NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres & Carrés PN

Produits PN

123 456 789

381 654 729

PN & Repdigits

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Explications

>>> Exploration

 

PN: Pannumériques

 

 

 

  

 

Approche – Propriété singulière

*      Ce nombre contient tous les chiffres (il est pannumérique).

 

*      Chaque nombre formé par les n chiffres à partir de la gauche est divisible par n.

 

*      Ce nombre est unique.

Pourquoi?

 

381 654 729

 

    38                   /      2      =      19

    381                 /      3      =      127

    3816              /      4      =      954

    38165            /      5      =      7633

    381654          /      6      =      63609

    3816547        /      7      =      545221

    38165472     /      8      =      4770684

 

Ce nombre est un cas particulier des nombres polydivisibles 

 

 

Explications

 

*      Un nombre formé de 9 chiffres.

*      Le nombre abcde, formé de 5 chiffres est divisible par 5.
Le seul chiffre possible est 5.

 

*      Les nombres formés d'un nombre pair de chiffres sont pairs.
 Les autres sont impairs.

 

 

*      Le nombre abcd est divisible par 4.
Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4.

*      Le nombre abcdefgh est divisible par 8 et aussi par 4, en fait.
 Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4.

*      On en déduit les valeurs possibles pour b et f.

 

 

 

a

b

c

d

e

f

g

h

i

 

 

a

b

c

d

5

f

g

h

i

 

 

a

2

c

4

5

6

g

8

i

Chiffres pairs dans une de ces quatre positions, dans un ordre à trouver

 

 

cd est divisible par 4, avec c impair

Seules possibilités d = 2 ou d = 6

Exemples: 12, 16, 32, 36, 52 …

 

 

gh est divisible par 4, avec g impair

Seules possibilités h = 2 ou h = 6

 

b = 4 ou b = 8

f  = 4 ou f  = 8

 

a

4/8

c

2/6

5

4/8

g

2/6

i

 

 

*      Le nombre abc est divisible par 3.
 Examinons le cas où b vaut 4.
 On déduit les valeurs possibles de a et c, sachant que la somme des trois chiffres est divisible par 3.

 

*      Le nombre abcdef est divisible par 6, donc par 3.

La somme de chiffres est divisible par 3.
La somme a + b + c est déjà divisible par 3.

La somme d + e + f doit être divisible par 3.

 

 

 

Hypothèse b = 4

 

a

4

c

2/6

5

8

g

2/6

i

 

a4c = 147 ou 741

(avec le chiffre 3, pas de possibilités)

 

a

b

c

d

e

f

g

h

i

1/7

4

7/1

2/6

5

8

3/9

2/6

3/9

 

 

def = 258 qui est divisible par 3

ou

def = 658 qui n'est pas divisible par 3

 

1/7

4

7/1

2

5

8

3/9

6

3/9

 

*      Le nombre abcdefg est divisible par 7.
Examinons les quatre cas =>

 

 

*      Le nombre abcdefgh est divisible par 8.  Or ce n'est pas le cas! L'hypothèse b = 4 ne peut pas être retenue.

 

1472583   / 7        = 210369

1472589   / 7        = 210369,857

7412583   / 7        = 1058940,43

7412589   / 7        = 1058941,29

 

1

4

7

2

5

8

3

6

9

 

1472583 / 8 = 184072,875  PAS BON!

 

 

 

 

 

*      En conséquence b vaut 8

 

 

 

*      Possibilités pour abc

 

*      Possibilités pour def

 

 

 

*      Le nombre abcdefg est divisible par 7.
 Examinons tous les cas.
Un seul cas de divisibilité exacte par 7.

 

 

 

 

 

*      Nous tenons là, l'unique solution au problème posé

 

 

Nous savons que b = 8

 

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

8

c

2/6

5

4

g

2/6

i

 

a8c = 183 ou 381 ou 189 ou 981

 

d54 = 654 (254 n'est pas divisible pas 3)

 

1/3/9

8

1/3/9

6

5

4

g

2

i

 

 

1836547   / 7        = 262363,857

1836549   / 7        = 262364,143

3816547   / 7        = 545221

3816549   / 7        = 545221,286

1896543   / 7        = 270934,714

1896547   / 7        = 270935,286

9816543   / 7        = 1402363,29

9816547   / 7        = 1402363,86

 

 

3

8

1

6

5

4

7

2

9

 

 

 

 

 

Exploration avec non-pannumériques

Nombres avec cette propriété singulière de divisibilité de ses tronqués.

 

*    Propriétés à noter.
Le chiffre du centre est toujours 5.
La somme des chiffres est divisible par 9 (donne 0 dans la preuve par neuf).

abcd5fghi

 

a+b+c+d+e+f+g+h+i = 0 mod 9

 

*      Quels sont les nombres de neuf chiffres, pas forcément pannumériques.
Tels que les nombres de n chiffres à partir de la gauche sont divisibles par n ?

 

*      Il y a 416 possibilités.
Dont, par exemple, 46 commençant avec 1.

 

123252561 le plus petit

123258168

381252249

381252969

381258567

381654729

987258321

987654564 le plus grand

 

 

 

 

*    Pas de tels nombres avec deux chiffres différents seulement.

Ni avec trois chiffres consécutifs.

 

*    Voici les quatre nombres avec 4 chiffres consécutifs.

 

 

 

 

 

*    Ils sont plus nombreux avec cinq chiffres consécutifs ou une distance de 5 entre les deux chiffres extrêmes, notés avec un astérisque .

 

 

 

 

 

225252324

423252243

663654645

786858885

 

 

 

 

222456564*

243654642

345252645

363654243

465252246*

522456246*

543252564

543654324

444456648*

468456885*

468858645*

588456486*

645654888*

666858564*

768456567

846456885*

846858645*

888456888*

888858648*

588858966*

966858966*

 

 

*    Aucun palindrome

 

 

*    Quelques uns presque-palindromes

 

abcd5dcba n'existe pas

 

 

123 654 321

465 258 564

546 852 645

888 456 888

942 456 249

 

1 6525256 4

8 4685864 5

9 6925296 6

 

 

 

 

 

 

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