NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des NOMBRES

 

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Glossaire

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INDEX

 

Théorie des nombres

 

Puissance

 

Décomposition

 

Partition

Nombres et couleurs

  Arithmétique de Peano

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres en couleurs

>>> Régularité des partitions colorées

>>> Triplets de Pythagore colorés

>>> Exemple de bi-partition (bi-coloration) et comparaison aux triplets de Pythagore

>>> Anglais

 

 

 

 

Nombres et couleurs

Partition (coloration) des nombres

 

Donnez une couleur à chacun des nombres entiers de façon telle que les nombres impliqués dans une opération soit tous de couleurs différentes. Un peu comme le célèbre problème des quatre couleurs pour les cartes, mais appliqué au nombre entiers.

Ces questions font partie de la théorie de Ramsey, théorie générale qui vise à découvrir les structures apparaissant dans des ensembles suffisamment larges.

2016: démonstration par ordinateur pour la bi-coloration des triplets de Pythagore >>>

 

 

 

 

Nombres en couleurs

 

Colorier les nombres selon une règle donnée

 

Idée curieuse de vouloir colorier chaque nombre de couleurs différentes.

Oui, mais une quantité donnée de couleurs seulement.

Ça ne serait pas drôle sans une règle de coloriage.

 

La plus simple est la suivante:

*    deux nombres a et b sont ajoutés pour en donner un troisième c; et

*    coloriez tous les nombres de façon telle que les trois nombres (a, b et c) ne soient jamais de la même couleur; pas de triplet monochrome!

 

Aucun triplet monochromatique avec 3 couleurs

Cette table d'addition colorée montre que dans tous les cas: a + b = c, les trois nombres ne sont pas de la même couleur.

Théorème de Schur

 

En 1916, Issai Schur (1875-1941) a démontré que:

 

Avec un nombre fini de couleurs et la fonction a + b = c, il est toujours possible d'obtenir un triplet monochromatique.

 

Plus précisément

Pour tout nombre k > 0, il existe un nombre S(k), tel que [1, S(k)] peut être partitionné en k parties sans qu'une des parties ne contienne à la fois a, b et c, alors que a + b = c. Par contre, cela est possible pour [1, S(k) + 1].

 

S(k) est un nombre de Schur.

 

Avec trois couleurs, il est possible d'éviter le triplet monochromatique jusqu'à 13, mais avec 14, impossible d'y échapper.

 

Coloriage pour n de  1 à 13

Avec ce coloriage à trois couleurs, aucun triplet monochromatique.

 

 

 

Régularité de la partition

 

Vocabulaire

Partition se réfère à la création d'autant d'ensembles de nombres que de couleurs considérées. Avec r couleurs, on parle de r-partition.

Si la r-partition présente toujours une solution monochromatique (comme vue ci-dessus), elle est dite r-régulière

 

 

Exemple

Trois couleurs créent une 3-partition de la l'équation a + b = c.

Comme il est impossible d'échapper à un triplet monochromatique, l'équation est 3-régulière.

 

Autre exemple

L'équation a + 2b – 5c = 0 est 3-régulière, mais pas 4-régulière.

 

 

Théorème de Rado

En 1933, Tibor Rado (1895-1965) démontre que:

 

L'équation a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0 est régulière si et seulement si la somme d'un sous-ensemble des coefficients non nuls est nulle.

 

Conjecture de Rado

 

Il émet aussi une conjecture qui est prouvée dans les cas triviaux n = 1 et n = 2, mais pas au-delà.

 

En gros: jusqu'à un niveau n de l'équation, il existe un nombre k (fonction de n) tel que si cette équation est k-régulière, alors elle est régulière.

 

 

Triplets de Pythagore colorés

 

Attribuons une couleur aux nombres de façon telle que les trois nombres impliqués dans un triplet de Pythagore ne soient pas de la même couleur. Est-ce possible?   

 

En 2013, on ne sait toujours pas si c'est possible pour deux couleurs. On ne sait pas colorer les nombres de façon telle qu'il n'existe aucun triplet monochromatique.

En 2013, Joshua Cooper et Chris Poirel, réussissent à colorier les nombres avec deux couleurs jusqu'à 1344 sans avoir de triplet monochromatique.

 

 

En mai 2016, Heule, Kullmann et Marek déclarent avoir démontré  le problème des triplets bi-colorés de Pythagore.

Ils ont montré qu'il est possible de colorier les nombres sans triplets monochromatique jusqu'à  7 824 (nombre de Schur), mais avec un de plus, c'est impossible: il y aura toujours un triplet d'une seule couleur quelque part.

La preuve fait un emploi massif d'ordinateurs: 800 processeurs en parallèle sur une période de 2 jours. 200 téraoctets générés. C'est la plus grande preuve informatique jusqu'en 2016.

Évidemment, la recherche met en jeu des propriétés qui permettent de réduire sensiblement l'exploration 102300 cas à explorer.

Notez que ce type de preuve établit des faits sans les expliquer. Pourquoi 7 824? 

 

 

 

Exemple de bi-partition (bi-coloration) et comparaison aux triplets de Pythagore

 

 

 

English corner

 

Is there a way to color  with finitely many colors that no Pythagorean triple is monochromatic?

 

Can the natural numbers be assigned a2-coloring, so that no Pythagorean triple is monochromatic?

 

The Boolean Pythagorean triples problem was a conjecture relating to Pythagorean triples which was shown to be false using a Computer-assisted proof in May 2016.

 

The boolean  Pythagorean  Triples  problem has been a long- standing open problem in  Ramsey Theory: Can the set  = {1, 2, …}  of natural numbers be divided into two  parts, such that no part contains a triple ( a, b, c ) with a² + b² = c² ?

 


 

Note: Boolean ou booléen en français fait référence au nombre 2 de la bi-partition. Création de deux ensembles: chaque nombre est dans l'un ou dans l'autre.

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

*         Problème des quatre couleurs pour les cartes

DicoNombre

*         Nombre 7 824

Sites

*         Une preuve mathématique de 200 téraoctects  - Jacqueline Charpentier

*         Two-hundred-terabyte maths proof is largest ever – Evelyn Lamb

*         Boolean Pythagorean triples problem – Wikipedia

*         Ramsey Theory on the Integers and RealsDaniel J. Kleitman and Jacob Fox (MIT) – ppt

*         Le papier original des auteurs**

 

*         Solving and Verifying the Boolean Pythagorean Triples Problem via Cube-and-Conquer** – Marijn Heule – 50 diapos en pdf.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Nbcouleu.htm