NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Résolution arithmétique

>>> Résolution graphique

>>> Résolution algébrique

 

 

 

 

Les 100 euros en pièces de monnaies

 

Problème facile lorsqu'on connait les équations.

Mais sinon, comment s'y prendre? Un raisonnement ou un graphique.

 

 

PARTAGE – Résolution arithmétique

 

Problème

Lilou possède la somme de 100 euros en pièces de 20 centimes, 50 centimes, d'1euro et de 2 euros.

 

Elle promet la moitié de sa fortune à son petit frère s'il parvient à lui donner le nombre de chaque type de pièce.

 

 Elle lui indique:

*      qu'il y a autant de pièces de 20 centimes que les cinq quarts des pièces de 50 centimes,

*      que le nombre des pièces d'un euro vaut les six cinquièmes du nombre des pièces de 2 euros et

*      que la quantité des pièces de 50 centimes est le double de celle des pièces d'un euro.

 

Aidez le petit frère de Lilou à répondre au défi de sa sœur.

 

Je visualise la situation

Solution pas à pas

 

 

Pièce de 2 euros

 

S'il n'y avait que des pièces de 2 euros, il y en aurait: 100 / 2 = 50. C'est la valeur maximum de la quantité de pièces de 2 euros.

Je ne sais pas encore combien il y en aura, alors je note ce nombre inconnu par la lettre D, pour le moment.

 

Pièces de 1 euro = les six cinquièmes du nombre des pièces de 2 euros

 

Je note que la quantité de pièces de 1 euro est un peu plus grande (5/6 = 1,2) que celle de deux euros.

Cette proportion veut dire que chaque fois que j'ai une pièce de 2 euros, elle est accompagnée de 6/5 pièce de 1 euro, soit 1,2 euro.

Oups! J'ai des morceaux de pièces de 1 euro. Pas possible! Alors, pour tomber juste, il faut 5 fois plus de pièces de 2 euros. Et, avec 5 pièces de 2 euros, j'ai:

Ce qui fait une somme-paquet total de 5 x 2 + 6 x 1 = 16 euros.

 

Bilan pour 1 euro et 2 euros

 

Pour satisfaire la fraction 5/6, j'ai été amené à dire que les pièces de 5 euros allaient par groupes de 5 et celles de 1 euro par groupe de 6, ce qui forme des paquets de 16 euros.

En prenant plus ou moins de ces paquets de 16 euros, je dois m'approcher de 100 euros et compléter avec les pièces de 50 et  20 centimes.

On peut donc avoir ces paquets de 16 euros:

 

Pièces de 50 centimes: il y en a deux fois plus que celles de 1 euro

 

Ajoutons les pièces de 50 cts en bonne proportion dans notre tableau et voyons le nouveau total.

Nous en avons profité pour indiquer le montant nécessaire pour arriver à faire une somme égale à 100 euros.

 

Pièces de 20 cts = cinq quarts des pièces de 50 centimes

 

Facile de compléter le tableau avec la quantité de pièces de 20 centimes pour combler le manque. Par exemple: il en faut 78 x 5 = 390 pour la première colonne.

Reste à trouver quelle est la colonne qui donne les 5/4.

Il s'agit de la dernière avec 60 / 48 = 5 /4.

La dernière colonne est donc la solution.

 

 

 

PARTAGE – Résolution graphique

 

Un graphique va nous permettre de visualiser les proportions et d'apprécier les relations entre les fractions.

 

 

 

 

Quantité de pièces d'un euro vaut les six cinquièmes du nombre des pièces de 2 euros

 

Quantité de pièces de 50 centimes vaut le double de celui des pièces d'un euro.

 

Autant de pièces de 20 centimes que les cinq quarts des pièces de 50 centimes,

 

 

Graphiques illustrant les proportions

 

Note: pour pouvoir représenter la fraction 6/5, j'ai dû prendre  D = 5.

 

Raisonnement

 

Chaque fois que j'ai D pièces de 2 euros, automatiquement, j'ai toutes ces proportions pour les autres pièces. Ces pièces dans ces proportions forment un paquet qui vaut une certaine somme S.

Ce qui veut dire que la somme de 100 euros est constituée d'un certain nombre de fois ce paquet, cette somme S.

 

Somme S minimale

 

Pour obtenir un nombre entier de pièces de 1 euro, il faut un minimum de 5 pièces de 2 euros.

 

Si D = 5 alors C = 6, B = 12 et A = 15.

 

La somme minimale est égale à:

S = 5 x 2 + 6 x 1 + 12 x 0,50 + 15 x 0,20

   = 10 + 6 + 6 + 3 = 25 euros

 

Combien de S pour atteindre 100?

 

Avec quatre fois cette somme, on obtient 4 x 25 = 100 euros.

 

Traduit en pièces:

 D = 20, C = 12, B = 48 et A = 60.

 

 

 

PARTAGE – Résolution algébrique

 

On écrit simplement les relations entre les quatre valeurs inconnues A, B, C et D

 

Somme

Proportions

 

Proportions dans somme

 

 

 

Quantité de pièces

 

 

Voir Équations – Débutants

 

 

 

 

Voir

*  Partage – Énigmes classiques

*  Partage en dix

Aussi

*  Énigmes en économie

*  JeuxIndex

*  Partage et dédommagement

*  Partage lors d'un repas en commun

*  Partage de Pascal

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