NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Problème

>>> Approche – 2 ou 3 étages

>>> Avec 5 essais pour 5 étages …

>>> Pour 100 étages

>>> Bilan en tableau

>>> Anglais

 

 

 

 

 

ŒUFS qui TOMBENT du 100e ÉTAGE

Énigme des boules de cristal

 

Énigme casse-tête qui demande à partir de quel étage un œuf qui tombe se casse. Deux œufs sont proposés pour faire les tests. La question: combien d'essais sont nécessaires au mieux?

Problème d'optimisation de déplacements plutôt que de partage.

Anglais: Dropping eggs puzzle, 2 Eggs-100 Floors puzzle, The Two Egg Problem

 

 

Problème

Nous disposons de deux œufs absolument identiques.

Nous savons qu'il est possible qu'ils se cassent entre le premier étage et le 100e étage.

Le problème est de savoir à partir de quel étage cela se passe.

Combien d'essais, au maximum, sont nécessaires pour connaitre la réponse? La réponse optimale est 14. Comment trouver ce résultat?

 

Note: avec un seul œuf, il suffit de faire tous les étages successifs à partir du premier et de s'arrêter lorsque l'œuf casse. Au pire, il faut 100 essais. L'énigme proposée met deux œufs à votre disposition et il s'agit de minimiser la quantité des essais. Quelle est la meilleure stratégie?

 

Pour les puristes: si les œufs se cassent à un étage donné, ils se cassent pour tous les étages supérieurs. S'ils ne cassent pas, ils ne cassent pas pour les étages inférieurs. Ils peuvent se casser dès le premier étage et résister au dernier étage.

 

 

Devinette

Ce magicien mesure 1,73 mètre et il tient un œuf frais dans sa main. L'œuf chute sur près de deux mètres sans se casser. Comment fait-il ? Réponse: il est monté sur la table!

 

 

Approche – 2 ou 3 étages

 

Deux étages

Évidemment, l'œuf peut se casser au premier essai, mais au pire, il faudra effectuer 2 essais.

 

Bilan: avec un bâtiment de deux étages (B = 2), il faut au maximum deux essais (E = 2).

  

Avec 2 étages, 2 essais suffisent

Trois étages

Ici plusieurs possibilités se présentent:

*    Le premier œuf est lâché du troisième: Il se casse, alors l'étage cassant est le 3e.

*    Il résiste, alors le second est lâché du 2e étage. Pas du 3e, car s'il se casse, il serait impossible de savoir si l'étage cassant est le 2e ou le 3e.

*    Dans le cas critique où l'étage cassant est le 2e, il faut exécuter deux essais avec l'œuf n°2.

*    Notez que si, in fine, l'œuf ne se casse pas, c'est que ces œufs sont résistants à 3 étages.

 

Bilan: avec un bâtiment de trois étages (B = 3), il faut au maximum trois essais (E = 3). On note donc que B = E.

 

Avec 3 étages, il faut 3 essais

 

 

 

Avec 5 essais pour 5 étages …

Idée

En fait, le bâtiment comporte beaucoup d'étages, mais nous allons tester d'abord le bloc des 5 premiers étages.

 

Cinq étages

Le cas critique serait que les œufs se cassent à partir du 4e étage.

Avec le 1er œuf, on teste la 5eétage. Cas critique, il se casse. On doit alors poursuivre les essais en testant l'étage le plus bas et monter progressivement jusqu'au 4e.

Dans le cas le plus extrême, il faut 5 tests.

 

Notez que si, in fine, l'œuf ne se casse pas, c'est que ces œufs sont résistants au 5 étages.

 

 

5 étages

Avec un bloc de 5 étages, il faut 5 essais

Idée

Si avec un essai sur 5 étages le premier œuf ne se casse pas, c'est que l'étage cassant est plus haut.

Le deuxième œuf est disponible pour tester les étages supérieurs.

Contrainte: ne pas utiliser plus d'essais que les 5 précédents. Oui, mais il ne reste plus que 4 essais possibles.

