produits de nombres consécutifs - factorielles tronquées

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 11/04/2012

-Ý- Rubrique: COMPTER - Combinatoire Factorielles
§ Introduction	§ Généralisées	§ Sous-factorielle
§ Stirling	§ Tronquées	§ Primorielle
§ Wilson	§ Somme	§ Arr./Permut./Combin.
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FACTORIELLE TRONQUÉE

Produit de nombres consécutifs

p nombres consécutifs

leur produit est divisible par p!

-Ý- VALEURS

Exemple

120

= 4 x 5 x 6

§ Produit de 3 nombres consécutifs
dit factorielle tronquée

-Ý- DIVISIBILITÉ

Le produit de p nombres consécutifs

est divisible par p !

Démonstration

§ Soit le produit de p nombres consécutifs commençant par un nombre quelconque n+1	(n+1)(n+2)…(n+p)
§ On multiplie par la fraction n!/n!	= n! (n+1)(n+2)…(n+p) / n!
§ On développe n! au numérateur	= 1x2x3 … n (n+1)(n+2)…(n+p) / n!
§ Le numérateur est factoriel	= (n+p) ! / n!
§ On multiplie par la fraction p!/p!	= p! (n+p) ! / (n! p!)
§ On reconnaît l'expression du coefficient du binôme ou terme du triangle de Pascal	= p! (n+p) ! / (n! p!)
§ En exprimant avec ce coefficient	= p! C^p_n_+p
§ Soit la formule	(n+1)(n+2)…(n+p) = p! C^p_n_+p
§ Ou en exprimant le coefficient	C^p_n_+p = (n+1)(n+2)…(n+p) / p!
§ Or les coefficients du binôme sont deS nombres entiers	(n+1)(n+2)…(n+p) est divisible par p!

Exemples

n n+1 n+2 P P/ 3!

1 2 3 6 1

2 3 4 24 4

3 4 5 60 10

4 5 6 120 20

5 6 7 210 35

6 7 8 336 56

7 8 9 504 84

8 9 10 720 120

9 10 11 990 165

10 11 12 1320 220

Voir

-Ý- SOMME ET PRODUIT