NOMBRES – Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 18/05/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

  OBJETS 3D

 

Débutants

Géométrie

VOLUMES

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Polygones et polyèdres

 

Cylindre

 

Géométrie

 

Énigmes

 

Cube

Sphère

Cylindre

Cône

Pavé

Fourmi sur pavé

Cylindre – Exercices

Prisme

Rhomboèdre

Pyramide

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Prismes droits

>>> Aire et volume du prisme droit

>>> Volume du prisme droit – Détail du calcul

>>> Volume du prisme oblique – Détail du calcul

>>> Antiprisme

>>> Prisme optique

>>> Anglais

 

 

 

 

PRISME

 

Définition, propriétés et amusements avec le prisme, sorte de cylindre à facettes.

 

Le prisme est un solide engendré par un polygone qui se déplace le long d'une droite génératrice (illustration).

 

Le prisme, polyèdre à faces en parallélogrammes et bases polygonales parallèles,  est le père d'une famille nombreuse de volumes, notamment celle des parallélépipèdes lorsque la base est un quadrilatère.

 

Le prisme fait partie de la famille des prismatoïdes.

 

Quelques individus de la famille

Prismes droits à base: triangle / rectangle / carré / pentagone régulier / octogone quelconque

 

Si la base est un polygone régulier, le prisme est régulier, sinon il est irrégulier.

Si les parallélogrammes sont des rectangles le prisme est droit, sinon il est oblique.

 

Anglais: Prism

 

 

Approche

 

Le prisme est un polygone qui aurait pris de l'épaisseur.

 

Définition

Le prisme est un volume dont toutes les faces sont plates. Il est caractérisé par:

*      deux faces planes opposées identiques et parallèles; et

*      toutes les faces latérales sont des parallélogrammes.

 

Le prisme est un polyèdre.

 

Le cylindre n'est pas un prisme

bien qu'un prisme à base polygonale à grand nombre de côtés pourrait se rapprocher du cylindre.

 

Selon la définition du prisme, les arêtes des bases sont parallèles deux à deux et les arêtes latérales sont toutes parallèles entre elles.

 

 

Le prisme est le volume engendré par le mouvement de la base, translatée le long d'une directrice (une droite parallèle à une arête latérale).

 

Prisme droit et prisme oblique

 

Dans le prisme droit, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux arêtes des bases.

Prismes hexagonaux:

droit et oblique

 

 

 

Prismes droits

 

Primes droits célèbres

 

Le cube et le pavé droit (ou parallélépipède rectangle).

Les bases sont des quadrilatères:   carrés et rectangles.

 

Note: avec une base losange le prisme (non-droit) devient un rhomboèdre.

 

Cube et pavé droit

Deux autres spécimens

 

Le prime droit triangulaire et le prisme droit pentagonal.

Les bases sont des triangles et des pentagones.

 

Prismes droit réguliers:

triangulaire et pentagonal

 

Prismes droits réguliers et irréguliers

 

La base d'un prisme droit régulier est un polygone régulier; avec une base polygonale quelconque, il est irrégulier.

 

On a donc quatre types de prismes:

*      régulier et droit,

*      régulier et oblique,

*      irrégulier et droit, et

*      irrégulier et oblique.
 

Le nom du prisme est suivi du nom du polygone de base.

Un prisme uniforme est un prisme droit régulier dont les faces latérales sont des carrés.

 

 

Prismes droit pentagonaux:

irrégulier et régulier

 

Aire du prisme droit

Aire des deux bases + aire des faces latérales.

 

Volume du  prisme droit

Aire de la base multipliée par la longueur du prisme.

 

Volume du  prisme régulier

Avec a, le côté du polygone régulier à n côtés:

 

Voir Aire du pentagone /
Calcul du volume du parallélépipède

 

 

Volume de ce prisme pour a = 5 et L = 10

 

 

 

Volume du prisme droit – Détail du calcul

 

Prenons le prisme à base triangulaire pour commencer (Illustration). Sa longueur (L) est en même temps sa hauteur.

