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Édition du: 14/08/2020

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Triangles

 

Géométrie

 

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Théorème de Pythagore

Débutants

Nomenclature – Types de démonstrations

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Calcul Aires

Dissections

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Historiques

Similitudes

Hypoténuse

Pappus-Clairaut

Chinoise (Chou Pei)

Algébrique

Pyramide

 

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Théorème de Pythagore

Approche et types et démonstrations

 

THPythagore.JPG 

Avec le théorème de Thalès, c'st le théorème le plus utilisé durant les études de secondaire. Il existe une collection des 370 démonstrations! Parmi elles, nombreuses sont de simples variantes.

Ce théorème était connu des Babyloniens et des Chinois, bien avant Pythagore.

 

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Sommaire de cette page

>>> Illustration du théorème de Pythagore

>>> Illustration physique

>>> Preuve simpliste – Cas particulier

>>> Démonstration de Bhaskara

>>> Démonstration par échange de triangles

>>> Types de démonstrations et liens

>>> Généralisation du théorème  de Pythagore

>>> Curiosités et brique de Pythagore

  

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais: Pytaghoras Theorem

 Voir Bienvenue aux Internautes de l'éducation nationale

Voir Théorème de Pythagore et Théorème de Thalès – Débutants

 

 

Théorème de Pythagore – Illustration

haut

 

47e proposition d'Euclide dans Les Éléments:

Dans un triangle rectangle ABC:

*      aire du carré construit sur l'hypoténuse =

*      somme des aires des carrés construits sur les côtés.

 

,

Devinette

Un cas très particulier d'application du théorème de Pythagore. Un lanceur de javelot voyage avec son engin de 2,40 m de long. Comment s'y prend-t-il pour prendre l'avion, sachant que l'aéroport n'accepte aucun colis de plus de 2,20 m de long?

Solution

 

Figure des "moulins à vent"

Cette illustration représente bien la manière de penser courante à cette époque, non pas en carré de valeurs mais surface.

Voir Propriété de cette figure

 

Voir le Dab de Pogba

 

Illustration physique

haut

 

Il s'agit en fait d'une expérience astucieuse de travaux pratiques en physique qui illustre le théorème de Pythagore.

 

 

Il s'agit du principe du sablier, ici, avec de l'eau.

 

Les deux carrés* posés sur les côtés du triangle rectangle sont remplis d'eau.

En basculant le "sablier" l'eau se déverse dans le grand carré accolé à l'hypoténuse.

L'eau contenue dans les deux petits carrés remplit exactement le grand carré.

 

Remarque

* En fait, le dispositif est en volume, mais l'épaisseur étant constante, elle est neutre dans le calcul.
Va + Vb  = Vc
a².e + b².e = c².e
    + b²   = c²

 

Notez que
a².a + b².b = c².c
a3    + b3   = c3
est impossible.

Source images à partir de la vidéo: Pythagorean Theorem Water Demo - senorgif.com

 

 

Preuve simpliste (cas particulier)

haut

 

Preuve simpliste avec le triangle isocèle rectangle (jaune):

 

Aire des deux petits carrés bleus

= aire du grand carré vert

= quatre triangles dans chaque cas.

 

Les petits triangles isocèles rectangles sont identiques car ce sont des copies du triangle jaune central, avec les mêmes longueurs de côtés.

 

 

Démonstration de Bhaskara

haut

 

Sans doute la démonstration la plus simple, d'origine indienne (védique) et variante due au mathématicien indien Bhaskara (né vers 1114).

 

Première démonstration

On évalue la surface S du grand carré de deux manières:

 

Grand carré

S = (a + b)² = a² + 2ab + b²

Ses composantes

S = c² + 4 (ab/2) = c² + 2ab

Conclusion

=> a² + b² = c²

 

 

Deuxième démonstration (variante)

On évalue toujours la surface S du grand carré de deux manières:

 

Grand carré

S = c²

Ses composantes

S = 4 (ab/2) + (b – a)²

Conclusion

=> c² = a² + b²

 

Voir Découpe du rectangle

 

Démonstration par échange de triangles

haut

 

 

Construire les deux carrés jaunes de côtés a et b.

 

En reportant le petit carré dans le moyen (pointillés), on trace la ligne rouge qui engendre deux triangles rectangles identiques de côtés a, b et c.

 

Ces deux triangles déplacés en position bleue forment le grand carré oblique de côté c.

 

Démonstration due à Thabit Ibn Qurra (vers 900).

On retrouve cette disposition dans de nombreuses variantes

Voir Suite en dissections / Brève 433

 

 

Types de démonstrations

haut

Démonstrations historiques

Babylone, Chine, Inde >>>

Bhaskara >>>

Pythagore >>>

Liu Hui >>>

Chou Pei >>>

Thabit ibn Qurra >>>

Euclide >>>

Léonard de Vinci >>>

Démonstrations par dissections

Puzzles

 

Simpliste >>>

Découverte >>>

Liu Hui >>>

Thabit ibn Qurra >>>

Dissection à deux triangles >>>

Dissection de Perigal >>>

Dissection à quatre triangles >>>

Dissection à sept et huit pièces >>>

Dissection de Dudeney >>>

Chou Pei >>>

Démonstrations par calcul des aires

Bhaskara >>>

Euclide >>>

Léonard de Vinci >>>

Mascheroni-Président Garfield >>>

Dissection avec trapèze >>>

Aires dans la figure à trois carrés >>>

Aires des parallélogrammes >>>

Hexagone >>>

Avec deux carrés >>>

Avec double triangles >>>

Avec trois triangles (Einstein)  >>>

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En trois dimensions (tétraèdre) >>>

