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Édition du: 14/08/2021

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Carré et cercles

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Aires dans le CARRÉ divisé

 

Découvrons quelques propriétés des carrés lorsqu'ils sont divisés. Occasion d'énigmes.

 

Sommaire de cette page

>>> Carré divisé en quatre

>>> Carré divisé par un rectangle

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

 

Devinettes

 

 

ABCD est un carré.

Le point E est quelconque.

 

 

Quel est l'aire du second triangle bleu ?

 

Quelle est l'aire du quatrième quadrilatère ?

 

ABCD est un carré.

Les points F, G, H et I sont les milieux des côtés.

 

Le point E est quelconque.

Solution   

 

 Carré divisé en quatre

haut

 

Question 1

Un carré ABCD et un point interne quelconque P.

Que dire de l'aire des triangles verts comparé à celle des triangles bleus ?

 

Réponse

En partageant le carré par une horizontale et une verticale passant par P, on crée des triangles égaux deux à deux.

a1 + a2 + c1 + c2 = d2 + b1 + b2 + d1

a + c =  b + d

aire verte  = aire bleue

 

 

Question 2

Un carré ABCD et un point interne quelconque P, lequel est relié au milieu de chaque côté.

Que dire de l'aire des triangles verts comparé à celle des triangles bleus ?

 

Réponse

En joignant les milieux, on forme un carré (pointillé rouge).

À l'extérieur, les quatre triangles sont isocèles rectangles de mêmes dimensions, ils sont égaux.

À l'intérieur, on retrouve le problème précédent.

aire verte  = aire bleue

 

 

Devinette – Solution

Les traits pointillés montrent la manière de raisonner.

 

En notant les égalités, on trouve facilement que les aires roses sont égales aux aires bleues.

 

L'aire cherchée vaut:
  30 + 20 – 40 = 10

Nous venons de voir sur cette page que l'aire des quadrilatères verts est égale à celle des quadrilatères violets:

 

12 + 6 = 9 + X

= > X = 9

 

 Retour / Autres énigmes

 

Carré divisé par un rectangle

haut

 

Question

Un carré ABCD et un rectangle inscrit EFGH dont les côtés sont parallèles aux diagonales.

 

Quel est le périmètre du rectangle

 

Réponse

Il est constant et égal à la longueur des deux diagonales.

 

En effet

Lorsque le point E se déplace et rejoint le point D, le rectangle épouse la diagonale DB.

 

Mais aussi

La longueur EG constitue une partie de la diagonale et la demi-largueur GQ est égale à BQ car le triangle GBQ est isocèle, du fait des parallèles GE et BD et de l'angle droite en G.

GEFH = 2 x QQ' + 4 x GQ = 2 x BD

Périmètre = 2 x Diagonales

 

GeoGebra

Excellent exercice avec ce logiciel gratuit avec effet du déplacement du point E

 

 

 

Avec AD = 12, AC² = 2 x 12² et

 

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