NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Équations

ÉQUATIONS

du 2e degré

 

Glossaire

Équations

2e degré

 

 

INDEX

Équations

 

Introduction

Résolution graphique

Solutions entières

Somme et produit

Résolution simple

Nombres

Historique

Résolution générale

Applications

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche sur un exemple

>>> Panorama

>>> Forme polynomiale du second degré

>>> Exemple avec la forme canonique

 

 

 

 

ÉQUATIONS du 2e degré

ou Équation du second degré 

ou Équation quadratique

ax² + bx + c = 0

 

L'équation du deuxième degré possède deux racines, mais pas toujours des racines en nombres réels. Elles peuvent complexes.

 

S'il vous plait, la solution, tout de suite! >>>

 

 Voyez la résolution graphique (qu'elle est belle ! )

Si elle est bien comprise l'équation du deuxième degré n'a plus aucun secret.

 

Anglais: Quadratic equation

 

APPROCHE

 

Problème

 

Un fermier

Un terrain carré

de x mètres de côté

Il dépense un total de 140 euros

dont 1 euro d'engrais par m²

et 1 euro par m de clôture

 

Quelle est la taille du terrain ? 

 

Paramétrage

 

fermier

superficie = x²

périmètre = 4x

140 euros

euros en engrais

4x euros en clôture

 

 

Solution

Il dépense

Engrais

 

 

 

Clôture

4x

 

 

 

Total

x² + 4 x

= x² + 4x + 4 – 4

 

 

 

 

= (x + 2)² – 4

 

En euros

 

 

(x + 2)² – 4

= 140

 

 

 

(x + 2)²

= 144

 

 

 

x + 2

= 12

Côté du carré

 

 

x

= 10

 

Réponse: le fermier possède un terrain carré de 10 m de côté

 

Remarque

 

L'astuce a consisté à remarquer que

x² + 4x

est le début du développement d'un carré remarquable:

(x + 2)² = x² + 4x + 4.

 

 

 

 

 

Panorama – Variation sur une équation

 

*    Voici l'équation de Cardan déclinée selon le signe et la constante 10 ou 40. En jaune l'équation et en marron plus ou moins foncé, les deux racines réelles ou complexes.

 

 

*    Les pages suivantes vont montrer comment résoudre de telles équations.
 

 

 

 

 

Forme polynomiale du second degré

 

Le trinôme ou forme polynomiale du second degré peut s'écrire de trois façons.
 

Forme développée

Usage: calcul de limite, de dérivée, d'intégrale.

Forme factorisée

Avec les deux racines réelles lorsqu'elles existent.

Usage: étude de signe

Forme canonique

Usage: introduction du discriminant: b² - 4ac

Exemple de mise sous forme canonique

Fonction

Mise en facteur de a

Recherche du début d'un carré

(identité remarquable)

On recolle avec notre trinôme,

puis calculs

 

 

 

 

 

Alternative de calcul

 

En rapprochant la forme développée de la forme canonique

En égalant les termes semblables

Soit les valeurs de A et B

Application numérique

 

Le point de coordonnées (A, B) est le point d'extremum de la parabole. Celle-ci est symétrique par rapport à la verticale d'abscisse x = 5

 

 

 

Forme canonique explicitée

Poursuivons nos calculs en remplaçant A dans l'expression e B

 

 

 

 

En remplaçant A et B par leurs valeurs

 

 

 

Pour information:

 

La parabole           

 

Sommet (5, -157)

 

Racines:

 

 

 

Exemple avec forme canonique

 

Une ficelle de 1 mètre de long.

On en coupe un morceau de longueur x.

 

Avec ce morceau on forme un carré; avec l'autre, un rectangle deux fois plus long que large.

 

On cherche la valeur de x telles que les deux figures présentent une aire totale minimale.  

 

Carré

P = 4c = x

Rectangle

P = 6L = 1 – x

Aire totale

 

 

Forme canonique

Bilan

 

L'aire est minimale pour x = 8/17 = 0,47 …

C'est là qu'il faut donner le coup de ciseau.

 

L'aire totale vaut: 1/34 = 0,029 m².

 

Côté du carré: 2/17 = 0,117… m

Largeur du rectangle: 3/34 = 0,088… m

 

C'est avec le carré seul (x = 1) que l'aire est maximale (A = 1/16 = 0,0625)

 

 

 

 

 

Suite

*    Résolution graphique

*    Autre exemple  et notations anciennes

*    Exemple avec astuce

*    Deuxième degré avec somme et produit

*    Deuxième degré – Recherche des racines

*    Voir haut de page

Différences secondes constantes

ax² + bx + c

*    Méthode des différences de Babbage

*    Somme des entiers – Méthode des différences

*    Dénombrement des régions du cercle

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Équations en poèmes

*    Méthode de Newton

*    Système d'équations – Somme100

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*    http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Eqa2d.htm