NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Valeur évidente

>>> Fonction et son comportement

>>> Conclusion

 

 

 

 

 

 

 

1INFINI

 

 

*      La valeur de 1 à la puissance infinie semble évidente

*      Et pourtant, elle donne du fil à retordre …

*      En fait:

 est indéterminé

 

 

VALEUR évidente

 

*    En bonne logique, on multiplie 1 par 1 aussi longtemps que l'on veut, et le produit reste toujours égal à 1.

*    Est-ce valable jusqu'à l'infini?

*    Ce serait sans compter avec la rigueur des mathématiciens qui y regardent à deux fois.

 

 

1 x 1 = 1

1 x 1 x 1 = 1

 

1 x 1 x … x 1 = 1

 

1 x 1 x … = ?

*    Leur démarche est assez simple dans son principe:

*    Est-ce que je peux imaginer une expression (une fonction) proche de celle étudiée?

*    Comment évolue cette fonction lorsque l'on se dirige vers l'infini?

 

Il nous faut une fonction proche de 1; alors 1 plus un chouia? Pourquoi pas?

Comment se comporte cette fonction à la puissance infinie ?

Sachant que lorsque x tend vers 0, l'expression est celle qui nous occupe.

*    La variable est x qui tend vers zéro.

*    Il nous faut exprimer la puissance qui tend vers l'infini avec une fonction qui tend vers l'infini quand x tend vers 0. La plus simple est 1/x.

 

 

Comment se comporte cette fonction lorsque x tend vers 0 ?

 

 

Comportement de notre fonction

 

*    Pas facile de manipuler une telle fonction. Ayons recours à son logarithme.

 

*    Puis à la dérivée du numérateur et du dénominateur pour étudie la vitesse de variation de chacun (règle de l'Hôpital). Lequel va varier le plus vite?

*    Simple, car nous trouvons une fraction simple dont la limite est 1 lorsque x tend vers 0.

*    La limite est 1, alors !

 

*    Hoops! Non, car nous sommes encore dans le monde des logarithmes.

*    Il nous faut revenir au monde normal.

 

 

 

*    Valeur de L sachant que son logarithme est 1?

ln L = 1

    L = e

 

*    Vérification: le calcul montre que cette fonction converge bien vers la valeur de e.

X        f(x)

1/10     2,5

1/100    2,70

1/1000   2,716

1/10000  2,7181

1/100000 2,71826

    e =  2,718281828

 

 

Conclusion

*    De manière évidente nous avons trouvez que L vaut 1.

*    Mais aussi, de manière plus tordue, certes, que la limite vaut e.

*    En cherchant la limite d'autres fonctions, il est possible de trouver d'autres valeurs …

 

1 x 1 x … x 1 = 1

 

 

 

 

Indéterminé

 

Note: les logiciels de calcul donnent cependant la valeur 1.

> limit(1^x,x=infinity);  1

 

 

Comparaison?

 

*      Imaginez un marteau en équilibre sur la pointe verticale d'un tournevis.

*      Théoriquement l'équilibre est faisable. Il "suffit" que le centre de gravité du marteau soit juste à la verticale du point de contact du tournevis. On a beau pencher le marteau progressivement vers la position d'équilibre, il tombe toujours. L'équilibre dans cette position est pratiquement irréalisable!


*      Le produit en 1 serait l'équilibre parfait. Mais la moindre approche par les côtés donne d'autres valeurs " instables".

 

 

 

 

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