplet formé à partir de l'hypoténuse. Le nombre étant toujours impair, on utilise la formule du plus 1 Il est possible de poursuivre ces chaînes jusqu'à l'infini.	3² + 4² = 5² 5² + 12² = 13² 3² + 4² + 12² = 13² 13² + 84² = 85² 3² + 4² + 12² + 84² = 85² 85² + 3612² = 3613² 3² + 4² + 12² + 84² + 3612² = 3613² Etc. 8² + 15² = 17² 17² + 144² = 145² 8² + 15² + 144² = 145² 145² + 10512² = 10513² 8² + 15² + 144² + 10512² = 10513² Etc.

GÉNÉRALISATION
Triplets à la puissance 3 et plus Il n'en existe pas. C'est le théorème de Fermat -Wiles.	x^n + y^n z^n pour n > 2
Quadruplets à la puissance 3 et plus Le plus petit pour la puissance 3. Et d'autres.	3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 >>> 1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3 >>> 3^3 + 10^3 + 18^3 = 19^3 7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3 >>> 4^3 + 17^3 + 22^3 = 25^3 18^3 + 19^3 + 21^3 = 28^3 11^3 + 15^3 + 27^3 = 29^3
Le plus petit pour la puissance 4. Un autre, le premier trouvé.	95 800^4 + 217 519^4 + 414 560^4 = 422 481^4 >>> 2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4
k-uplets à la puissance n Ils existent toujours à partir d'une puissance k. Puissance ou pas. C'est le théorème de Waring.	Tout nombre est décomposable en somme de 4 carrés; a fortiori tout carré. Tout nombre est décomposable en somme de 9 cubes; a fortiori tout cube. Etc.

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