toutes les fractions par leur numéro

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/02/2012 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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FRACTIONS en ZIGZAG

Procédé pour trouver systématiquement toutes les fractions. Il en existe:

Une infinité ayant 1 pour numérateur,

Une infinité ayant 2 pour numérateur,

Etc.

Une "immense infinité" !

Une explication s'impose.

ZIGZAG : toutes les fractions

sont numérotées par ce procédé

Les fractions marquées S sont des fractions que l'on peut simplifier, réduire.

On ne numérote que les fractions réduites.

Intérêt du procédé: numérotation systématique sans en oublier.

Notez:

Sur une diagonale N + D = Constante (montante ou descendante), on trouve des numéros de fractions successifs.

Voir Diagonale de Cantor

INFINITÉ

À chaque fraction imaginable, le procédé zigzag associe un numéro qui n'est autre qu'un nombre comme un autre.

Toutes les combinaisons de deux nombres sont transformées en un seul nombre.

Comparons la quantité de fractions (deux nombres) à celle des numéros (un nombre). Lesquels sont les plus nombreux?

La réponse tient à la constatation suivante: si à chaque nombre, on peut associer une fraction et réciproquement, alors, il y a "égalité" entre l'infinité des nombres et l'infinité des fractions (des nombres rationnels).

On dit plus exactement que:

Les deux ensembles sont équipotents

Ils ont même puissance

Ils ont même cardinal.

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