NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres & Division

 

Débutants

Général

Nombres POLYDIVISIBLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Types de nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres polydivisibles – Définition

>>> Les premiers jusqu'à 1000

>>> Un polydivisible pannumérique

>>> Statistiques

>>> Le plus grand

>>> Programmation

 

 

 

 

 

 

Le plus grand nombre polydivisible

Ce nombre de 25 chiffres est divisible par 25;

Sans le 5 des unités, il est divisible par 24;

Sans le 25, il est divisible par 23;

Etc.

 

 

 

Noms

NOMBRES POLYDIVISIBLES

Nombre magiques

Famille

Nombre /

 

Somme des diviseurs / Produit des diviseurs

 

 

Approche

Ce nombre de 12 chiffres est divisible par 12.

Tronqué de son unité, il est divisible par 11.

Encore un chiffre en moins et il est divisible par 10.

Etc.

 

Ce nombre est le plus grand nombre de 12 chiffres ayant une telle propriété

 

 

Définitions

 

Définition formelle

Nombre tels que

*       le premier chiffre n'est pas nul; il est divisible par 1.

*       les deux premiers chiffres forment un nombre divisible par 2

*       Les trois premiers, un nombre divisible par 3

*       Etc.

 

Définition récursive (qui utilise sa propre définition pour se définir)

Un nombre est polydivisible (ou magique) s'il est divisible par sa quantité de chiffres et si ce nombre tronqué de son unité est aussi polydivisible. Par définition, les nombres de 0 à 9 sont polydivisibles.

Voir Récursivité

 

 

 

Les premiers polydivisibles

1 chiffre

Tous les nombres à un chiffre.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2 chiffres

Tous les nombres pairs.

10, 12, 14, 16, … 96, 98

 

3 chiffres

Il y en a 150.

 

Du plus petit 102
au plus grand 987.

 

Le nombre 987 est effectivement divisible par 3, et le nombre 98 par 2.

 

k chiffres

Il existe seulement

20 547 nombres polydivisibles

 

 

Le dernier est le seul à 25 chiffres:

3 608 528 850 368 400 786 036 725

= 3,608 … 1024

 

 

Voir Statistiques ci-dessous.

 

 

 

Un polydivisible pannumérique

Le nombre 381 654 729 est le seul polydivisible qui est formé avec tous les chiffres de 1 à 9.

Voir ce nombre pannumérique.

 

 

Statistiques

 

Les derniers

Pour 24 chiffres le nombre intermédiaire est: 360852885036840078603672

Pour 23 chiffres, les six représentants sont:

12360600901222567200901, 14440864504822563660381, 24085888200010566020746, 36085288503684007860367, 40285216807290082800921, 72645656402410567240820.

 

 

 

Le plus grand nombre polydivisible

 

Anatomie du nombre N

 

 

Programmation – Maple

Principe

Cette programmation exige un peu d'habitude. Il s'agit d'imbriquer trois boucles d'analyse: une pour la quantité de chiffres, une autre pour examiner les nombres d'une liste en cours et la troisième pour ajouter un des chiffres de 0 à 9 à chacun des nombre à examiner.

Le programme utilise la facilité de concaténation du logiciel Maple. Cette "astuce" permet d'indicer une liste ou un ensemble avec un numéro évolutif.

Programme

 

Commentaires

 

Initialisation et indication de la quantité de chiffres à examiner en qmax.

P est l'ensemble des nombres polydivisibles. Le premier (P1) est initialisé avec les nombres de 1 à 9.

Boucle en d (comme diviseur) pour examiner les nombres à d chiffres qui doivent être divisibles par d.

P "double barre" d est lu par le programme comme Pd (ensemble P de numéro d). La double barre est l'opérateur de concaténation.

Boucle en n pour l'examen de chaque nombre jusqu'au dernier de l'ensemble précédent (calculé avec nops).

Boucle en ch pour balayer les 10 chiffres à ajouter comme unité du nombre n  en cours d'examen => N = 10n + ch

Si ce nombre est divisible par d (N mod d = 0), on l'ajoute à l'ensemble Pd.

Fin des trois boucles.

 

Le programme est alors en possession de qmax ensembles de nombres polydivisibles.

 

On peut les imprimer indépendamment ou tous à la suite en opérant l'union de ces ensembles.

L'opérateur 'union' s'applique aux arguments qui le suivent. Ici, d'abord l'ensemble contenant le nombre 0, puis une séquence appelant tous les ensembles calculés de 1 à qmax.

Le nops en fin de programme permet de donner la quantité de nombres polydivisibles trouvés.

 

En bleu, début d'impression.

En posant qmax := 25, on trouve les 20 257 nombres polydivisibles.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Nombres divisibles résistants ou polydivisibles – Page semblable, présentation alternative

Voir

*  Division – Opération

*  Divisibilité

*  Premiers tronquables ou résistants

*  MagieIndex

DicoNombre

*  Nombre 102

*  Nombre 987

*  Nombre 20 457

*  Nombre 3 608 528 850 368 400 786 036 725

Site

*  Nombre polydivisible – Wikipédia

*  OEIS A144688 – Magic numbers: all numbers from 0 to 9 are magic; a number >= 10 is magic if it is divisible by the number of its digits and the number obtained by deleting the final digit is also magic.

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/Polydivi.htm