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Édition du: 24/06/2020

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Géométrie

 

Jeux et énigmes

 

 

Géométrie – RECTANGLES

Rectangle

Carrés dans rectangle

Rectangle dans rectangle

Trapèze

Rectangle divisé en 4 ou 9

Pièce de puzzle

 

 

RECTANGLE DIVISÉ en 4 ou en 9

 

Comment calculer un périmètre ou une aire avec un minimum de connaissances sur la figure formée par un rectangle partagé par des lignes parallèles aux côtés.

Sur cette figure, calculer l'aire du quatrième rectangle.

Occasion de résoudre une énigme difficile mêlant des données sur les périmètres et l'aire.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Périmètre du rectangle en 4

>>> Périmètre du rectangle en 9

>>> Périmètre des six briques

>>> Aire du rectangle en 4

>>> Aire du rectangle en 16

>>> Énigme du périmètre et de l'aire

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

 

 

 

Périmètre du rectangle en 4

haut

 

Problème

On connait le périmètre du grand rectangle (46) et ceux de trois rectangles (14, 30 et 16), calculez le périmètre du quatrième.

 

Calcul

 

Rectangle divisé en 4

 

Propriété

La somme des périmètres de tous les rectangles internes est égale à deux fois celui du grand rectangle.

 

Périmètre du rectangle en 9

haut

 

La somme des périmètres des rectangles internes se déduit facilement avec un dessin du type de celui proposé.

 

Avec deux coupes verticales et deux horizontales, on forme neuf rectangles.

Les lignes de bordure épousent le périmètre du grand rectangle. Alors que les quatre lignes horizontales et les quatre lignes verticales reforment deux autres périmètres du grand.

 

 

Croix

Notez cette configuration particulière en croix

 

La somme des périmètres des rectangles jaunes est égale au périmètre du grand rectangle (bleu) plus celui p du rectangle central (rose)

 

Autre formulation:

CCENTRAL = PJAUNES – P

 

Énigme

 Avec les données de la figure, retrouvez le périmètre B du rectangle interne vert.

 

Solution

En reprenant, la constatation précédente, on a :

B = 30 + 14 + 26 + 18 – 66  = 88 – 66  = 22

Voir Rectangle divisé en croix   / Brève 411

 

Périmètre avec six briques

haut

 

Énigme

Sachant que le périmètre d'un seul rectangle est égal à 100, quel est le périmètre du dessin ?

 

Solution

Lé périmètre de toutes les briques est égal  à 6 x 100 = 600.

Les traits en bleu ne font pas partie du périmètre du dessin.

On dénombre six longueurs de briques et six largeurs couvrant donc trois périmètres, soit 300.

Le périmètre du dessin est donc: 600 – 300 = 300.

 

 

Voir Brève 560

 

 

Aire du rectangle en 4

haut

 

Problème

On connait les aires de trois des rectangles (12, 36 et 16), il faut calculer l'aire du quatrième.

 

Calcul

 

 

 

 

Rectangle divisé en 4

 

Propriété

L'aire du quatrième rectangle est la quatrième proportionnelle des trois autres:

 

 

Aire du rectangle divisé en 16

haut

Problème

On connait les aires indiquées, il faut calculer l'aire du rectangle jaune.

 

Calcul

L'exemple précédent montre la marche à suivre: utiliser la quatrième proportionnelle lorsque c'est possible.

On isole par la pensée, quatre rectangles dont trois sont connus et on calcule l'aire du quatrième. On procède de proche en proche pour atteindre le rectangle désiré.

Le premier calcul est le suivant,
avec A28, A12 et A3:

 

Suite avec tableur – formules (résultats à droite)

 

Rectangle et données proposées

 

Deux tableaux de trois calculs chacun

 

Résolution complète avec indication des dimensions

 

Énigme du périmètre et de l'aire

haut

 

Énigme 1

 Avec les données de la figure, retrouvez le périmètre B du rectangle interne vert.

 

Solution

En reprenant, la constatation précédente, on a :

B = 30 + 14 + 26 + 18 – 66  = 88 – 66  = 22

 

Énigme 2 (suite de la 1)

On reprend l'énigme précédente et on donne en plus l'aire des rectangles ocre: 120.

Quel est l'aire du rectangle B ?

 

Illustration

Pour favoriser la réflexion, on a translaté les rectangles sur les bords.

Le quadrillage est là pour vérification.

 

Solution

On établit le système d'équations qui montre que les tailles des rectangles ne peuvent pas être quelconques.

Pour le rectangle vert, de: 2x + 2y = 22, on déduit que: y = 11 – x.  Idem pour les autres rectangles.

L'aire de la zone ocre vaut 120 et s'exprime par (a1+a2)(b1+b2) dans la quelle on remplace les valeurs par leur expressions en fonction de x.

On obtient une équation du second degré qui produit deux solutions:

4x² – 20x + 24 = 0

Son discriminant vaut:

20² – 4 x 4 x 24  = 16 = 4²

Et ses racines:

x1 = (20 – 4) / (2 x 4) = 2   

x2 = (20 + 4) / (2 x 4) = 3

 

 

 

 

C'est la seconde solution qui est représentée sur la figure.

 

 

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