NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Énigme du partage en dix-septièmes

>>> Exercice sur tableur

>>> Mécanique de cette énigme

>>> Résolution des deux premières équations

 

 

 

 

Énigme du partage en 1/17

 

Un père partage son héritage en accordant une part fixe et une part variable en fraction égale à 1/17. Belle énigme qui semble difficile à résoudre. Voyons cela.

Généralisation à n'importe quelle fraction en 1/k.

 

 

 

Énigme du partage en dix-septièmes

 

Le testament stipule que le premier fils recevra une part fixe F, le deuxième, deux parts fixes (2F), et ainsi de suite; chacun une part fixe multipliée par son rang de filiation.

De plus chacun recevra 1/17 de ce qui reste avant de passer au frère de rang suivant.

Ainsi, l'héritage est totalement partagé et, de plus, chacun recevra exactement la même part.

Combien de fils se partagent l'héritage ?

 

Un raisonnement direct consiste à calculer la part de chacun en commençant par le premier fils:

P1 = F + 1/17 (T – F)

La part du premier est égale à la part fixe plus 1/17e de ce qui reste; soit le total (T) moins ce qui a été distribué (F).

Le deuxième reçoit:

P2 = 2F + 1/17 (T – P1 – 2F)

Etc.

Calcul laborieux!

 

Le bon raisonnement consiste à partir du dernier fils, le n° X. Le partage étant complet, le dernier reçoit sa part fixe (X fois F) et 1/17e de rien.

 

Le dernier reçoit

PX = X.F + 1/17 (0) = X.F

L'avant-dernier reçoit (x – 1) fois F et 1/17e du reste que nous pouvons évaluer.

 

Le reste (zone entourée de vert) vaut 2 fois le montant de chacun (X.F) moins le montant reçu par l'avant dernier (X – 1) F.

 

 

 

Reste (en vert) = 2X.F – (X – 1)F

PX-1 = (X – 1)F + 1/17 (2X.F – (X – 1)F)

 

 

Les deux derniers reçoivent la même somme.

Notons la simplification par F qui indique que le problème ne dépend pas de la valeur du don fixe F.

La résolution est simple.

 

X.F = (X – 1)F + 1/17 (2X.F – (X – 1)F)

X = (X – 1) + 1/17 (2X – (X – 1))

0 = – 1 + 1/17 (X – 1)

X – 1 = 17

X = 16

 

 

Exercice sur tableur

Le fils n°1 reçoit une part fixe de F = 1 euro (on sait qu'on aurait pu prendre n'importe quelle valeur).

En partant d'un total T = 256 euros (valeur ajustable une fois le tableau terminé), il reste 256 – 1 = 255 euros à partager. Le premier fils en reçoit 1/17e, soit 15 euros.

Le fils n'°1 reçoit donc la somme de 1 + 15 = 16 euros.

 

Le fils n°2 reçoit la part fixe de 2F = 2 euros et la part variable de 1/17 (240 – 2) = 1/17 (238) = 14. Soit une somme de 2 + 14 = 16 euros.

 

Etc.

 

 

La valeur de tête, ici à 256, est ajustée par approximations successives pour obtenir 0 en bas du tableau.

 

Ces valeurs tabulées montrent explicitement le montage de cette énigme.

Le total des sommes fixes est la somme des nombres de 1 à 16 (= 17 – 1). Tandis que celle des sommes variables est égale à la somme des nombres de 1 à 15 fois 17, puis divisée par 17.

 

Total = (1 + 2 + … + 16) + (15 + 14 + … + 0)

          = ½ (16 x 17) + ½ (15x 16)

          = 136 + 120 = 256

 

Le total vaut aussi 16  fois (16 fils) la somme 16 (part de chacun) = 16² = 256

 

On retrouve bien le carré avec la somme des nombres:

 

Voir Tableur

 

Bilan

Avec cette sorte de partage en 1/k,

*    le nombre de fils est égal à: k – 1, et

*    la valeur de l'héritage est égale à: (k – 1)²  

 

 

Mécanique de cette énigme

Héritage: le fils n°k reçoit k plus 1/3 de ce qui reste.

Combien  de fils?

 

Solution

 Nous reprenons exactement le même principe que celui exposé au paragraphe précédent.

 

La solution est générale quelle que soit la fraction.

 

Cas de la fraction 1/19 avec 18² = 324

 

Avec 1/17 nous avions 16 fils (17 – 1); avec 1/3, il y a 2 fils.

L'héritage se monte à:

           ½ (2 x 3 ) + ½ (1 x 2) = 4

ou plus simplement à 2² = 4

 

Tableau récapitulatif avec la faction 1/3

 

Tableau récapitulatif avec la faction 1/4 avec 3² = 9

 

Tableau récapitulatif avec la faction 1/5 avec 4² = 16

Voir Carrés

 

 

Résolution des deux premières équations

Revenons aux deux équations établies au début pour le premier et le deuxième fils.

Il est possible de les résoudre et trouver la solution.

P1 = F + 1/17 (T – F)

P2 = 2F + 1/17 (T – P1 – 2F)

Qui s'écrivent sans dénominateur et en prenant F = 1

17P1 = 17 + T – 1

17P2 = 34 + T – P1 – 2

Or, les parts sont égales: P1 = P2

Puis sans le dénominateur.

17 + T – 1 = 34 + T –1/17(17 + T – 1) – 2

17² + 17T – 17 = 2x17² + 17T – 17 – T + 1 – 34

Simplification:

              0          =     17²                      – T  – 33

Finalement:

T = 256

Voir Système d'équations

 

 

 

 

 

 

 

 

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