NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   CARRÉ

 

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Géométrie

 

 

INDEX

GÉOMÉTRIE 

Carré

Propriétés

Rigide

Ptolémée

Carré (suite)

Pavage

Allumette

Carré en 5

Aire du carré

Carrés dans rectangle

 

Sommaire de cette page

>>> Un carré ou cinq

>>> Dissections

>>> Techniques de dissection

 

 

 

 

 

Un carré ou cinq

 

Soit un carré.

 

Comment en quatre lignes (ici en bleu) dessiner cinq petits carrés dont l'aire totale est celle du carré donné (ocre)?
 

Suite >>>

 

 

 

DISSECTIONS

*           Dans le cas général, il s'agit de découper une figure pour en former une autre. Un cas fréquent consiste à transformer la figure initiale en carré.

 

*           Cas célèbre de la chaise à porteur de Sam Loyd, ci-contre.
         

 

Loyd est la bonne orthographe.

 

Il s'agit de découper cette forme en deux parties

qui, recombinées, forment un carré.

 

Voir Solution

 

 

Propriétés

 

*           Les deux figures ont la même aire (par construction). Tarski, en 1935, a démontré qu'il n'existe pas de dissections paradoxales qui conduiraient à modifier les aires des figures considérées, quelle que soit la complexité du découpage utilisé, sauf pour la sphère.

 

*           En 1807, William Wallace, puis Bolay et Gerwein, démontrent que, étant donné deux polygones d'aires égales, on peut découper l'un en un nombre fini de pièces qui formeront l'autre.

 

*           On dit que les polygones de mêmes aires sont équivalents par dissection.

 

*           Cette propriété n'est pas valable pour les volumes. Un des fameux problèmes de Hilbert (1900) pose la question de l'équivalence des polyèdres de même volume par dissection.

 

*           En 1901, Max Dehn répond " non ", en prouvant que le cube et le tétraèdre ne sont pas équivalents.

 

 

 

 

Techniques de dissection

 

*           On peut procéder par tâtonnement, bien sûr;

*           On peut s'aider en considérant trois techniques de base:

-         Escalier,

-         Pavage, et

-         Bande.

 

 

 

 

ESCALIER

 

 

 

 

Voir  Énigme du tapissier

 

 

 

PAVAGE – Dissection de la croix

 

Voir Croix

 

 

 

PAVAGE correspondant

 

 

image005.gif

 

BANDES

 

 

 

Suite

*    Découpe du rectangle en carré

Voir

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*    Allumettes et carrés

*    Carré

*    Carré et nombres complexes

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*    Carré rigide

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*    Cube de Rupert

*    Dissection

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*    Les trois filles

*    Nombre QUATRE

*    Nombres carrés

*    Pavage de l'échiquier

*    Pavage du carré

*    Pliages

*    Quantité de carrés avec des allumettes

*    Rectangle

*    Topologie - Glossaire

Site

*      Dissections de polygones

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/CarGene.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

 

Dissection                   Formation du carré              Patron

 

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