NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Somme de puissances

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Carré somme de cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Illustration du théorème de Pythagore

>>> Démonstration physique

>>> Démonstration muette

>>> Preuve simpliste

>>> Deux propriétés fondamentales

 

>>> Démonstrations du théorème de Pythagore

 

>>> "Cube" de Pythagore

>>> Curiosités 

 

 

 

 

 

 

 

THÉORÈME DE PYTHAGORE

 Démonstration

 

Il existe une collection des 370 démonstrations!

Elisa Scott Loomis - The Pythagorean proposition – 1940 

 

Ce théorème était connu des Chinois, bien avant Pythagore.

 

Illustration

Voir Bienvenue aux Internautes de l'éducation nationale

 

 

Devinette

Un cas très particulier d'application du théorème de Pythagore. Un lanceur de javelot voyage avec son engin de 2,40 m de long. Comment s'y prend-t-il pour prendre l'avion, sachant que l'aéroport n'accepte aucun colis de plus de 2,20 m de long?

Solution / Voir le Dab de Pogba

 

 

THÉORÈME DE PYTHAGORE – Illustration

 

Dans un triangle rectangle:

 

Aire du carré construit sur l'hypoténuse

=

Somme des aires des carrés construits sur les côtés

 

C'est la 47e proposition d'Euclide, illustrée de la manière suivante:

 

 

 

 

"DÉMONSTRATION" physique

 

Il s'agit en fait d'une expérience astucieuse de travaux pratiques en physique qui illustre le théorème de Pythagore. Le mot démonstration doit être pris dans son sens commun: action de montrer, d'expliquer; et non dans son sens mathématiques: raisonnement qui prouve une vérité.

 

 

 

Il s'agit du principe du sablier, ici, avec de l'eau.

 

Les deux carrés* posés sur les côtés du triangle rectangle sont remplis d'eau.

En basculant le "sablier" l'eau se déverse dans le grand carré accolé à l'hypoténuse.

L'eau contenue dans les deux petits carrés remplit exactement le grand carré.

 

* En fait, le dispositif est en volume, mais l'épaisseur étant constante, elle est neutre dans le calcul.

 


Va + Vb  = Vc
a².e + b².e= c².e
    + b²   = c²

 

 

Source images à partir de la vidéo: Pythagorean Theorem Water Demo - senorgif.com

 

 

DÉMONSTRATION MUETTE 

 

Cas classique de dissection du carré

Le premier carré est découpé pour reformer le second avec les mêmes pièces.

 

De chaque grand carré, on retire les quatre Triangles:

T1 ,  T2 ,  T3 ,  T4  de  côtés: a, b et hypoténuse: c

Les surfaces restantes en jaune sont identiques:

 

a² + b² = c²

  

Explications si nécessaire …

À gauche, un carré (a+b) découpé en deux carrés (a) et (b) et quatre triangles rectangles égaux (isométriques) dont les dimensions sont a, b et c pour l'hypoténuse.

Avec ces pièces, on compose un nouveau carré de rigoureusement la même dimension que le premier (a+b) en translatant trois des triangles rectangles pour les plaquer au bord du grand carré. La place laissée libre au centre est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de longueur c.

 

En géométrie élémentaire, on apprend que: dans un triangle rectangle, les deux angles non-droits sont complémentaires (= 90°). Sur la figure dans le triangle T1 : A  + B  = 90°.

Même chose dans le triangle T4 avec l'angle B. Or les deux triangles T1 et T4 sont alignés par leur côtés et A + D + B = 180°.  En rapprochant de l'égalité précédente: D = 90°

Le quadrilatère a quatre côté égaux et un angle droit, c'est un carré.

 

Voir Démonstration chinoise / Construction de a² / Dissections

 

 

PREUVE SIMPLISTE

 

Preuve simpliste avec le triangle isocèle rectangle (jaune):

Somme des aires des 2 petits carrés bleus

= aire du grand carré bleu

= 4 triangles

 

 

 

 

DEUX PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES

 

Trois triangles semblables

*    Soit un triangle rectangle initial.

*    L'angle droit est la somme  des angles A et B.

A + B  = 

90°

*    On dessine la hauteur.

hauteur

p

*    Elle sépare deux triangles rectangles plus petits.

*    La somme des deux angles est égale à 90°.

A' + B =

A + B' =

90°

90°

*    En comparant avec la première égalité.

A' =

B' =

A

B

*    Les trois triangles, le grand et les deux petits.

ont tous leurs angles égaux 2 à 2

 

=> ils sont semblables

 

 

Conclusions pour notre théorème

 

*  Dessinons les trois triangles de la même manière pour mieux s'y retrouver:

*       hypoténuse horizontale,

*       angle A vers la droite.

 

 

Égalités dans les triangles semblables

 

a/c = x/a

=>

a² = cx

b/c = y/b

=>

b² = cy

p/x = y/p

=>

p² = xy

 

Première propriété: théorème de Pythagore

a² = cx

b² = cy

=>

a² + b² = c(x + y)

= c ( c )

a² + b² = c²

 

Deuxième propriété: interprétation des imaginaires

p² = xy

=>

p = xy

 

Voir Triangle rectangle et sa hauteur

 

 

DÉMONSTRATIONS

du théorème de Pythagore

 

Géométriques simples

 

Sans doute la démonstration la plus simple, d'origine indienne (védique)
et variante due au mathématicien indien Bhaskara (né vers 1114).

