NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Divisibilité
Débutants Division	Produit de nombres consécutifs				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Général	2 Nb	3 Nb / pair	3 Nb / impair
	Récapitulatif	4 Nb	5 Nb / pair	5 Nb / Impair
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Observation des valeurs numériques >>> Explications – Cas des multiples de 4

Produit de CINQ nombres consécutifs

Impair / Pair / Impair / Pair / Impair

Toujours divisible par 120 au moins

Approche
Le produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 Peut-on aller plus loin?	120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) Exemples 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 2520 = 240 x 21
Rappel (n – 1) n (n + 1) = n (n – 1) (n + 1) = n (n² – 1) = n^3 – n Note (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) = (n^3 – n) (n^2 – 4) = n^5 – 5 n^3 – 4n Notation: la barre verticale signifie "divise"

Observation des valeurs numériques
Le tableau donne la valeur du produit P = (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) pour n impair Ce produit est divisé successivement par 120 et ses multiples En rouge les valeurs non fractionnaires.
Conclusions liées aux observations	Pour n pair: (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) Divisible par 120 pour n = 2k+1 (comme tous; règle normale) Divisible par 240 pour n = 8k ± 1 Divisible par 480 pour n = 16k ± 1 Divisible par 960 pour n = 32k ± 1 …

Explications – Cas de 8k
Le théorème classique sur les nombres consécutifs donne 120 pour la divisibilité d'un produit de cinq nombres consécutifs Développons ce que vaut notre produit pour n = 8k + 1 Une mise en facteur fait apparaître 16 en facteur commun Le produit est divisible par 16 Il est divisible par le PPCM des deux nombres	120 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) Pour n = 8k + 1 => (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) = 32768k5+20480k4+2560k3-320k2-48k = 16k (4k+1)(8k-1)(8k+1)(8k+3) 16 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) PPCM (120,16) = 240 240 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) pour n = 8k+1
Même raisonnement et même conclusion pour n = 8k - 1	240 | (n-2) (n-1) n (n+ 1) (n+2) pour n = 8k – 1
PPCM: Plus petit commun multiple Ici: 16 = 2 x 2 x 2 x 2 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 PPCM = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5

Voir Récapitulatif

Suite	Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair Nombres pairs et impairs – théorie Divisibilité de la somme de nombres consécutifs Produit de consécutifs = carré? Factorielles tronquées et leur divisibilité
Voir	Nombres consécutifs – Index Divisibilité – Index Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs Divisibilité des nombres consécutifs – Démo Somme de q nombres divisibles par q
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/CONSECUT/C5Impair.htm