NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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 Arithmétique de Peano

 

Sommaire de cette page

>>> Axiomatique de Peano

>>> Arithmétique de Peano

>>> Construction des nombres

 

 

 

Axiomatique de Peano

Arithmétique de Peano

Construction des nombres entiers

 

Comment en 1889, Guiseppe Peano construit une arithmétique à partir de l'ensemble vide et la notion de successeur.

L'axiomatique de Peano définit les nombres entiers naturels sans dire comment construire leur ensemble. La notion de cardinal le permet >>>

Anglais: Peano's axioms / Peano Arithmetic

 

Giuseppe Peano (1858-1932)

Mathématicien et linguiste italien.

Pionnier de l'approche formaliste des mathématiques.

Travaux exécutés en parallèle de ceux de Richard Dedekind (1831-1916).

Voir Courbe de Peano

Voir Contemporains

 

 

Axiomatique de Peano

 

 

Définitions

 

Dans l'arithmétique de Peano, on utilise:

*    une constante: 0

*    une fonction unaire S qui désigne le successeur

*    les fonctions binaires + et x.

 

Les termes sont des éléments combinant symboles et fonctions, comme S(x) + S(y).

Un énoncé désigne une propriété qui prendra son sens en fonction de la valeur des variables qu'il contient: vraie ou fausse, démontrée ou réfutée.  

 

 

 

Les cinq axiomes

définissant l'ensemble des entiers naturels

 

1.    L'ensemble contient un élément particulier noté 0.
   0 est donc un entier naturel.

2.    À chaque élément n de l'ensemble correspond un successeur .noté: S(n)
    Tout entier naturel a possède un successeur.

3.    L'élément particulier noté 0 n'a pas de successeur.
     Seul 0 n'est le successeur d'aucun élément.

4.    L'application  est injective.
      Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.

5.    L'ensemble possède la propriété de récurrence.

Si une propriété est vérifiée pour 0 et si, pour tout entier naturel n qui la vérifie, S(n) la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.

 

 

Axiomes de Peano (narratif)

Il existe un ensemble N avec:
1) ses éléments sont appelés les entiers naturels;
2) un élément 0 qui appartient à N appelé zéro;  et
3) une application S de N dans N, dite application successeur, vérifiant les propriétés suivantes:

*      0 n'est le successeur d'aucun entier (l'application S ne produira jamais 0).

*      deux nombres entiers qui ont même successeur sont égaux; l'application est injective.

*      si une partie A de n contient 0 et elle est stable par S, alors A est égale à N. C'est l'axiome de récurrence. Stable veut dire que S(A) est inclus dans A.

 

Arithmétique de Peano

 

 

Axiomatisation de l'arithmétique

 

de notions basiques

aux concepts pointus

 

Objectif double:

*    comme pour la théorie des ensembles, créer les fondements de l'arithmétique en définissant un langage logique qui va permettre de définir toutes les notions de l'arithmétique en prenant comme base cinq axiomes qui définissent les nombres entiers naturels; et

*    disposant de ce cadre logique, permettre d'étudier les fonctions calculables, et, en conséquence, aller jusqu'à établir les théorèmes d’incomplétude de Gödel.

 

 

 

Construction de l'arithmétique

Les cinq axiomes permettent de définir l'addition et la multiplication, puis toutes les propriétés classiques de l'arithmétique usuelle: commutativité, associativité, distributivité, etc.

Numération

Le successeur de 0 est noté 1; celui de 1 est noté 2, etc.

 

Addition

Quelles que soient les valeurs de a et b, éléments de N:

a + 0  = a

a + S(b) = S(a + b)

 

Multiplication

Quelles soient les valeurs  de a et b, éléments de N:

a x 0  = 0

a x S(b) = a x b + a

 

 

 

Outils de la construction

Parmi les outils principaux, on trouve:

*    la relation R (a, b, c …) entre n termes;

*    les connecteurs logiques: conjonction, disjonction, implication, équivalence et négation;

*    les quantificateurs: pour tout x et il existe x.

*    le symbole d'égalité = (relation binaire)

 

Arithmétique élémentaire

 

Exemples de calcul

 

Rappels

a + 0 = a                     (1)

a + S(b) = S(a + b)     (2)

 

Exemples

a + 1 = a + S(0)   selon la définition du nombre 1.

         = S(a + 0)    selon (2).

         = S(a)           selon (1).

a + 2 = a + S(1)   selon la définition du nombre 2.

         = S(a + 1)    selon (2).

         = S(S(a))     selon le résultat précédent.

a + 3 = S(S(S(a)))       

 

Voir Opérations de l'arithmétique

 

 

Construction des nombres – Méthode des ensembles

dite de non Neumann

 

Méthode

La construction est conduite à partir de l'ensemble vide et, elle  fait appel à la notion de cardinal (cad: de simple  comptage des éléments).

Ensemble vide.

Ensemble comprenant un unique élément, l'ensemble vide.

Ensemble comprenant l'ensemble vide et l'ensemble comportant un élément, soit deux ensembles.

Ensemble comprenant les ensembles 0, 1 et 2, soit trois ensembles.

 

 

Théorie

 

 

Point de départ: la théorie des ensembles et l'ensemble vide identifié à 0.

On construit les entiers naturels de la façon suivante:

*    L'ensemble vide  est un entier naturel noté 0;

*    Soit n un entier naturel, alors l'ensemble  est aussi un entier naturel, appelé successeur (immédiat) de n.

*    Tout entier naturel est construit à partir de ces deux règles.

Exemples

Successeur de 0:  

Successeur de 1:  

Successeur de 2:  

 

Pour assure l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels, il aussi faut introduire l'axiome de l'infini .

 

Zéro barré: unicode hexadécimal 00D8

Voir Système de numération unaire / Union (U)

 

 

 

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Sites

*         Arithmétique de PeanoBibM@th.net

*         Axiomes de Peano – Wikipédia

*         Construction des entiers naturels – Wikipédia

*         Construction des entiers naturels – Culture maths

*         Entiers naturels et relatifs – Daniel Perrin

*         Logique et théorie du calcul – Arithmétique de Peano

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Peano.htm