Le triangle quelconque de la base (B) peut être découpé en deux triangles rectangles (B1 et B2) en traçant une hauteur (h).

Le volume des parallélépipèdes droits P1 et P2 est égal à: L.h.a1 et L.h.a2.

Le volume des prismes droits avec B1 et B2 est égal à: ½ L.h.a1 et ½ L.h.a2.

Le volume du prisme droit avec B est égal à la somme des deux:

V = ½ L.h(a1 + a2) ) = ½ L.h a =  B . L

 

Ce raisonnement est applicable au prisme droit à base polygonale quelconque en découpant le polygone en autant de triangles rectangles que nécessaire.

 

Le volume du prisme droit est égal au produit de l'aire de la base par la longueur du prisme droit:

V = B x L.

Formule analogue à celle du cylindre droit

 

 

Volume du prisme oblique – Détail du calcul

 

Un prisme oblique (bleu).

Un plan perpendiculaire à toutes les arêtes et s'appuyant sur l'un des sommets (rose). C'est possible car toutes les arêtes sont parallèles. Ce plan perpendiculaire s'appelle la section droite.

 

Le volume formé par les arêtes et les deux plans roses est un prisme droit dont le volume est égal à A' x L (aire de la base du prisme droit fois sa hauteur).

 

Les volumes tronqués en haut et en bas (V1 en moins et V2 en plus) sont égaux et se compensent. Le volume (V) du prisme oblique est égal au volume (V') du prisme droit. C'est-à-dire: V = A' x L, le produit de la section droite par la longueur du prisme oblique.

Transformation du prisme oblique en prisme droit

Le volume du prisme oblique est égal à celui du prisme droit, soit le produit de l'aire de la section droite du prisme oblique par sa longueur.

 

Sur cette illustration simplifiée, le volume bleu se recompose en volume rouge pointillé en basculant la partie du bas en haut.

La hauteur est la même. Par contre, la base est projetée sur la section droite avec un angle alpha.

 

 

Aire de la section droite: il s'agit de la projection orthogonale de la base sur un plan faisant un angle alpha entre le plan de la base et le plan de la section

Illustration du principe de calcul

Aire section droite = aire base  cos  

Volume du prisme oblique.
Alpha étant l'angle entre la base et une section droite.
Voir Comment le définir en projection d'un triangle.

V = A . L   cos

 

 

Antiprismes

 

Un antiprisme est un prisme dont on aurait fait pivoter l'une des bases; les faces devenant des triangles.

Un antiprisme droit est formé à partir:

*    d'un polygone régulier à n côtés;

*    de sa copie parallèle et tournée de 180° / n; et

*    les sommets sont connectés par des triangles alternés.

Un antiprisme uniforme est un antiprisme dont les faces sont des triangles équilatéraux.

 

Antiprisme heptagonal

Source image: Antiprism.com

 

 

 

Prisme optique

Le prisme droit triangulaire est utilisé en optique pour disperser la lumière (éclater le spectre selon toutes les composantes colorées de la lumière); phénomène de réfraction.

Ce solide est référencé en tant que prisme (optique) sans autre précision. Il peut prendre d'autres formes que le prisme géométrique.

Voir Arc-en-ciel

 

 

 

English corner

 

PRISM: a solid with two congruent (identical) parallel faces, where any cross section parallel to those faces is congruent to them.

A prism is a solid that has two faces that are parallel and congruent. These are called the bases of the prism. If you take any cross section of a prism parallel to those bases by making a cut through it parallel to the bases, the cross section will look just like the bases.
 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Pavé

*    Rhomboèdre

*    Sphère

*    Polyèdres – Bases de la géométrie

*    Maille des cristaux

Aussi

*    Carré

*    CercleIndex

*    Chemin entre villes

*    Chemins eulériens

*    Cylindre – Exercices (Brevet)

*    Cylindres tangents

*    ÉnigmesIndex

*    GéométrieIndex

*    Hélice

*    Les quatre souris

*    Spirale

*    Tonneau – Volumes / Énigmes

*    Vocabulaire de la géométrie

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/Prisme.htm