NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

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FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Tronquées

Généralisées

Alternée

Tables des tronquées

Sous-factorielle

 

Sommaire de cette page

>>> Quatre nombres consécutifs et carré

>>> Nom de quelques factorielles tronquées

>>> Divisibilité

>>> Égalités entre factorielles tronquées

 

 

 

 

FACTORIELLE TRONQUÉE

 

Produit de p nombres consécutifs de m à n.

Ex: 4 x 5 x 6 = 120

Elles sont utilisées en combinatoire.

 

p nombres consécutifs

leur produit est divisible par p!

Voir Table des valeurs pour n de 1 à 10

 

 

Noms des produits de k nombres successifs

k

Produit

Facteur

Noms

2

n (n + 1)

x 1

= Nombre pronique

 

 

x 1/2

= Nombre triangulaire

3

n (n + 1) (n+ 2)

x 1/6

= Nombre tétraédrique

4

n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

x 1/24

= Nombre pentatope

 

 

Propriété remarquable:

Produit de quatre nombres consécutifs + 1 = carré

Montrez que:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = c²

Premiers cas en exemples:

1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²

2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²

3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 360 + 1 = 361 = 19²

Développement:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

= (n² + 3n)(  + 3n + 2) + 1

Posons:

m = n² + 3n + 1

Notre développement devient:

(n² + 3n)(n²  + 3n + 2) + 1

= (m – 1)(m + 1) + 1

= m² – 1 + 1 = m² 

Formulation complète:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 =  (n² + 3n + 1)2

Exemple:

4 x 5 x 6 x 7 + 1  = (4² + 3x4 + 1)² = 29² = 841

Voir Identité avec quatre nombres consécutifs

 

 

 

Devinette

 

Question

Dire quand (n – 2)! + (n + 2)! est un carré, avec n > 2.

 

Solution

En développant: (n – 2)! + (n – 2)!  (n-1)(n)(n+1)(n+2)

Propriété vue ci-dessus: (n – 2)! (1 + c²)

Qui est un carré si (n – 2)! l'est. Possible que pour n = 3.

(une factorielle n'est jamais un carré).

Seule solution: (3 – 2)! + (3 + 2)! = 1 + 120 = 121 = 11²

 

Voir DicoNombre 11

 

 

 

DIVISIBILITÉ

 

Théorème

 

 

Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!

 

 

Exemple


Démonstration

*  Soit le produit de p nombres consécutifs commençant par un nombre quelconque n+1

(n+1)(n+2)…(n+p)

*  On multiplie par la fraction  n!/n!

= n! (n+1)(n+2)…(n+p) / n!

*  On développe n! au numérateur

= 1x2x3 … n (n+1)(n+2)…(n+p) / n!

*  Le numérateur est factoriel

= (n+p) ! / n!

*  On multiplie par la fraction p!/p!

= p! (n+p) ! / (n! p!)

*  On reconnaît l'expression du coefficient du binôme ou terme du triangle de Pascal

= p! (n+p) ! / (n! p!)

*  En exprimant avec ce coefficient

= p! Cpn+p

*  Soit la formule

(n+1)(n+2)…(n+p) = p! Cpn+p

*  Ou en exprimant le coefficient

Cpn+p = (n+1)(n+2)…(n+p) / p!

*  Or les coefficients du binôme sont de nombres entiers

(n+1)(n+2)…(n+p) est divisible par p!

Voir Divisibilité

 

 

Égalités entre factorielles tronquées

*    Une factorielle tronquée est notée:

P (n, m) = n (n – 1) (n – 2) …(n – m+1)

*    Nous cherchons des égalités du type:

P(k.n, m) = k' P(n, m')

*    Par exemple:
La solution est unique, sauf solutions triviales en 0 et 1.

P(2n, 3)         = 2P(n, 4) avec n = 8

16 x 15 x 14 = 2 (8 x 7 x 6 x 5) = 3 360

 

 

P(2n, 2) = k P(n, 2)

*    Les deux solutions entières:

4 x 3 = 6 (2 x 1) = 12

6 x 5 = 5 (3 x 2) = 30

*    Solution générale pour certaines valeurs de k:

 

 

P(2n, 2) = k P(n, 3)

*    Seule solution entière:

6 x 5 = 5 (3 x 2 x 1) = 30

*    Seule solution entière. La suivante est obtenue pour n = 4 et k = 7/3

8 x 7 = 7/3 x (4 x 3 x 2) = 56

*    Solution générale pour certaines valeurs de k:

 

 

P(2n, 3) = k P(n, 3)

*    Les quatre solutions entières:

6 x 5 x 4 = 20 (3 x 2 x 1) = 120

8 x 7 x 6 = 14 (4 x 3 x 2) = 336

10 x 9 x 8 = 12 (5 x 4 x 3)

12 x 11 x 10 = 11 (6 x 5 x 4) = 1 320

*    Solution générale pour certaines valeurs de k:

 

 

P(2n, 3) = k P(n, 4)

*    Nous venons de voir la solution unique en 8 pour  k = 2

16 x 15 x 14 = 2 (8 x 7 x 6 x 5) = 3 360

*    Solution en 5 pour k = 6. Le facteur k = 6 a le bon goût d'étendre la factorielle tronquée à cinq facteurs.
Le rationnel n = 4/3 est aussi solution. De même que 0 et 1 (solutions triviales).

10 x 9 x 8 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720

*    Solution en 4 pour k = 14.
Autres solutions: 0, 1 et 11/7.

8 x 7 x 6 = 14 (4 x 3 x 2 x 1) = 336

*    Solution générale pour certaines valeurs de k:
Les trois seules solutions pour k entier sont celles indiquées ci-dessus.

 

 

 

 

P(2n, 2) = k P(n, 4)

*    Aucune solution entière.

Première rationnelle avec k = 14/3 et n = 4.

/

*    Solution générale pour certaines valeurs de k:

                                                                                                                                                    

 

 

P(2n, 4) = k P(n, 4)

*    Les trois solutions entières:

8 x 7 x 6 x 5 = 70 (4 x 3 x 2 x 1) = 1 680

10 x 9 x 8  x 7 = 42 (5 x 4 x 3 x 2) = 5 040

12 x 11 x 10 x 9 = 33 (6 x 5 x 4 x 3) = 11 880

*    Solution générale pour certaines valeurs de k:

 

Tableau récapitulatif

 

Toutes les relations du type P(2n, m) = k P(n, m').

On pourrait considérer P(h.n, m) et poursuivre le tableau.

 

 

 

        

 

 

 

Suite

*        Somme et produit de 3 nombres consécutifs

*        Division des factorielles tronquées

*        Factorielle tronquée = carré?

*         Factorielles généralisées

*         Produit de k nombres consécutifs – Divisibilité

Voir

*         Coefficient du binôme

*         Constante "e"

*         Constante "pi"

*         Factorielles divisées

*         Loto

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