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Limites en ln(x) Deux
théorèmes l'un découlant de l'autre. Mais la démonstration du premier a nécessité un peu de perspicacité
mathématique. |
Voir Logarithmes
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Théorème |
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Démonstration |
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Pas possible
directement |
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On passe par
cette fonction qui est définie de 1 à l'infini. |
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Pour x = 1: |
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La dérivée: |
On note que x > 1
=> f'(x) < 0 |
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La fonction: |
La fonction
part de -2 et décroît
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Conséquence: |
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Division
possible car x est positif; en fait toutes les entités sont positives. |
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Pour x = 1: |
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En
regroupant pour x à partir de 1: |
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Pour x
tendant vers l'infini |
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Théorème du
gendarme ou théorème de l'encadrement |
La
limite d'une fonction, encadrée par deux fonctions de même limite L, a pour limite L. |
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Conclusion |
Notre
fonction tend bien vers 0 pour x tendant vers l'infini. |
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Graphe de ln(x) / x
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Théorème |
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Démonstration |
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Écriture en
faisant apparaitre 1/x |
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En vertu de log (ab) =
b log (a) |
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Pour tout
réel |
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Quand x tend
vers 0 par la droite |
1/x tend vers 1/0+
= + |
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Or (voir ci-dessus) |
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Avec t = 1/x |
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En revenant
à notre expression en notant que 1/x tend vers l'infini, alors x tend vers 0. |
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Graphe de x ln(x)
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Suite |
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Voir |
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|
Aussi |
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