NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

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INFINI

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Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Nombres

 

Index infini

Transfinis

Dénombrement

Dénombrable

Aleph

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Pairs en nombre infini

>>> Hôtel d'Hilbert

>>> Cardinalité

>>> Fractions infinies

>>> Points sur une ligne, une surface …

>>> Cardinalité des nombres réels

 

 

 

 

INFINI – TRANSFINIS

 

George Cantor est le mathématicien de l'infini ou des différentes sortes d'infinis, les transfinis.

 

 

  

Approche

 

*      D'une manière générale, pour comparer deux ensembles, il faut appairer chaque membre de l'un avec un membre de l'autre (bijection). Ceci est vrai que l'ensemble soit fini ou infini.

 

*      Si tous les membres trouvent un homologue sans qu'il en reste de côté, alors les deux " infinis " sont "égaux" (équipotents).

 

*      Attention aux surprises!

 

 

Paradoxe de Galilée

Est-ce que la quantité des nombres entiers est plus grande que celle de leur carré. Il est évident que la plupart des nombres ne sont pas des carrés. Alors leur quantité devrait largement surpasser la quantité des nombres carrés. Et pourtant, à chaque nombre on peut associer son carré.

Conclusion: à l'infini, la notion de " plus grand, plus petit ou égal " n'est pas applicable.

Voir Paradoxe

 

 

Pairs en nombre infini

 

*      A chaque nombre pair, je peux associer un nombre entier selon la méthode suivante:

 

 

*      Ce qui montre que l'ensemble infini des nombres pairs est "égal" à l'ensemble infini des nombres entiers. Ce serait également le cas pour les cubes ou d'ailleurs une puissance quelconque. On sait également que les nombres premiers sont en nombre infini.

 

On dit que tous ces ensembles sont équipotents.

 

*      Surprise, dans le monde de l'infini, une part peut "égaler" le tout >>>

 

Voir Compter les nombres

 

 

Hôtel de Hilbert

 

*      Hilbert expliquait:

 

Soit un hôtel ayant une infinité de chambres occupées.

Un nouveau client arrive. Que faire?

Simple! On met le client 1 en chambre 2, le 2 en chambre 3, etc.

La chambre 1 devenue libre est attribuée au nouveau client.

 

Maintenant, arrive une infinité de clients.

On met le client 1 en chambre 2, le client 2 en chambre 4, le client 3 en chambre 6, etc.

Les chambres impaires deviennent disponibles pour y loger les nouveaux venus.

 

 

 

Cardinalité infinie

 

*      L'ensemble infini des nombres naturels possède le même nombre d'éléments que l'ensemble infini des nombres pairs ou celui des nombres impairs, de même que celui des carrés ou des cubes …

Voir Cardinal

 

*      Quelle est la dimension, ou la cardinalité de cet ensemble infini? L'infini! Oui, mais Cantor donne un nom particulier à cette bestiole. Il la désigne par la première lettre de l'alphabet hébreu.

 

 qui se lit Aleph

 

 

 

 

Fractions infinies

 

*      En écrivant les fractions de la manière suivante:

*       1

*       2/1, 1/2 : telles que la somme numérateur plus dénominateur est égale à 2;

*       3/1, 2/2, 1/3 : telles que la somme numérateur plus dénominateur est égale à 3;

*       Etc.

 

*      En procédant ainsi, nous décrivons toutes les fractions possibles. C'est-à-dire tous les nombres rationnels.

 

*      Nous allons montrer que l'ensemble infini des rationnels est, lui aussi,  "égal" à l'ensemble infini des entiers. Pour cela, écrivons numérateur, puis dénominateur sous forme d'un couple:

 

Voir procédé Zigzag.

 

*      L'ensemble des nombres rationnels, comme l'ensemble des nombres naturels, a pour grandeur " Aleph " et même " Aleph zéro " (0).

*      Bon! L'affaire est entendue: tous les infinis sont égaux.
Eh bien, non! …

 

 

 

Points sur une ligne, une surface, un volume …

 

*      Prenons les points qui constituent une ligne. La quantité de points est  naturellement infinie. Une quantité infinie identique à celle des nombres entiers? Non beaucoup plus: elle est identique à celle des nombres réels!

 

*      Plus fort encore: Que la ligne mesure 1 cm ou 1m, l'ensemble infini des points reste le même.

*      Poursuivons avec une surface. Nous ajoutons une dimension par rapport à la ligne. Pour définir un point dans une surface, il suffit de deux coordonnées (ex: 75 mm en X et 33 mm en Y). Ces deux nombres concaténés forment un nombre que l'on peut associer à la coordonnée d'un point sur une ligne. Nous en déduisons que la quantité infinie des points sur une surface est "égale" à celle des points sur une ligne. Même chose pour un cube ou un objet de dimension supérieure.

 

Conclusion

 

Il y a autant de points dans un segment d'un milliardième de millimètre que dans un cube immense ou une hyper sphère ou un volume de 7e dimension ou même de dimension infinie!

 

 

 

 

Cardinalité des nombres réels

 

*      Cantor utilise la fameuse méthode des associations pour démontrer que l'ensemble des nombres réels, comme ceux de la droite, de la surface ou du volume, sont infiniment plus nombreux que 0 . Leur cardinal est  1.

 

*      Il fait une démonstration par l'absurde utilisant ce qui est aujourd'hui connu sous le nom de diagonale de Cantor.

 

*      Ces infinis de différentes catégories (0, 1, 2 …) sont appelés transfinis.

Voir Calculs avec Aleph

 

 

Transfinis et au-delà …

Il n'existe pas de plus grand infini ou d'infini absolu. En effet: imaginons l'ensemble qui a le plus grand cardinal possible, alors l'ensemble des parties de cet ensemble aurait un cardinal strictement plus grand. Il est donc toujours possible de pousser plus loin l'infini.

Rappel: soit un ensemble de deux éléments {A, B}; son cardinal est 2 (la quantité d'éléments dans l'ensemble). L'ensemble de ses parties {(A), (B), (AB)} a un cardinal 3. Cette propriété est généralisable. Le cardinal d'un ensemble formé des parties d'un ensemble est plus grand que le cardinal de cet ensemble.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Diagonale de Cantor

*    Voir en haut de page

Voir

*    Je sais créer un nombre différent

*    Je sais créer une nombre premier plus grand

*    Je sais créer un ensemble plus grand

*    Je sais créer plus de points que je ne peux en compter

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/NbInfini/Transfin.htm