NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Problème de BAKHSHALI

>>> Calculs

 

 

 

 

 

Problème de BAKHSHALI

 

Problème

 

A possède 7 chevaux asava

B possède 9 chevaux haya

C possède 10 chameaux

 

Si chacun donne un animal à chacun des deux autres, alors chacun possède la même richesse

 

Quel est le prix de chaque animal en nombres entiers ?

 

 

 

 

Compréhension du problème

 

Notations

 

x prix du cheval asaya

y prix du cheval haya

z prix du chameau

V richesse commune après don à chacun

Le prix de l'ensemble des animaux  des trois personnes sera ainsi égal à 3V

 

 

Observation

 

Si A possède 7 chevaux, lorsqu'il en aura prêté 1 à B et 1 à C, il lui en restera 5 en propre, mais il aura aussi reçu un cheval de B et un chameau de C;

 

La richesse commune est égale à la valeur des 5 chevaux qui reste à A, augmenté de la valeur du cheval venant de B et du chameau venant de C

 

Mêmes observations pour B et pour C

 

 

 

 

Illustration et équations

 

Illustration

 

La taille du cercle représente la même richesse V

Chaque cercle illustre de quoi est composée la richesse de chacun dont l'énoncé nous indique qu'elle est la même

 

 

Équations

 

5x +   y +     z   =   V

  x + 7y +     z   =   V

  x +   y +   8z   =   V

7x + 9y + 10z   = 3V

 

 

 

 

CALCULS

 

 

Valeurs de x, y et z en fonction de V

 

Trois premières équations

5

x +

1

y +

1

z =

1

V

1

1

x +

7

y +

1

z =

1

V

2

1

x +

1

y +

8

z =

1

V

3

Soustraction deux à deux

1-2

4

x +

–6

y +

   =

0

4

1-3

4

x +

–7

z =

0

5

2-3

6

y +

–7

z =

0

6

y et z en fonction de x

4 =>

2/3

x =

y

7

5 =>

4/7

x =

z

8

Tout exprimé en x

7 et 8 dans 1

5

x +

2/3

x +

4/7

x =

1

V

9

131

x  =

1

V

10

Calcul  de x, y et z

x =

1/131

V

11

10 dans 7 (y = 2/3x)

y =

2/393

V

12

10 dans 8 (z = 4/7x)

z =

4/917

V

13

 

 

 

Finalisation

 

Trois équations en x, y et z

131 x

3 x 131 y

7 x 131 z

=    V

= 2 V

= 4 V

Avec la première équation, trouvez une valeur entière de x nécessite que V soit égal à 131 ou à un multiple de 131

 

 

 

131 x

 

 

 

=             131 k

Pour la deuxième équation

3 x 131 y

= 2 x 3 x 131 k'

Pour la troisième

7 x 131 z

= 7 x 4 x 131 k"

Simplifions par 131

x

3 y

7 z

= 1 .       k

= 2 . 3    k'

= 4 .    7 k"

Donnons des valeurs à k, k' et k" pour permettre de trouver des valeurs entières

x

3 y

7 z

= 1 . 3 . 7

= 2 . 3 . 7

= 4 . 3 . 7

En simplifiant chacune des équations

x

y

z

= 21

= 14

= 12

 

Vérification

 

Trois équations de départ

5x   +   y    +     z   =   V

  x   + 7y    +     z   =   V

  x   +   y    +   8z   =   V

Avec les valeurs numériques

5 x 21 +       14 +       12  = 131

      21 + 7 x 14 +       12  = 131

      21 +       14 + 8 x 12  = 131

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir

*  Partage – Énigmes classiques

*  Partage en dix

Aussi

*  JeuxIndex

*  Partage et dédommagement

*  Partage lors d'un repas en commun

*  Partage de Pascal

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