NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ANALYSE

 

Débutants

Général

Dérivées

 

Glossaire

Dérivée

 

 

INDEX

Analyse

 

Approche

Historique

Débutants

 Développement

Ficelles de première

Les dérivées

Exemples résolus

Exemples (limites)

 

Sommaire de cette page

>>> Balade en voiture

>>> Sportif

>>> En général

 

 

 

DÉRIVÉE – Novices

 

Vous savez ce qu'est une vitesse.

Vous savez alors ce qu'est une dérivée.

 

Dérivée:          taux de variation d'une grandeur.

Vitesse:          taux de variation de la distance parcourue.

Accélération: taux de variation de la vitesse.

 

Coucou! Je suis en première et je voudrais démarrer d'un bon pas >>>

 

 

 

BALADE EN VOITURE

 

*    Je suis sur une belle route de campagne et je note la distance parcourue:

*    En 1 heure, j'ai fait 50 km;

*    La 2e heure, j'ai fait 50 km;

*    Total: 100 km.

*    Ma vitesse est vraiment régulière:

*    Elle est de 50 km / h.

*    On observe une simple droite sur le graphique.
   

Ce graphique montre la distance parcourue en fonction du temps.

Note: Belle balade durant laquelle j'aurais pu composer une jolie ballade (poème épique) >>>

 

 

 

*    Le lendemain je note:

*    En 1 heure, j'ai fait 75 km;

*    La 2e heure, j'ai fait 25 km;

*    Total: 100 km.

*    Le trafic est fluctuant, ma vitesse n'est pas la même selon l'heure:

*    Elle est de 75 km / h la première heure;

*    Et de 25 km / h la deuxième.

*    La vitesse est facile à observer sur le graphe.

*    C'est la pente de la droite dessinée.

 

La première heure, je vais plus vite que la seconde. La pente de la droite témoigne de la vitesse.

 

 

SPORTIF

 

*    Un sportif en voiture se lance départ arrêté et accélère:

*    En 1 heure, il fait 25 km;

*    La 2e heure, il fait 75 km;

*    Total: 100 km.

*    Quelle est sa vitesse?

*    Elle change constamment.

*    C'est là qu'intervient la notion de dérivée.

*    Comment calculer la pente de la tangente en tout point?

 

La vitesse c'est la pente de la courbe. Mais quelle pente?

 

 

*    La courbe est décrite par la fonction

*    y = a x2
(on admet cette fonction, parce que je l'ai choisie ainsi. C'est une parabole)

*    Avec au point extrême
x = 2 heures et y = 100 km

Soit 100 = a . 22

Et               a = 25

*    L'équation de la courbe devient:

*    y = 25 x²

avec x = 1 => y = 25

*    Effectivement, le sportif avait noté qu'il avait fait 25 km au bout de la première heure.

*    On apprendra que:

*    la fonction dérivée de y = a x²

est   y' = 2 a  x

ici    y' =    50 x

 

*    La constante 2a = 50 (une accélération) permet de calculer la vitesse instantanée.

 

Elle vaut 50 km/h au point x = 1 heure et elle vaut 100 km/h au point x = 2 heures.
Ici cette accélération est constante: elle vaut 50 km/h² (ou 50 km.h-2). Ce qui veut dire que la vitesse progresse de 50 km/h toutes les heures

 

 

On note la distance en fonction du temps:

d = f(t).

Mais pour être plus général, nous allons prendre:

y = f(x)

 

Ici:                 y = 25 x²

La dérivée est y' = 50 x

 

Avec x = 1, y' = 50 km/h;

C'est ma vitesse au temps 1 heure (droite tangente en vert).

 

Avec x = 2, y' = 100 km/h;

C'est ma vitesse au temps 2 heures (2e droite tangente en vert).

 

Voir Accélération

 

 

Vous ne l'avez pas demandé …

Je me pose une question

Au bout d'une heure, la vitesse (instantanée) est déjà de 50 km/h, alors que je n'ai parcouru que 25 km. Je trouve cela bizarre.

Voyons cela en prenant une échelle de temps plus petite.

Voyons ce qui se passe toutes les cinq minutes.

 

Explication

Sur ce tableau à gauche, les valeurs trouvées pour une heure et deux heures de route. Notamment 25 km parcourus avec une vitesse au bout d'une heure qui est grimpée à 50 km/h (sujet de notre interrogation).

 

Sur le tableau à gauche, le même type de calcul mais avec les minutes comme unité de temps. Nos valeurs au bout d'une heure (60 min.) se retrouvent. Nous constatons que la vitesse croit progressivement pour atteindre 50km/h.

Calculons la distance parcourue toutes les tranches de cinq minutes. Un calcul approximatif serait le suivant: autour du temps 5 min, je prends la vitesse moyenne (0 + 4,17) / 2 = 2,08 que je multiplie par la tranche de temps de 5 min. soit 5/60 heure. Résultat: 0,17. La somme de ces parcours élémentaires atteint les 25 km. Nous voilà rassurés.

 

 

 

EN GÉNÉRAL

 

*    Si je veux calculer la vitesse à laquelle je roule à 1 heure pile (pour pouvoir l'afficher sur mon compteur, par exemple)

*    Je regarde la distance parcourue au compteur : 25 km.

*    Je roule un peu, disons 10 minutes et je note à nouveau la distance parcourue: je trouve 35 km.

*    Le calcul classique de vitesse donne

*    10 km en 10 minutes;

6 fois plus en 1 heure,

soit 60 km / heure.

 

 

*    Non, mais attendez, j'ai pu accélérer ou ralentir en 5 minutes !!!

C'est vrai, alors, il faut mesurer pendant un tout petit intervalle de temps pour éviter trop d'erreurs dues aux fluctuations de vitesse.

*    Plus le temps de mesure est court, plus la vitesse instantanée est précise. Mais, il faut un compteur kilométrique très précis. Combien de mètres en 10 secondes et même moins ?

*    Newton a trouvé un truc pour s'en sortir dans tous les cas ... si on connaît la fonction (comme ci-dessus avec y = ax²). Les mathématiciens modernes ont justifié la méthode des dérivées, encore utilisée aujourd'hui.

 

Merci à Valérie G. pour les conseils d'amélioration

 

Suite

*    Approche des dérivées via le carré ou le cube des nombres

*    Dérivées

*    Intégrale – Approche avec 1/x

*    Primitive

Voir

*    DérivéesGlossaire

*    Équations différentiellesGlossaire

*    Infinitésimaux

*      VitesseGlossaire

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