 

Donc, l'œuf lâché du 5e étage résiste:

*      Après ce premier essai du 5e, le premier œuf est lâché du 9e étage. Il résiste.

*      Il reste 3 essais pour tester les étages 6, 7 et 8. Soit, au pire, 3 essais.

 

Bilan: avec cinq essais imposés, il est possible de tester un bâtiment de 9 étages (pas 10).

 

Suite: si l'œuf n°1 ne casse pas au deuxième essai à partir du 9e étage, c'est que l'étage cassant est au-dessus. Les essais se poursuivent …

 

9 étages

Avec 5 essais, on peut tester un bloc

de 5 étages puis un bloc de 4 étages

 

Règle des blocs

Ce raisonnement montre que chaque fois que le premier œuf résiste, on peut monter d'un bloc d'étages, mais avec un étage de moins que dans le bloc précédent.

 

Le tableau montre que, pour 5 essais, on peut aller jusqu'à 5 blocs conduisant à 15 étages.

 

Remarque: la quantité d'étages dans le bloc de départ détermine la quantité d'essais: B = E.

 

15 étages

Avec 5 essais, on peut tester 5 blocs

totalisant 15 étages, et

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

 

 

 

 

Pour 100 étages

 

Conclusion de nos observations

Avec un étage de moins à chaque bloc supérieur, la totalité (T) des étages atteints est la somme des entiers jusqu'à E.

 

Avec E = 10 essais, on commence à tester un bloc de B = 10 étages, ce qui conduit à pouvoir tester un bâtiment qui compte jusqu'à  T = 55 étages.

Nous approchons des 100 demandés.

  

 

Avec 5 essais, donc un premier bloc de 5 étages

B = E = 5

T = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ½ x 5 x 6 = 15

Il est possible de tester 15 étages

 

Avec 10 essais, donc un premier bloc de 10 étages

B = E = 10

T = 1 + 2 + 3 + … + 10 = ½ x 10 x 11 = 55

Il est possible de tester 55 étages

 

 

Formulation pour k étages

Il s'agit de trouver une somme d'entiers qui atteint T = 100.

 

 

Pour T = 100 étages

200  =  E (E + 1)

 

Solution: deux possibilités

 

En fait, avec 14 essais, il est possible de tester 105 étages.

 

Avec 3 œufs, il faudrait seulement 9 essais

Tableau de la somme T
des entiers jusqu'à E

Résolution de l'équation

E² + E – 200 = 0

 

Équation du second degré dont les racines sont:

13,65… et -14, 65 …

 

On retient la racine positive et son arrondi supérieur soit: 14 essais.

 

 

Avec 3 œufs

Il faudrait seulement 9 essais pour les 100 étages.

 

 

 

Bilan: tableau des tests réalisés (au pire) pour 104 étages

 

 

English corner

 

Two Egg problem:

*      You are given 2 eggs.

*      You have access to a 100-storey building.

*      Eggs can be very hard or very fragile means it may break if dropped from the first floor or may not even break if dropped from 100 th floor. Both eggs are identical.

*      You need to figure out the highest floor of a 100-storey building an egg can be dropped without breaking.

*      Now the question is how many drops you need to make. You are allowed to break 2 eggs in the process.
 

Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

 

 

 

Voir

*  Énigmes de déplacements

*  Partage – Énigmes classiques (dont œufs à partager ou encore poules qui pondent)

*  Partage en dix

Aussi

*  JeuxIndex

*  Énigme des bananes et des chameaux

*  Partage et dédommagement

*  Partage lors d'un repas en commun

*  Partage de Pascal

DicoNombre

*  Nombre 14

Site

*   Énigmes de bibm@ths

*  The Two Egg Problem DataGenetics – Voir la table et graphqie  pour jusqu'à 1000 étages et 10 œufs

*  The egg problem – Spencer Mortensen – Résolution mathématique du problème général: n œufs et t essais.

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Partage/Oeuf100.htm