NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/05/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Limites en ln(x)

Deux théorèmes l'un découlant de l'autre. Mais la démonstration du premier a nécessité un peu de perspicacité mathématique.

Voir Logarithmes

ln(x)/x
Théorème
Démonstration
Pas possible directement
On passe par cette fonction qui est définie de 1 à l'infini.
Pour x = 1:	= -2
La dérivée:	On note que x > 1 => f'(x) < 0
La fonction:	La fonction part de -2 et décroît
Conséquence:
Division possible car x est positif; en fait toutes les entités sont positives.
Pour x = 1:
En regroupant pour x à partir de 1:
Pour x tendant vers l'infini
Théorème du gendarme ou théorème de l'encadrement	La limite d'une fonction, encadrée par deux fonctions de même limite L, a pour limite L.
Conclusion	Notre fonction tend bien vers 0 pour x tendant vers l'infini.

Graphe de ln(x) / x

x. ln(x)
Théorème
Démonstration
Écriture en faisant apparaitre 1/x
En vertu de log (a^b) = b log (a)
Pour tout réel
Quand x tend vers 0 par la droite	1/x tend vers 1/0^+ = +
Or (voir ci-dessus)
Avec t = 1/x
En revenant à notre expression en notant que 1/x tend vers l'infini, alors x tend vers 0.

Graphe de x ln(x)

Suite	Limites avec des logarithmes ln (x) < x Polynômes Un puissance infinie
Voir	Limite – Glossaire Dérivées
Aussi	DicoMot Débutants
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