NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Divisibilité

 

Débutants

Division

Produit de nombres consécutifs

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Divisibilité

 

Général

2 Nb

3 Nb / pair

3 Nb / impair

Récapitulatif

4 Nb

5 Nb / pair

5 Nb / Impair

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Observation des valeurs numériques

>>> Explications – Cas des multiples de 4

 

 

 

 

Produit de QUATRE nombres consécutifs

 

Toujours divisible par 24 au moins

 

 

 

Approche

Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24

 

 

Que peut-on dire de plus ?

 

24 |  (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

 

Exemple

1 x 3 x 4 x 5 =    24

3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 24 x 15

 

 

Rappel   (n-1) n (n+ 1) = n (n -1) (n + 1) = n (n² - 1) = n3 - n

Note      (n-1) n (n+ 1) (n + 2) = (n3 – n) (n + 2) = n4 + 2n3 – n2 – 2n

Notation:  la barre verticale signifie "divise"

 

 

Observation des valeurs numériques

Le tableau donne la valeur du produit
P =  (n-1) n (n+1) (n+2)

Ce produit est divisé successivement par 24, 48, 96 et 192

En rouge les valeurs exactes

Conclusions liées aux observations

 

Pour n pair:  (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

 

*    Divisible par   24 dans tous les cas

*    Divisible par   48 pour n =   8k-2,  8k-1,   8k et   8k+1

*    Divisible par   96 pour n = 16k-2, 16k-1, 16k et 16k+1

*    Divisible par 192 pour n = 32k-2, 32k-1, 32k et 32k+1 

*   

 

 

 

Explications - Cas de 8k

 

 

 

Calculons notre produit avec les diverses valeurs de 8k – 3 à 8k + 4

 

(n – 1) n (n + 1) (n + 2)

 

8*k-3  =>         8 *(2*k-1)*(8*k-3)*(4*k-1)*(8*k-1)

8*k-2  =>         16 * k *(8*k-3)*(4*k-1)*(8*k-1)

8*k-1  =>         16 * k *(4*k-1)*(8*k-1)*(8*k+1)

8*k    =>           16 * k *(8*k-1)*(8*k+1)*(4*k+1)

8*k+1  =>        16 * k *(8*k+1)*(4*k+1)*(8*k+3)

8*k+2  =>        8 *(8*k+1)*(4*k+1)*(8*k+3)*(2*k+1)

8*k+3  =>        8 *(4*k+1)*(8*k+3)*(2*k+1)*(8*k+5)

8*k+4  =>        8 *(8*k+3)*(2*k+1)*(8*k+5)*(4*k+3)

                        Notation ordinateur: * pour le produit et ^pour la puissance

 

Nous constatons que dans 4 cas la divisibilité est de 16 au lieu de 8, soit un facteur 2 supplémentaire à la normale

 

 

24 | (n-1) n (n+1) (n + 2) dans tous les cas

 

48 | (n-1) n (n+1) (n + 2) dans 4 cas, lesquels correspondent aux progressions arithmétique par 8 de l'un des quatre facteurs (comme 6, 14, 22, 30 …)

 

Note:

Lorsque n  = 8k, l'ensemble du produit (n-1) n (n+1) (n + 2) est divisible par 8k ; le nombre n+2 = 8k+2 est  également divisible par 2 ce qui engendre une divisibilité totale de 16

Lorsque n  = 8k+1, le facteur n-1 devient 8k et l'ensemble du produit (n-1) n (n+1) (n + 2): Le facteur n+1 = 8k +2 est divisible par 2. Le produit complet est divisible par 16

Lorsque n  = 8k+2, le produit (n-1) n (n+1) (n + 2) devient (8k+1) (8k+2) (8k+3) (8k+4) et aucun facteur ne donne la divisibilité par 8k. De plus cette configuration, contrairement au quatre favorables, introduit un terme constant dans le développement du produit qui ne confère aucune divisibilité supplémentaire

 

 

Suite en Divisibilité du produit de cinq nombres consécutifs / pairs

 

 

 

  

Suite

*  Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair

*  Nombres pairs et impairs – théorie

*  Divisibilité de la somme de nombres consécutifs

*  Produit de consécutifs = carré?

*  Factorielles tronquées et leur divisibilité

Voir

*  Nombres consécutifsIndex

*  DivisibilitéIndex

*  Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs

*  Divisibilité des nombres consécutifsDémo

*  Somme de q nombres divisibles par q

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