NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ANALYSE

 

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Glossaire

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INDEX

Analyse

 

Approche

Historique

Débutants

Développement

Ficelles de première

Les dérivées

Exemples résolus

Exemples (limites)

 

Sommaire de cette page

>>> Approche de Newton

>>> Contestation

>>> Approche moderne

 

 

 

 

DÉRIVÉES

 

Comment caractériser, mesurer la variation d'un phénomène?

Comment calculer la tangente en un point d'une courbe?

Comment approcher l'infiniment petit?

  Anglais : Derivate

 

 

APPROCHE de NEWTON

qu'il appelait méthode des fluxions

Calcul Simple et efficace

 

*    Newton considérait une fonction

ou, pour nous simplifier la vie ici.

 

y = ax² + bx + c

y =   x² +    x + c

*    Il imaginait l'évolution de la fonction selon que le temps s'écoulait. Pour percevoir le détail local, il prenait un tout petit intervalle de temps.

 

 

qu'il notait o

*    Il imaginait que x changeait d'une toute petite quantité durant ce temps.

 

ox'  selon sa notation, il ajoutait un point sur le x ; je mets un prime (plus facile à faire).

*    Il s'intéressait à ce que devenait alors y pendant ce même petit intervalle de temps.

 

oy'

*    La fonction, au bout de cet intervalle de temps devient:

 

y + oy' = (x + ox')² + (x + ox') + c

*    En calculant

*    En organisant

*    En enlevant y de chaque côté

y + oy' = x² + 2x(ox') + (ox')² + x + ox' + c

y + oy' = x² + x + c + 2x(ox') + (ox')² + ox'

      oy' =                    2x(ox') + (ox')² + ox'

*    Newton ayant fait l'hypothèse que ox' est vraiment tout petit.
C'est encore plus vrai pour son carré (ox'.

Il est quasi-nul et peut-être ignoré, négligé.

Et, après mise en facteur:

 

oy' = 2x(ox') + ox' + (ox')²

oy' = 2x(ox') + ox'

 

oy' = (2x + 1) ox'

*    Il obtient ainsi la pente de la courbe.
Et jugeant que l'intervalle de temps n'est plus nécessaire; il note:

oy'/ox' = 2x + 1

 

 y' / x'  = 2x + 1

*    Ou, autrement dit, le coefficient directeur de la tangente en tout point de la courbe

en x = 0

en x = 1

 

 

En x = 0 =>pente = 1

En x = 1 =>pente = 3   (voir illustration)

 

Illustration

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/AnaDeriv_fichiers/image015.gif

 

 

 

 

 

CONTESTATION

 

*    Il se trouve que cette méthode est efficace. Elle donne les bons résultats

*    pour le calcul des tangentes (dérivation);

*    comme celui des superficies (intégration).

*    Mais, certains contestaient le manque de rigueur du raisonnement.

Dire que (ox est quantité négligeable donc nulle et on la supprime, cela dérangeait les mathématiciens de l'époque.
Newton affirmait que si (ox est égal à 0 alors, c'est que ox lui-même était nul.

*    Les contestataires avaient beau jeu de démolir la méthode en disant qu'il est interdit de diviser par 0, on ne sait plus ce qu'on fait …

 

 

 

APPROCHE MODERNE

 

*    On définit la dérivée comme une limite.
 se lit epsilon.

 

f'(x) = limite de { f(x + ) – f(x) } /

lorsque  tend vers 0

 

*    En reprenant l'exemple

Et pour y' = f ' (x)

*    En calculant

*    En effectuant les opérations

y = x² + x + c

y' = { (x + )² + x +  + c – (x² + x + c) } / e

y' = { + 2x + ² + x +  + c – x² – x – c } /

y' = {        2x + ²       +                        } /

 

*    Soit le résultat

 

y' = (2x + ² + ) /

*    On se souvient que  tend vers 0, il n'est cependant pas nul

*    On peut diviser par

*    Soit le résultat

 

 

y' = 2x +  + 1

y' = 2x + 1 +

*    Maintenant, nous pouvons nous exprimer en terme de limite.

 

y' =  limite de 2x + 1

        pour

 

 

Bilan

*    Le truc du petit intervalle de temps a permis à Newton de trouver la méthode de calcul.

*    L'astuce de la limite fut précieuse pour mettre tous les esprits en paix.

*    Désormais, les calculs de différentiation et d'intégration sont couramment utilisés pour résoudre de nombreux problèmes de physique.

 

 

 

Suite

*    Application au calcul du volume maximum d'une boîte

*    Calcul du chemin optimum

*    Calcul par intégrales

*    Primitives

*      DérivéesGlossaire

*    Dérivées – Historique

*      Équations différentiellesGlossaire

*      Les 17 équations qui ont changé le monde

*      Rayon de courbure et calculs de dérivées

Voir

*    Analyse Glossaire

*    Champs

*    Équations différentielles

*    Équations de Navier-Stokes

*    Équations de Schrödinger

*    Exponentielles

*    ExposantsIndex

*    Limites

*    Logarithmes

*    Opérateur hamiltonien

*    Opérateur laplacien

*    VitesseGlossaire

Livre

Méthod'S mathématiques Terminale S – Bruno Clément – ellipses – 2012

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