Démonstrations par similitudes / proportions

Triangles rectangles proportionnels >>>

Identique, avec similitudes >>>

Aires proportionnelles >>>

Avec un rectangle inscrit >>>

Moyenne proportionnelle de Colburn >>>

Cercle et proportions >>>

Michael Hardy >>>

Démonstrations par l'algèbre

Pythagore et distance >>>

Vecteurs (somme) >>>

Vecteurs (double triangle) >>>

Avec les dérivées >>>

Avec trigonométrie >>>

Avec exponentielles >>>

Avec les matrices >>>

Hypoténuse (méthode tamoule) >>>

Démonstrations expérimentales

Découpage pivotant d'Airy >>>

Sabliers (eau) >>>

Démonstrations par généralisation

Pythagore: cas particulier du théorème de Ptolémée >>>

Divers avec Pythagore et son théorème

Pythagore pour toutes les formes >>>

Pappus-Clairaut >>>

Trois carrés et quatre triangles >>>

Lunule >>>

Pyramide >>>

Carrés magiques de Pythagore >>>

Heptagone de Pythagore >>>

 

Merci !

Merci à tous les contributeurs qui ont décrit ces démonstrations avant moi. Parmi eux: Patrice Debart (en français) et Alexander Bogomolny (en anglais) et autres.

 

 

Généralisation du théorème  de Pythagore

Théorème de Pythagore

Base: triangle rectangle

 

Aire du grand carré

=  somme des aires des petits carrés

c² = a² + b²

 

Base: triangle quelconque

Généralisation à tout type de triangle.

 

 

 

 

Théorème d'Al Kashi

 

Base: triangle rectangle

Généralisation à toutes les  formes proportionnelles aux longueurs des côtés.

Le théorème du pitre à bord !

 

 

Voir Généralisation à trois dimensions (tétraèdre)

Voir Généralisation à l'hyper-espace (matrices)

 

 

Curiosités avec Pythagore 

haut

 

Brique de Pythagore

3² + 4² =

 

5² + 12² =

13²

 

Triangles de même périmètre = 120

30, 40, 50      C'est le plus

24, 45, 51      petit trio.

20, 48, 52      ayant cette propriété

 

Deux triangles de même aire = 24

Voir Brique de Pythagore / Pavé

 

Devinette – Solution

 

Question

Un lanceur de javelot voyage avec son engin de 2,40 m de long. Comment s'y prend-t-il pour prendre l'avion, sachant que l'aéroport n'accepte aucun colis de plus de 2,20 m de long?

 

Solution

Il confectionne une boite pour placer son javelot en travers. Alors, la largeur de la boite doit légèrement dépasser:

 

Retour / Informations complémentaires

 

 

 

 

Retour

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Suite

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*      Démonstration muette par dissection

*    Autres pages en en-tête  ou en nomenclature des types de démonstrations

Applications du théorème

*      Application au calcul du trajet des fourmis sur pavé ou sur cylindre

*      Calcul de la longueur de l'hypoténuse façon tamoule

*      Démonstration de la formule de Héron

*      Dissection de Dudeney

*      Exemples de calculs

*      Football – Temps de réaction du gardien

*      Invariant de la relativité (Minkowski)

*      Le théorème en 3D – Cas de la pyramide

*      Les 17 équations qui ont changé le monde

*      Propriétés des trois triangles

*      Toutes les relations dans le triangle quelconque

*      Heptagone de Pythagore

Voir

*      AdditionGlossaire

*      Années Pythagore

*      Bi, tripartitions

*      Bouleversements et crises en maths

*      Carré somme de cubes

*      Cercle

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*      Somme de puissances

*      Somme multi puissantes

*      Th de Fermat-Wiles

*      Théorème de Thalès

*      Théorie des nombres

*      Toutes les relations dans le triangle quelconque

*      Triangle

*      Unité des puissances

Livre

*      The Pythagorean proposition – Elisha Scott Loomis – 1940 (2e édition) – 310 pages. 370 démonstrations dont 109 algébriques (calculs), 255 géométriques (aires), 4 vectorielles et 2 mécaniques (dynamique). 

Sites

*      Démonstrations géométriques de Pythagore – Descartes et les Mathématiques – Patrice Debart – Très complet

*      La secte des nombres – 2019 – Claudi Alsina – CNRS 

*      Quelles démonstrations pour le théorème de Pythagore ? – Alain Bernard et Brigitte Roussel

*      Théorème de Pythagore – Wikipédia

*      Théorème de Pythagore : dissection de Perigal – Cordierphychi – Vidéo

*      Encore une preuve du théorème de Pythagore – 2019  – André Navas – CNRS

*      Démonstrations géométriques de Pythagore – Mathématiques Internet Aix Marseille

 

*      Pythagorean Theorem – Cut-the_knot – Alexander Bogomolny – Revue (en anglais) de quantité de démonstrations

*      Pythagorean Theorem – Alexander Bogomolny – 2005 – 54 démonstrations

*      Many Proofs of Pythagorean Theorem -  Takaya Iwamoto – 2006 – Animations

*      The Pythagorean Theorem by Stephanie J. Morris

*      A mathematical Fable – Numberphile

*      Teorema di PitagoraAnimation avec geoGebra

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThPythDe.htm

 

 

 

BIENVENUE en particulier

aux professeurs et élèves des écoles et lycées

 

 En effet: cette page est liée à un site qui vous est dédié: NOE-éducation

 

Sur ce site, vous trouverez de nombreuses idées de travaux pratiques, de problèmes, devinettes et puzzles.

En fait, une panoplie d'informations qui visent à se familiariser avec les nombres par la pratique, et, cela, dans toutes les disciplines. Vous serez alors armés pour aller explorer les bases de la théorie des nombres.

 

Voir aussi:

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