NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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   CARRÉ

 

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Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

Carré

Propriétés

Rigide

Ptolémée

Carré (suite)

Pavage

Allumette

Carré en 5

Aire du carré

Carrés dans rectangle

Carré dans le carré

 

Sommaire de cette page

>>> Construction d'un carré avec deux points milieux

>>> Un carré ou cinq

>>> Dissections

>>> Techniques de dissection

 

 

 

 

 Devinette

Un carré et quatre rectangles sont ainsi disposés pour former un grand carré.

On sait que l'aire du grand carré (A) vaut quatre fois celle du carré interne (a)

 

Quelle est le rapport entre la longueur (Y) de chaque domino et leur largueur (y) ?

Solution

 

Construction d'un carré

Construire un carré, connaissant deux points milieux A et B.

 

Construction

1.    Segment AB et son milieu C

2.    Perpendiculaires en A et B à AB

3.    Cercles (A, AC) et (B, BC). Intersections D, E, F et G, sommet du carré.

Voir Construction d'un carré passant par quatre points

 

 

Un carré ou cinq

 

Soit un carré.

 

Comment en quatre lignes (ici en bleu) dessiner cinq petits carrés dont l'aire totale est celle du carré donné (ocre)?
 

Suite >>>

 

 

 

DISSECTIONS

Dans le cas général, il s'agit de découper une figure pour en former une autre. Un cas fréquent consiste à transformer la figure initiale en carré.

 

Cas célèbre de la chaise à porteur de Sam Loyd, ci-contre.
         

 

Loyd est la bonne orthographe.

 

Il s'agit de découper cette forme en deux parties

qui, recombinées, forment un carré.

 

Voir Solution

 

 

Propriétés

Les deux figures ont la même aire (par construction). Tarski, en 1935, a démontré qu'il n'existe pas de dissections paradoxales qui conduiraient à modifier les aires des figures considérées, quelle que soit la complexité du découpage utilisé, sauf pour la sphère.

En 1807, William Wallace, puis Bolay et Gerwein, démontrent que, étant donné deux polygones d'aires égales, on peut découper l'un en un nombre fini de pièces qui formeront l'autre.

On dit que les polygones de mêmes aires sont équivalents par dissection.

Cette propriété n'est pas valable pour les volumes. Un des fameux problèmes de Hilbert (1900) pose la question de l'équivalence des polyèdres de même volume par dissection.

En 1901, Max Dehn répond " non ", en prouvant que le cube et le tétraèdre ne sont pas équivalents.

 

 

 

Techniques de dissection

 

Escalier

On peut procéder par tâtonnement, bien sûr;

On peut s'aider en considérant trois techniques de base:

-         Escalier,

-         Pavage, et

-         Bande.

 

PAVAGE – Dissection de la croix

 

 

PAVAGE correspondant

BANDES

Voir  Énigme du tapissier / Croix

 

Maillage de cubes entremêlés

Détail de l'Œuvre de l'artiste Guillaume Villemin (12/19)

 

 

Suite

*    Découpe du rectangle en carré

Voir

*      Allumettes

*      Allumettes et carrés

*      Carré

*      Carré et nombres complexes

*      Carré manquant

*      Carré rigide

*      Construction à la règle et au compas

*      Construction d'un carré passant par quatre points

*      Cube de Rupert

*      Dissection

*      Énigmes classiques

*      Géométrie

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*      Les trois filles

*      Nombre QUATRE

*      Nombres carrés

*      Pavage de l'échiquier

*      Pavage du carré

*      Pliages

*      Quantité de carrés avec des allumettes

*      Rectangle

*      TopologieGlossaire

Site

*      Dissections de polygones

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/CarGene.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

 

Dissection                   Formation du carré              Patron

 

Retour

 

 

 

 Devinette – Solution

Quelle est le rapport entre la longueur (Y) de chaque domino et leur largueur (y) ?

 

Autre calcul avec les aires

 

 

Solution en image

Retour / Autres énigmes / Brève n° 580

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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