NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Deux couleurs – Approche

>>> Deux couleurs pour un polygone

>>> Deux couleurs pour dessiner des traits

>>> Six points, deux triangles monochromes

 

 

 

 

 

Deux couleurs – Approche 

 

Pour une coloration avec seulement deux couleurs, la condition nécessaire et suffisante est que: tous les points multiples internes à la figure soient pairs.

 

 

Un dessin fait en un seul coup de crayon est toujours coloriable avec deux couleurs. C'est le cas également pour une carte dessinée en utilisant n droites ou n cercles.

 

 

La superposition de deux cartes coloriables avec deux couleurs est toujours une carte coloriable avec deux couleurs.

 

   

 

 

 

 

DEUX COULEURS pour un POLYGONE

 

*        Un polygone

*        Prenons des segments joignant les sommets (par forcément tous)

*        Formation de surfaces polygonales, triangles ou autres

 

*        Théorème: Il suffit de deux couleurs pour colorier ces surfaces sans que deux surfaces de même couleur n'aient de côté en commun

 

Avec le rectangle, et ses deux diagonales, cela est parfaitement possible

 

 

*       Pour alimenter un raisonnement par récurrence, montrons que si ce théorème est vrai pour n droites, il est aussi vrai pour n+1 droites

*       Sachant que ce théorème est vrai pour 2, il sera vrai pour tous les cas

Supposons que le coloriage soit réalisable pour n droites, comme sur la figure ci-contre

 

 

 

*       Ajoutons une droite dans la figure

*       Inversons le coloriage pour toutes les surfaces situées du même côté de cette nouvelle droite

*       Cette inversion est tout à fait réalisable, et, la figure obtenue répond bien à la définition

 

*       FIN de la démonstration

 

 

 

 

 

 

DEUX COULEURS pour dessiner des traits

 

Problème

 

Vous disposez de deux couleurs pour dessiner les traits reliant n points.

Il faut éviter de créer un triangle de traits de la même couleur (triangle monochrome).

 

La valeur maximum de n est 5. Au-delà, c'est impossible.

 

 

Solution pour 5 points et démonstration que pour 6 c'est impossible

 

  

 

Dans ce dernier cas (à droite)

Un point en relie 5 autres.

Nous aurons les couples de traits rouge et bleu: (5,0) ou (4,1) ou (3,2) ou (2,3) ou (1,4) ou (0,5)

Soit au minimum 3 d'une même couleur.

A partir des trois obligatoires, je dessine les traits imposés de l'autre couleur.

Ils forment obligatoirement un triangle d'une seule couleur. 

 

À partir de six points,

il existe toujours un triangle monochrome.

 

Pour trois, quatre ou cinq points, il possible de ne pas dessiner de triangles monochromes.

Pour six points, il est même impossible de dessiner moins de deux triangles monochromes. >>>

 

 

Interprétation

Parmi six personnes, il n'est pas possible que trois se connaissent et trois ne se connaissent pas.

Amusement qui conduit à la théorie des graphes et à celle des ensembles.

Théories importantes en informatique et en théorie des jeux.

 

 

Prolongement

Trouver un ensemble d'entiers qui évite l'équation a + b = c (aucun nombre de l'ensemble n'est la somme de deux autres appartenant à cet ensemble)

 

Ensembles

Exclus

E1 = (1)

2 n'est pas possible (2 = 1+1)

E2 = (2, 3)

4 = 2+2, 7 = 2+2+3

E3 = (3, 4, 5)

6 = 3+3, 7 = 3+4

E4 = (4, 5, 6, 7)

8 = 4+4

E5 = (5, 6, 7, 8, 9)

Etc.

Ei = (12, 14, 16, 18, 20)

Exemple d'un ensemble de nombres pairs jusqu'à 20

 

On peut chercher à mettre une couleur sur les ensembles formés

et trouver le nombre minimum de ces couleurs pour atteindre un entier donné.

 

On peut se donner une racine (1 et 4) et trouver le nombre maximum d'éléments de l'ensemble.

Ici: 3 est exclu car donnerait 4 avec le 1;

l'ensemble commence donc par: 1, 4, 6, 9, ... 

 

 

 

Six points, deux triangles monochromes

 

*    La figure montre deux triangles monochromes dans le polygone à six sommets (hexagone). 

*    Nous avons vu que l'on ne peut pas obtenir une figure sans un triangle monochrome.

*    Nous allons montrer qu'il y en a toujours deux.

 

*    Quantité de triangles dans l'hexagone.

*    Soit m, la quantité minimale de triangles monochromatiques et b, la quantité maximale de triangles dichromatiques

 m = 20 – b

*    Un triangle dichromatique possède 

deux sommets dichromatiques (SD)

*    Combien de tels sommets dans l'hexagone? Un simple décompte donne les quantités indiquées qui montrent que le maximum de possibilités pour u sommet est six sommets dichromes.

5 d'une couleur et 0 de l'autre => 0 SD

4 d'une couleur et 1 de l'autre => 4 SD

3 d'une couleur et 2 de l'autre => 6 SD

*    étendu aux six sommets et sachant qu'ils sont comptés en double (chaque triangle compte exactement deux SD).

½ 6 x 6 = 18 SD max dans l'hexagone

*    Conclusion

*    Que l'on peur lire:

Avec six points, il y a toujours au moins deux triangles monochromatiques.

*    En reprenant la figure, il est possible de montre que:

 

Avec six points, il y a toujours exactement deux triangles monochromatiques.

 

 

*    Transposition

 

Parmi six personnes, il y en a toujours trois qui se connaissent ou trois qui ne se connaissent pas.

 

The assertion that among any six people there are always three who are all friends or all strangers is known as (the simplest case of) Ramsey's theorem.

 

Version simple du théorème de Ramsey. Généralisation pour n quelconque (voire infini) et plus de trois relations.

 

Frank Ramsey est décédé en 1930 à l'âge de 27 ans.

 

Sa théorie: combien d'éléments d'une certaine structure doivent être considérés pour qu'une propriété particulière se vérifie? Adage souvent cité sur le sujet: le désordre complet est impossible.

 

*    Généralisation

Combien faut-il réunir d'invités pour être sûr que, parmi eux, il existe un groupe de k invités se connaissant mutuellement, ou ne se connaissant pas du tout ?

Le théorème de Ramsey affirme que ce nombre existe toujours. Cependant la valeur de k n'est pas donnée.

*    Pour k = 3, nous avons que R(3) =     6,

*    Pour k = 4, on trouve             R(4) =   18,

*    Pour k = 5,                      42 > R(5) >   50,

*    Pour k = 6,                    102 > R(6) > 165.

Voir Duos de connaissances / Réseau de connaissances

 

 

 

 

 

 

 

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