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Un brin d'histoire

Le Français René Descartes (1596-1650) découvre seul la loi qui porte son nom. En fait, avant lui, le Néerlandais Willebrord Snell l'avait formulée, mais sans la publier.

Mieux! Cette loi était connue bien avant par le mathématicien arabe Ibn Sahl qui rédigea un traité en 984 sur les miroirs ardents et les lentilles.

Réflexion Cas d'un rayon lumineux qui se réfléchit sur un miroir ou d'une boule de billard qui rebondit sur la bordure. Le rayon se réfléchit selon le même angle. La figure est symétrique.

Réfraction Cas d'un rayon lumineux qui traverse une lame de verre ou qui pénètre dans l'eau. Le rayon traverse la lame de verre en formant un angle plus petit à la sortie.

Voir Principe de Huygens / Diffusion et diffraction

Loi de Snell-Descartes de la réfraction

Effet du bâton brisé dans l'eau: le rayon lumineux qui tente de traverser la surface de l'eau se voit rabattu vers le fond. D'où l'apparence du bâton brisé juste à la surface de l'eau. On dit d'un milieu qui réfracte la lumière qu'il est réfringent. La transition d'un milieu à un autre est un dioptre.

Loi de Snell-Descartes pour la réfraction.

Loi 1 – Les deux rayons, incident et réfracté, forment un plan avec la normale au miroir au point d'incidence.

Loi 2 – L'angle de réfraction dépend des indices des deux milieux traversés:

Indices

L'indice est témoin de la vitesse de propagation (célérité) dans le milieu concerné.

Voici quelques indices:

Vide 1

Air 1,0003

Glace 1,31

Eau 1,3329

Verre 1,5

Quartz 1,55

Diamant 2,47

Réfraction – Rayon rabattu
L'indice du second milieu est plus réfringent que celui du milieu d'origine. C'est le cas d'un rayon qui passe de l'air dans l'eau. Notez bien que les angles i1 et i2 sont comptés à partir de la normale.

Réfraction – Rayon relevé
L'indice du second milieu est moins réfringent que celui du milieu d'origine. C'est le cas du poisson qui regarde en l'air.

ANGLE LIMITE

Si la lumière passe dans un milieu moins réfringent, le rayon lumineux n'est pas rabattu, mais au contraire, remonte. Il peut remonter jusqu'à repartir à l'horizontale (angle du rayon réfracté de 90°). Un peu plus et, le rayon ne passe plus (il serait au-dessus de l'horizontale). Il est simplement réfléchi. Le dioptre se comporte comme un miroir.

C'est ce qui se passe avec le diamant. Ce phénomène explique son éclat. Mettez-le dans l'eau et ses feux disparaissent.

Valeur de l'angle limite:

sinus i _lim = n₂ / n₁

Valeur de l'angle limite pour dioptre d'un milieu vers l'air

Glace 49°36'41"

Eau 48°36'41"

Verre 41°48'37"

Quartz 40°10'40"

Diamant 23°52'56"

Évolution des angles dans le cas du dioptre eau/air:

INCIDENT EAU	en radian	son sinus	RÉFRACTÉ AIR	en degrés
0	0	0	0,00	0
5	0,09	0,09	0,12	6,67
10	0,17	0,17	0,23	13,38
15	0,26	0,26	0,35	20,18
20	0,35	0,34	0,47	27,12
25	0,44	0,42	0,60	34,28
30	0,52	0,50	0,73	41,79
35	0,61	0,57	0,87	49,86
40	0,70	0,64	1,03	58,96
45	0,79	0,71	1,23	70,48
46	0,80	0,72	1,28	73,50
47	0,82	0,73	1,35	77,12
48	0,84	0,74	1,43	82,11
48,1	0,84	0,74	1,44	82,79
48,2	0,84	0,75	1,46	83,54
48,3	0,84	0,75	1,47	84,38
48,4	0,84	0,75	1,49	85,37
48,5	0,85	0,75	1,51	86,64
48,6	0,85	0,75	1,55	88,92
48,6115035	0,85	0,75	1,57	90,00

Le rayon balaye complément le volume de l'air, mais reste dans un cône de 48,6° dans l'eau

Exemple

À travers un trou dans l'eau, tous les objets ou autres poissons dans le cône de l'angle limite sont visibles. Par contre au-delà de cet angle, les poissons ne peuvent être vus.

On peut imaginer que vous êtes dans un mini sous-marin ou une cloche dans l'eau et que vous regardez à travers un hublot. Les poissons dans les angles morts ne seront pas vus. De même, à l'inverse, ces poissons ne verront pas votre trombine.

Merci à Olivier Duwat

Une application: la taille des diamants

Taille peu profonde Deep cut	Taille idéale Ideal cut	Taille profonde Shallow cut

Suite	Dioptres multiples Détecteur de pluie Limite de l'horizon et réfraction
Voir	Arc-en-ciel Billard Chemin le plus court pour aller chez grand-mère Optique – Glossaire et index Prisme optique Vitesse – Glossaire
Site	Optique géométrique – Université Bordeaux 1 Mathematics of the Perfect Diamond Cut – Math Career
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