NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/03/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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BILLARD

La boule de billard rebondit sur les bords de la table de billard comme un rayon lumineux se réfléchit sur un miroir. Elle obéit aux mêmes lois la trajectoire réfléchie.

Voir Réflexion

Deux copains se retrouvent. L'un d'eux est accompagné d'une grosse mite et d'un génie tourbillonnant autour de lui.

- Pour fêter nos retrouvailles, je te laisse faire un vœu; mon génie l'exaucera.

- D'accord! je voudrai un milliard.

Alors, un beau billard apparaît devant lui.

- Il est sourd lui; je n'ai pas demandé un milliard, pas un billard.

- Qu'est-ce tu crois que j'ai vraiment demandé moi …

Voir Pensées & humour

Les billards

Jeu de billard: Les bordures du billard sont appelées bandes. La boule de billard est une bille dont le diamètre est compris entre 5 et 7 cm. Les trous pratiqués dans la table sont des blouses ou poches. Le pool comporte diverses variantes de billards à poches. Types de jeux de billard Billard français Jeu de carambolage Trois billes: deux billes blanches et une rouge. Billard anglais Trois billes: une blanche, une blanche marquée de deux points et une rouge. Six blouses. Billard américain (american pool) Seize billes: une blanche (bille de choc ou de tir) et quinze billes numérotées de 1 à 15: de 1 à 7, colorées, la 8, toute noire, de 9 à 15, cerclée d'une bande de couleur. Six blouses. Table dite 9 pieds (9ft): 2,54m x 1,27 m x 0,76 m. Jeu du huit – majorité des pubs anglais et le plus commun dans le monde: Bille blanche + Quinze billes portant des numéros consécutifs: Billes 1 à 7 au second joueur; Bille 8, noire, n'est pas attribuée; et Billes 9 à 15 au premier joueur. Six blouses. Paquet de 15 billes en triangles. il faut empocher toutes les billes de son groupe et finir par la noire. Snooker Vingt-deux billes. Six blouses.

Faire un trois-bandes: la bille doit rebondir au moins trois fois sur les rebords.

Le problème du billard d'Alhazen
Problème Un billard circulaire et deux billes A et B placées en deux points quelconques. La bille A doit rebondir une fois et atteindre la boule B. Où se trouve le point de rebond? Il s’agit de la trajectoire d'un rayon lumineux reliant un point à un autre après réflexion sur un miroir circulaire. Autres formulations Trouvez un triangle isocèle inscrit dans un cercle et passant par deux points donnés. De deux points dans un cercle, trouvez les droites qui se croisent sur le cercle avec le même angle par rapport à la tangente en ce point d'intersection. Solution Une équation du quatrième degré (biquadratique) du type: La solution est non constructible avec règle et compas car elle nécessite l'extraction d'une racine cubique. Généralisation Cas de miroirs paraboliques, hyperboliques ou elliptiques. Alors, la solution nécessite la résolution d'une équation du huitième degré. Anglais Given a light source and a spherical mirror, find the point on the mirror were the light will be reflected to the eye of an observer.	Ptolémée (vers100- vers 170) Ptolémée est le premier à formuler ce problème en l'an 150. Alhazen Alhazen traite de cette question dans son traité d'optique. Il trouve une solution géométrique impliquant les sections coniques, et non par calcul algébrique. Léonard de Vinci (1452-1519) Léonard de Vinci le résout avec un système articulé. Autres mathématiciens Christiaan Huygens, James Gregory, Guillaume de l'Hôpital, Isaac Barrow et bien d'autres se sont essayés à la résolution de ce problème; tentant l'utilisation de méthodes analytiques, géométriques, dérivation ou nombres complexes. Peter M. Neumann En 1997, ce professeur à Oxford, donne la solution: Cette preuve apporta la solution au dernier problème de géométrie classique.

Ibn al-Haytham Alhazen (Bassora, 965 – Le Caire, 1039)

Vari nom: Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, plu connu sous le nom: Alhazen, version latine de al-Hasan

Alhazen (illustration) est un physiologiste et physicien musulman de l’époque médiévale.

Il fut l’un des premiers promoteurs de la méthode expérimentale en sciences, tout en utilisant les mathématiques pour assoir la physique théorique.

Il s’illustre par ses travaux fondateurs dans les domaines de l’optique géométrique et physiologique.

Très estimé de la communauté scientifique, Alhazen a devancé de quelques siècles plusieurs découvertes faites par des scientifiques européens pendant la Renaissance.

Il influença grandement Roger Bacon et Johannes Kepler.

Source: France culture – Alhazen, la science au Moyen Âge – 21/01/2018

BILLARD AMÉRICAIN

Billard américain à 6 trous: 1 à chaque coin et 1 au centre de chaque grand côté. La boule au centre doit être lancée sans effet. Il faut la faire sortir en 4 bandes (4 rebonds sur les bords) La solution consiste à déplier les trajets par symétrie, en dessinant autant de billards dépliés que nécessaire (chacun des rectangles ci-dessous). On ne conserve que les trajets qui aboutissent à un trou, après avoir coupé 4 fois le bord des billards. On élimine les trajets qui rencontrent un trou avant les quatre intersections (en pointillé).

