NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Recherche du parcours de longueur minimale

>>> Expression de f(x)

>>> Recherche du minimum de f(x)

>>> Patron du cube

>>> Bilan

 

 

 

 

Fonctions et leurs minimums

 

Exemple simple de résolution conduisant à la notion de minimum (donc de dérivée, sans la nommer) sur une fonction.

 

 

 

Recherche du parcours de longueur minimale

Problème

Un cube de 4 cm de côté.

Une fourmi part du point E pour atteindre le point C.

Elle passe par le point M situé à une disatnce x du point B.

On se propose de déterminer la position u point M pour minimiser le parcours de la fourmi.

 

Questions

Si f(x) représente la longueur EM + MC, quelle sont les valeurs possible de la variable x.

Donner l'expression de f(x).

Avec une calculatrice estimer le minimum de f(x) et justifier à partir du patron du cube.

 

Observations

On commence par faire travailler notre intuition.

Le trajet EMC (imaginez la fourmi qui se promène) traverse deux carrés absolument identiques. Imaginez que la fourmi reparte dans l'autre sens: CME. Le trajet est symétrique.

 Il n'y a pas de raison pour que le trajet sur l'un des carrés ou l'autre soit différent. Pour que ce soit possible, il faut que M soit le milieu de BF. Alors, on a le même trajet sur chacun des deux carrés.

Voir Fourmi sur parallélépipède (ou pavé)

 

 

 

Expression de f(x)

Ensemble des valeurs possibles pour x

Le point M se déplace de B à F, une arête du cube qui mesure 4 cm.

La variable x peut prendre toutes les valeurs de x = 0 à x = 4.

Calcul des longueurs EM et MC

 

Expression de f(x)

 

Avec le théorème de Pythagore:

 

 

 

S'agissant d'une somme de racines, il n'est pas possible simplifier.

 

 

 

Recherche du minimum de f(x)

 

Observation

On avait remarqué la nécessité d'une symétrie pour les deux carrés traversés. On a ici pour f(x), une somme de deux termes qui se ressemblent. Comment les rendre totalement semblable.

Oui! en prenant:  x = 2.

 

Graphe de la fonction

On sait que x varie de 0 à 4.

Je trace la courbe avec la calculette.

 

Je note un minimum pour x = 2 et y voisin de 8

 

Je vérifie pour x = 2: 

 

Pour x = 1,99 => f(x) = 8.944289

Pour x = 2      => f(x) =  8.944271

Pour x = 2,01 => f(x) = 8,944289

 

La valeur x= 2 est bien l'abscisse du point pour f(x) minimum.

 

 

Recherche systématique avec tableur ou calculatrice

Sur les tableaux de droite, on a retiré 8,9 et on a multiplié par 100 pour mieux observer le passage par le minimum

 

 

Patron du cube

On dessine le patron du cube en respectant la notation des sommets.

On représente le trajet AMC quelconque (vert) et le trajet AMC avec M au milieu de FB (rouge)

 

La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. C'est bien le trajet rouge qui représente une longueur minimum.

 

 

Bilan

On a recherché le passage par un minimum "à la main".

Nous apprendrons qu'il existe un outil pour atteindre cet objectif très précisément, c'est la dérivée.

Dans notre cas, elle n'est pas simple:

Et son passage à 0 est obtenu pour x = 2, confirmant la recherche faite ci-dessus.

 

 

 

 

 

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