NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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x . ln (x)

Limite avec ln

Sin x / x et tan x / x

 

Sommaire de cette page

>>> Définitions

>>> Historique

   

 

 

 

 

 

 

LIMITES de Fonctions

 

 

La notion de limite est intuitive: par exemple, x² tend vers l'infini lorsque x est de plus en plus grand. À leur habitude, les mathématiciens ont apporté plus de précision à cette notion de manière à la traiter en véritables objets mathématiques. On parlera de limite ou de convergence.

 

alerte.jpgCes pages sur les limites ne constituent en rien un cours complet, mais plutôt une approche simple qui permet d'en apprécier la portée et les mécanismes.

 

 

Définition

 

Fonction finie

 

*    Une fonction f(x). Pour l'abscisse x = a, la fonction vaut y = L. 

 

*    Voyons comment formuler la notion de imite avec ces données.

*    On définit une plage autour de a de  (delta) qui engendre une variation sur y autour de L d'une valeur de  (epsilon).

*    Plus on diminue l'épaisseur en , plus on diminue celle en .

*    En réduisant autant que possible, on atteint une limite qui indique bien que pour x = a, y approche d'aussi près que l'on veut la valeur y = L.

 

On peut rendre f(x) aussi proche de L que l'on veut, sur un intervalle aussi petit soit-il autour de a.

 

 

 

Fonction infinie

 

*    Cas où L semble ne pas avoir de limite: la valeur de L tend vers l'infini.

*    Plus on se rapproche de x= a plus L augmente, et sans que cela s'arrête.

 

On peut rendre f(x) aussi proche de  que l'on veut, sur un intervalle aussi petit soit-il autour de a.

 
 
Note: idem pour moins l'infini.

 

 

Fonction limitée

 

*    Cas où L semble se stabiliser lorsque x grandit.

*    Plus x augmente et plus y se rapproche d'une valeur L dite limite de la fonction à l'infini.

 

On peut rendre f(x) aussi proche de L que l'on veut, au-delà d'un seuil a aussi grand soit-il.

 
 
Note: idem pour moins l'infini.

 

Autre formulation de la définition

 

*    Dire que la limite de f(x) est L pour x tendant vers l'infini, c'est dire que pour a aussi grand que l'on veut, la fonction reste dans une très petite plage autour de L, plage que l'on peut rendre aussi fine que l'on veut; il y aura toujours une valeur de a qui le permettra.

 

*    Quel que soit l'écart de tolérance , il existe un seuil de confiance a aussi grand que l'on veut, tel que la fonction f(x) restera à l'intérieur de l'écart de tolérance .

 

 

 

 

 

   

 

 

Historique

 

*    Vers 1700, une querelle d'antériorité existe entre Newton et Leibniz. C'est la notation de Leibniz qui a été adoptée.

 

*    Si y = x², par exemple, l'écart entre deux valeurs proches de y s'écrit:

dy = (x + dx – x²

     = x² + 2x.dx + dx² – x²

     = 2x.dx + dx²

 

*    À ce point Leibniz, pose que la quantité dx² est si petite qu'elle est négligeable par rapport à 2x.dx. Bilan:

dy = 2x.dx

 

*    C'est Cauchy (1789-1857) qui va confirmer ce résultat mais en étant plus rigoureux. Il introduit un rapport à la place d'une différence. c'est la notion de limite.

*    Un accroissement de x ou de y se note avec un delta: .

*    Alors, l'expression devient:


 

 

*    C'est le quotient qui est étudié:

 

 

*    Cette fois, lorsque tend vers 0, le quotient tend vers 2x.

*    Ce résultat est noté avec des petits d et est appelé dérivée:

 

 

 

 

 

Suite

*  Limites des fonctions classiques

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*  Calcul avec les infinitésimaux

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