NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Divisibilité
Débutants Division	Produit de nombres consécutifs				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Général	2 Nb	3 Nb / pair	3 Nb / impair
	Récapitulatif	4 Nb	5 Nb / pair	5 Nb / Impair
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Observation des valeurs numériques >>> Explications – Cas des multiples de 4

Produit de CINQ nombres consécutifs

Pair / Impair / Pair / Impair / Pair

Toujours divisible par 240 au moins

Approche
Le produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 Lorsque le terme central est pair, le produit est divisible par 240 Peut-on aller plus loin?	120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) 240 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) pour n pair Exemples 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 = 240 x 3 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 6720 = 240 x 28
Rappel (n-1) n (n+ 1) = n (n -1) (n + 1) = n (n² - 1) = n^3 – n Note (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) = (n^3 – n) (n^2 – 4) = n^5 – 5 n^3 - 4n Notation: la barre verticale signifie "divise"

Observation des valeurs numériques
Le tableau donne la valeur du produit P = (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) pour n pair. Ce produit est divisé successivement par 240 et ses multiples. En rouge les non fractionnaires.
Conclusions liées aux observations.	Pour n pair: (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) Divisible par 240 pour n = 2k Divisible par 480 pour n = 2k, sauf n = 12 + 8k Divisible par 960 pour n = 8k ± 2 et n = 16k Divisible par 1920 pour n = 16k ± 2 et n = 32k …

Explications – Pourquoi 240
Le théorème classique sur les nombres consécutifs donne 120 pour la divisibilité d'un produit de cinq nombres consécutifs Ici, nous disposons de 5 nombres dont le central est pair, ce qui entraîne que les deux nombres d'extrémité sont aussi pairs Et, parmi trois pairs consécutifs, l'un d'eux est multiple de 4 Le produit est divisible par le PPCM des deux nombres	120 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) P Imp P Imp P 2 x2 x4 = 16 16 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) PPCM (120,16) = 240 240 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2)
PPCM: Plus petit commun multiple Ici: 16 = 2 x 2 x 2 x 2 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 PPCM = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5

Suite en Divisibilité du produit de cinq nombres consécutifs / impairs

Suite	Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair Nombres pairs et impairs – théorie Divisibilité de la somme de nombres consécutifs Produit de consécutifs = carré? Factorielles tronquées et leur divisibilité
Voir	Nombres consécutifs – Index Divisibilité – Index Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs Divisibilité des nombres consécutifs – Démo Somme de q nombres divisibles par q
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