NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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GÉOMÉTRIE

 

Débutants

Géométrie

ÉLÉMENTS de base

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Point

Droite

Plan

Parallèle

Égalité

Distance

Angle

Perpendiculaire

Sommaire de cette page

>>> Distance

>>> Devinette – Hauteur de l'arbre

>>> Point à point

>>> Point et droite

>>> Médiatrice

>>> Cercle et sphère

>>> Espace métrique

>>> Distance de Hausdorff

>>> Distance ultra-métrique

>>> Distance intertextuelle

>>> Autres distances

 

 

 

Le directeur de cette entreprise souhaite mesurer la taille d'un poteau. Ses collaborateurs réfléchissent à la méthode:

*    grimper jusqu'en haut muni d'un décamètre,

*    mesurer l'ombre portée, ou

*    faire une visée avec un théodolite.

Pendant ce temps, un ingénieur vint à passer. Mettant ces personnes à contribution, il déloge le poteau, le pose à plat et, avec le décamètre, donne la mesure exacte au centimètre près.

Dépité le directeur s'emporte: impayable ces ingénieurs, après toute ces études, tu leur demandes la hauteur et il te donne la longueur!

Voir Pensées & humour

 

 

DISTANCE – Classique

Compas

*    On reporte une distance avec un compas.

*    C'est le seul moyen rigoureux.

Règle

*    On mesure les distances avec une règle graduée dont on a, au préalable, convenu d'une unité de mesure.

Métrique

*    Distance classique.

Ultra-métrique

*    Distance généralisée. Comme la distance entre membres d'une famille.

 

 

Devinette: la hauteur de l'arbre

 

Problème

C'est un grand chêne. Sa hauteur est connue de la manière suivante: il mesure 9,60 m, plus le tiers de sa hauteur.

Sauriez-vous trouver la hauteur de cet arbre?

 

 

Une réponse erronée

L'erreur courante consiste à calculer le tiers de 9,60 = 3,20 et l'ajouter à 9,60 = 12,4 m.

Cette réponse est fausse.

 

La bonne réponse

Soit L cette hauteur.

Nous savons que L = 9,60 + L/3.

Ce qui donne L – L/3 = 2L/3 = 9,60

On calcule L = 3 x 9,60/2 = 14,4 m

 

 

 

POINT à POINT

Deux points

*    La plus courte distance entre deux points est la ligne droite.

*    La distance entre deux points est la mesure du segment de droite joignant ces deux points.

Calcul

 

Points

M1 (x1, y1)

 

M2 (x2, y2)

Distance

d² = |x2 – x1|² + |y2 – y1|² 

|x2 – x1| = valeur absolue de la différence.

 

 

 

Dis-papa, c'est loin New York? Tais-toi et nage!

Voir Pensées & humour

 

 

POINT et DROITE

Un point, une droite

 

*    La distance d'un point à une droite est la longueur du plus court segment joignant ce point à un point de la droite.

*    La droite portant ce segment est perpendiculaire à la droite initiale.

 

*    AB est la distance la plus courte.

*    Tous les autres segments issus de A sont plus longs.

 

*    En B, l'angle est droit.

C'est une définition de l'angle droit.

Calcul

 

Point

M0 (x0, y0)

Droite

ax + by + z = 0

Distance

d = |ax0 + by0 + z| / (a² + b²)

 

Voir Bissectrice

 

 

MÉDIATRICE

 

Médiatrice de BC

 

*    M milieu de BC.

*    AM perpendiculaire en M à BC.

*    Tous les points de la droite portant AM sont à égale distance des points B et C.

*    Cette droite est la médiatrice du segment AB.

 

 

Construction

 

*    Soit une ouverture du compas.

*    De B comme centre, on trace les arcs de cercles en haut et en bas (région de A et A')

*    De C comme centre, on trace les arcs de cercles en haut et en bas (région de A et A')

Les points de rencontre A et A' définissent la médiatrice

Suite en Médiatrice

 

 

CERCLE ET SPHÈRE

Un point, un plan

*    L'ensemble des points à une distance r d'un point O est un cercle: son centre est O et son rayon est r.

Un point, l'espace

*    L'ensemble des points à une distance r d'un point O est une sphère: son centre est O et son rayon est r.

 

 

 

ESPACE MÉTRIQUE – Définition

Axiomes

  

*    Distance métrique sur un ensemble E:

Application d de dans R+ telle que pour x, y, z de E:

de séparation

d(x, y) = 0

ssi x = y

de symétrie

d(x, y) =

d(y, x)

triangulaire

d(x, y) £

d(x, z) + d(z, y)

 

 

 

DISTANCE DE HAUSDORFF – Notion

 

*    Deux segments: un droit et l'autre courbe.

Le rayon r du disque qui permet:

-  de couvrir B à partir de la figure construite sur A et,

-  de couvrir A à partir de celle construite à partir de B

est la distance de Hausdorff entre A et B.
 

 

*    On peut généraliser à n’importe quels objets.

 

Défaut: Si on ajoute un point assez éloigné à la courbe A, sa distance à B sera grande alors que les deux figures sont pourtant assez semblables

 

 

 

DISTANCE INFORMELLE – Notion

 

*    C’est la longueur du programme le plus court permettant de dessiner la figure B à partir de A.


 

*    Distance inventée pour tenter de caractériser des analogies entre objets.

*    Une maison et la même maison avec du feu à la cheminée sont semblables.

*    Application au génome.

 

*    La distance entre un dessin d’objet et son image inversée est courte: l’œil voit immédiatement que les deux dessins sont semblables.

 

 

Défaut: on n’est jamais sûr d’avoir trouvé le programme le plus court.

 

 

DISTANCE ULTRA-MÉTRIQUE – Notion

 

*    Distance telle que: d (x, y)  max { d (x, z) , d (z, y) }


 
Exemple

*    Distance dans un graphe, dans un arbre généalogique.

 

Distances

 

*    Les distances ne s’ajoutent pas.

*    Par contre la propriété suivante peut être vérifiée:

d (x, z)                           { d (x, y), d (y, z) }

d (Daniel, Fabienne)  { d (Daniel, Renée), d (Renée, Fabienne) }

8                                    { 6, 8 }

 

*    Une distance ayant une telle propriété est dite ultra-métrique.

*    On ne considère pas la somme des distances mais seulement la plus grande des deux.

*    Avec une distance métrique, on aurait: d (x, z)  d (x, y) + d (y, z)

 

*    Cette notion de distance est utilisée avec les nombres p-adiques. La distance p-adique caractérise la divisibilité d’un nombre par un nombre premier choisi et par ses puissances.

 

 

Théorème de Viviani

Pour tout polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés est égale à la longueur de la hauteur. >>>

 

 

 

 

Suite

*    Diagramme de Voronoï

*    Distance à l'horizon

*    Distance de sécurité en voiture

*    Distance intertextuelle

*    Distance ultra - métrique

*    Distances dans l'univers

*    Angles

Voir

*    Base de la géométrie: la droite

*    Bissectrice

*    Construction au compas

*    Constructions avec des allumettes

*    Diamètre

*    GéométrieIndex

*    JeuxIndex

*    Jeux divers

*    Périmètre

*    Points

*    Polygones

*    Somme des entiers

*    Symétries motifs de frises et tapisseries

Dicomot

*    Glossaire des termes de mathématique

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