BILLARD et visée

Pour un coup joué sans effet, la direction de la bille touchée ne dépend que de la " quantité " de bille. La " quantité " de bille est la proportion de bille touchée par la bille lancée. Pour une quantité 3/4, on a une touche 3/4 de bille et, la bille touchée part selon un angle de 7°.

Voici quelques exemples :

Ligne de visée :

À partir de demi - bille et au-dessus, on vise un point qui se trouve sur la bille à toucher.
En dessous de demi - bille, les touches de bille sont plus difficiles: il faut viser un point extérieur à la bille, donc le vide ; il n'y a pas de repère.
Plus on s'éloigne, plus la visée est délicate. Pour une touche en finesse, le truc consiste à viser selon une parallèle à la tangente aux deux billes.

Valeurs numériques :

Les deux billes partent dans des directions perpendiculaires. L'angle pris par les deux billes (a₁ et a₂ ) forme un angle droit. La vitesse de la bille lancée étant v₀ , celle des billes après le toucher sont :

v₁ = v₀ cos a₁ et v₂ = v₀ sin a₁

Quantité:	Écart	a1 en °	a2 en °	v1 / v0 en %	v2 / v0 en %	v2 / v1 en %
Plein	0	90	0	0	100
3/4 plein	R/4	82,8	7,2	13	99	7,92
3/4 de bille	R/2	75,5	14,5	25	97	3,87
2/3 de bille	2R/3	70,5	19,5	33	94	2,82
Demi - bille	R	60	30	50	87	1,73
Tiers de bille	4R/3	48,2	41,8	67	75	1,12
Quart de bille	3R/2	41,4	48,6	75	66	0,88
Finesse	2R	0	90	100	0	0

Théorie :

Conservation de l'énergie cinétique (translation sans rotation):

m v₀² = m v₁² + m v₂²

Conservation de la quantité de mouvement (équation vectorielle):

m v₀ = m v₁ + m v₂

Soit :

v₀ = v₁ cos a₁ + v₂ cos a₂

0 = v₁ sin a₁ - v₂ sin a₂

En élevant au carré et en utilisant la première équation, on conclut que:

cos (a₁ + a₂₎ = 0 => a₁ + a₂ = 90°

Et, aussi :

v₂ = v₁ sin a₁ / sin a₂

v₀ = v₁ (cos a₁ + sin a₁ . cos a_{2 /} sin a_{2 )}

Or

cos a₂ = sin a₁ et sin a₂ = cos a₁

D'où

v₁ (cos² a₁ + sin² a₁ ) / cos a₁ = v₁ / cos a₁ = v₀

Et avec v₁² + v₂² = v₀²

v₁ = v₀ cos a₁ et v₂ = v₀ sin a₁

Attention :

Ces résultats valent dans les cas où il n'y a pas  de phénomène du type :

effet : rotation latérale;

glissement : la bille avance en glissant sur le tapis;

coulé forcé : vitesse de rotation supérieure à la vitesse sans glissement;

rétro : la bille a une rotation dans le sens inverse de la marche;

queue oblique et non parallèle au plan du billard...

On peut s'amuser encore à calculer. Mais mieux vaut voir l'artiste à l'œuvre!

Billard mathématique

Étude du mouvement d'une bille (point doté d'une masse) sujet à des réflexions élastiques sur un contour de formes diverses. Cette partie des mathématiques fait partie de la mécanique dynamique. Nous sommes dans le domaine plan, la table de billard. La bille se propage en ligne droite et à vitesse constante. Elle subit un rebond sur la bordure selon la loi de la réflexion: l'angle incident est égal à l'angle réfléchi. La vitesse reste constante. Pour apprécier les angles de la trajectoire, il faut introduire la tangente à la courbe au point d'impact et la normale à la tangente en ce point. Dans le cas où le billard est en cercle, si l'angle d'incidence est égal à la bille fait q rebonds et p tours avant de revenir sur la même trajectoire. Dans la réalité Les bandes et les billes ne sont pas parfaitement élastiques. L’angle de réflexion (2) est plus grand que l’angle d’incidence (1); La vitesse de la bille diminue après l’impact..

English corner

A mathematical billiard consists of a domain, say, in the plane (a billiard table), and a point-mass (a billiard ball) that moves inside the domain freely. This means that the point moves along a straight line with a constant speed until it hits the boundary. The reflection off the boundary is elastic and subject to a familiar law: the angle of incidence equals the angle of reflection. After the reflection, the point continues its free motion with the new velocity until it hits the boundary again, etc.

Suite	Pesée des 12 boules de billard – Énigme Baseball Balle qui rebondit Résolution des énigmes de transvasement
Voir	Arbre de Distribution Billard circulaire Billard et symétries Billard volumique Jeux – Index Galilée Newton Optique Pentominos Snooker Transfo Boulanger Triangle isocèle
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Sites	Billard avec animations Billard sur Wikipédia Un problème d'Alhazen – Trajectoires lumineuses dans un cercle – Pierre Audibert Alhazen Billiard Problem – Wolfram MathWorld Alhazen problem – Wikipedia Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham – