NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

 

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Carré

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Carré – Propriétés

Losange

Rectangle

Passage du bassin

 

Sommaire de cette page

>>>  Angles

>>>  Carré en général

>>>  Curiosité avec trois carrés

>>>  Doubler le carré

>>>  Devinette du carré plié

>>>  Carré et rectangle

>>>  Carré dans le carré

 

 

 

 

 

 Humour

Peut-on calculer la surface d'un carré d'agneau ?

Voir  J-L Fournier / Expression avec le mot "carré"

 

Énigme

Des carrés sont accolés par au moins une petite partie (non nulle) de leur côté. Si on demande qu'ils se touchent deux à deux, il existe une infinité de solutions. Combien peut-on en juxtaposer de façon que chacun en touche trois autres ?

Voir Solution

 

 

CARRÉ ou TÉTRAGONE

 

Un carré est un parallélogramme.

*    les quatre côtés ont la même longueur.

*    les quatre angles sont droits.

Un carré est:

*    un rectangle à côtés égaux.

*    un losange à angles droits.

Mesures principales:

*    Périmètre = 4a

*    Aire = a²

*    Diagonale = a2

Le carré possède:

*    un centre de symétrie:
son milieu, point d'intersection des diagonales.

*    quatre axes de symétrie:
les diagonales et les médiatrices des côtés. >>>

 

Voir Nombres carrés /  Aire du carré et de la couronne carrée

 

 

ANGLES

 

Quatre angles droits

 

*    La somme des angles du carré vaut évidemment 4 x 90° = 360°.

 

 

*    Comme tous les polygones de n côtés la somme des angles est égale à 180° x (n-2), soit ici avec n = 4, la valeur: 180° x (4-2) = 360°.

 

 

 

 

*    Ce qui veut dire que le quadrilatère quelconque possède également cette propriété.

 

 

 

Voir Nombre 360

 

Voir Construction du carré

 

 

 

CARRÉ en général

 

Symétrie

*      Les quatre axes de symétrie du carré:

*      deux diagonales, et

*      deux médiatrices.

*      Le point d'intersection est le centre de symétrie:

*      rotations de 90°, 180°, 270° ou 360° conservent la figure identique

 

Bilan

 

*      Il existe huit déplacements qui laissent le carré identique à lui-même.

 

*    1 Identité (rotation 0°)

*    3 Rotations: 90°, 180°, 270°

*    2 Symétries par rapport à chacune des deux diagonales.

*    2 Symétries par rapport à chacune des deux médiatrices

Groupe

 

 

En géométrie, un domino est un rectangle formé de deux carrés accolés par un côté.

Voir Racine de 2 / Doubler le volume du cube / La ville idéale de Platon / Jeux divers

 

 

Propriété amusante avec trois carrés identiques

Voir Démonstration

 

 

 

Devinette

Une piscine flanquée  de quatre arbres aux coins.

La famille grandit et le propriétaire souhaite doubler la surface de la piscine.

S'il est prêt à refaire le dallage, il ne veut pas sacrifier ses arbres.

Comment s'y prendre?

Solution

 

 

 

DOUBLER LE CARRÉ

 

 

Problème

*    Étant donné un carré: 

*    Construire un carré dont l'aire est double

 

Tentative 1

*    Doubler les côtés

 

 

 

Tentative 2

*    Doubler un seul côté

 

 

 

 

 

Solution

*    Construite quatre carrés: l'aire est quatre fois plus grande

*    Et trouver le moyen de diviser cette aire par 2

*    Diviser chacun des quatre carrés en deux en les coupant par leur diagonale

 

 

 

Solution imaginée par Platon  ( 428 - 348 av. J.-C.)

dans son dialogue sur la vertu

 

 

Deuxième solution

 

*    Elle consiste à construite un triangle rectangle isocèle de côté a et de construire les carrés sur les côtés.

 

*    Le théorème de Pythagore: a² + b² = c²

appliqué ici, donne: c² = a² + a² = 2a².

 

*    L'aire du grand carré est le double de celle des deux petits.

 

 

 

 

Devinette – Solution

Les arbres sont conservés en tournant la piscine de 45°

La surface sera doublée en agrandissant chacun des côté par un facteur égal à racine de  2 = 1,414… 

Retour

 

 

 

Devinette: carré plié

Question

Un carré est plié exactement en deux et son périmètre est 12 cm.

Quelle est la longueur du côté du carré originel?

 

Réponses selon le type de pliage:

1) Plié en rectangle, par une médiane:

 

2) Plié en triangle par une diagonale:

Avec le  théorème de Pythagore

 

3) Plié en deux, mais avec quatre pliages et non un seul:

Aire du grand carré  = 2 fois celle du petit (cf. rubrique précédente) comme il est demandé dans l'énoncé.

 

Voir ÉnigmesIndex

Merci à J-P M. pour ses remarques

 

 

CARRÉ ET RECTANGLE

 

Périmètre et aire

 

Lorsque deux champs, un carré et l'autre rectangulaire, ont le même périmètre, celui qui couvre la plus grande surface est le champ carré.

Voir Somme et produit

 

 

Transformation

 

*    Trouvez une construction transformant un carré en rectangle de même aire.

*    La longueur du rectangle est donnée: L.

*    Le côté du carré est c.

 

Départ avec AB = L

Comment trouver la largeur l connaissant la longueur L?

 

 

Préparation  avec AC = AD = c

 

 

Construction  avec EC // DB

 

 

 

*    Les segments EC et DB sont parallèles

*    Les triangles AEC et ADB sont semblables

*    Théorème de Thalès: AD / AE = AB / AC

*    En remplaçant par leurs valeurs:

 

 

Aire carré = Aire rectangle

 

Exemples

 

 

 

Devinette

Quel sont les deux seuls drapeaux nationaux carrés dans le monde?

Solution

 

 

Carré dans le carré

 

*    Un carré ABCD dont la longueur du côté est égale à 1.
Le cercle de rayon AC = 1 et de centre A.
La diagonale AC du carré coupe le cercle en F.
On dessine le carré AEFG.

 

*    Le côté de ce nouveau carré (AG = 0,707 … = ) mesure la moitié de la longueur de la diagonale du grand carré (AC = 1,414… … = ).

 

 

 

Moucharabié à base de carrés, observé à Djerba - Tunisie

 

 

Solution

Le maximum possible est 14 carrés accolés, chacun en touchant trois autres. Aucune solution avec chacun en touchant quatre.

Retour

Voir Jeux et énigmes / Problème des quatre couleurs

 

 

Devinette – Solution

Le seul drapeau national non rectangulaire est celui du Népal.

Les deux seuls carrés du monde: Vatican et Suisse.

Le drapeau de la Croix-Rouge, inverse de celui de la Suisse, est rectangulaire.

Retour / Géographie / Vatican / Croix

 

 

Combien de carrés?

 

 

 

 

 

 

 

Voir

*    4 Couleurs

*    Aire du carré

*    CarréSuite

*    Carré dans le carré – Aire

*    Carré dans le carré – Quantité

*    Carré dans le cube

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