 

 

On évalue la surface S du grand carré de deux manières:

S = (a + b = a² + 2ab + b²

S = c²

S = c² + 4 (ab/2) = c² + 2ab

S = 4 (ab/2) + (b – a)²

=> a² + b² = c²

=> c² = a² + b²

 

Voir Découpe du rectangle

 

 

 

Président américain Garfield

 

Comparaison des aires

1 TRAPÈZE

½ somme des côtés x base

 

½ (a + b) (a + b)

= ½ (a² + 2ab + b²)

 

3 TRIANGLES

½ base x hauteur

 

½ ab + ½ ab + ½ cc

= ab + c²/2

 

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

 

En fait, c'est une variante de celle indiquée ci-dessus

Il suffit de tracer le complément (en gris) pour s'en rendre compte.

 

 

Expéditive due à Michael Hardy - 1986

 

 

Les triangles B'AC et  CAC' sont semblables.

Proportionnalité des longueurs des côtés:

 

Produit en croix               (c + a) (c - a) = b²

Identité remarquable            c² – a² = b²

 

 

Dans le même esprit, la plus simple pour un matheux

 

 

Géométrique (Euclide)

 

 

*  Proposition 47 du livre I des Éléments d'Euclide (vers -300)

 

*  Voici le principe de la démonstration en quatre étapes (quatre figures).
Elle consiste à prouver la relation entre les aires des carrés jaunes.

 

 

 

 

*  AFG et AFC ont la même base (AF) et des sommets sur une parallèle à la base: CG / / AF.

=> Égalité des aires des triangles AFG et AFC.

 

*  Même raisonnement pour ADL et ADB.

 

=> Égalité des aires des triangles ADL et ADB.

 

 

 

 

 

*  Quant à AFC et ABD, ce sont des triangles égaux par rotation de 90° :

AF = AB,

AC = AD,

et les angles FAC = 90° + BAC et BAD = BAC + 90° sont égaux.

Donc, les deux triangles sont égaux.

 

 

 

 

 

 

*  On raisonne de la même manière pour le côté droit, pour aboutir à l'égalité des aires:

 

ACED = ABGF + BCKH

 

CQFD

 

Un peu complexe!

Euclide est allé chercher un peu loin, mais cette démonstration a une valeur historique.

Voir Animation très explicite par les éditions du Kangourou

 

Par pavage

 

*  On trouve trois répliques du triangle initial qui permettent de comprendre comment la somme des grands et petits carrés donne le carré oblique.

 

 

Principe du pavage correspondant

 

 

Autre version par pavage

Henry Dudeney  - 1917

 

*  On peut placer toutes les pièces du grand carré dans le carré oblique.

 

 

Élégance de Léonard de Vinci

 

 

Généralisation par Pappus

 

*  Si les deux segments indiqués (rouges) sont égaux,

alors, le plus grand parallélogramme (jaune)

est la somme des deux autres (ocres).

 

*  Valable quel que soit l'angle de chaque parallélogramme, la base et la hauteur de chacun étant fixées.

 

 

 

BRIQUE de PYTHAGORE 

 

Pavé, Parallélépipède ou Brique de Pythagore

 

3² + 4² =

 

5² + 12² =

13²

 

Voir Brique de Pythagore / Pavé

 

 

 

CURIOSITÉS

 

Même périmètre

 

Les triangles

30, 40, 50

24, 45, 51

20, 48, 52

ont même périmètre 120.

 

C'est le plus petit trio ayant cette propriété.

 

Même superficie

 

 

 

 

Devinette – Solution

 

Question

Un lanceur de javelot voyage avec son engin de 2,40 m de long. Comment s'y prend-t-il pour prendre l'avion, sachant que l'aéroport n'accepte aucun colis de plus de 2,20 m de long?

 

Solution

Il confectionne une boite pour placer son javelot en travers

Alors, la largeur de la boite doit dépasser:

Retour

 

 

 

SUITE

*    Démonstration chinoise

*    Exemples de calculs

*    Démonstration de la formule de Héron

*    Football – Temps de réaction du gardien

*    Invariant de la relativité (Minkowski)

*    Les 17 équations qui ont changé le monde

*    Toutes les relations dans le triangle quelconque

*    Application au calcul du trajet des fourmis sur pavé ou sur cylindre

*    Le théorème en 3D – Cas de la pyramide

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Pythagore - Biographie

*    Toutes les relations dans le triangle quelconque

Aussi

*    Bi, tripartitions

*    Bouleversements et crises en maths

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*    Conjecture de Riemann

*    Conjecture d'Euler

*    Nombre = sommes de puissances

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*    Petit théorème de Fermat

*    Somme multi puissantes

*    Théorie des nombres

*    Triangle

*    Unité des puissances

Sites

*      L'animation d'Archimède (explications simples
à propos de plusieurs démonstrations avec animations;
le théorème de Pythagore est présenté d'une façon astucieuse)

*      Démonstrations illustrées et animées (SUPER!!!)

 

*      Théorème de Pythagore par les élèves du Collège Jules Flandrin

*      The Pythagorean Theorem by Stephanie J. Morris

*      Animated Proof of the Pythagorean Theorem

*       

*      Pythagorean Theorem Cut-the_knot – Alexander Bogomolny – revue (en anglais) de quantité de démonstrations

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThPythDe.htm

 

 

 

BIENVENUE en particulier

aux professeurs et élèves des écoles et lycées

 

 En effet: cette page est liée à un site qui vous est dédié: NOE-éducation

 

*       Sur ce site, vous trouverez de nombreuses idées de travaux pratiques, de problèmes, devinettes et puzzles.

*       En fait, une panoplie d'informations qui visent à se familiariser avec les nombres par la pratique, et, cela, dans toutes les disciplines. Vous serez alors armés pour aller explorer les bases de la théorie des nombres.

 

Voir aussi:

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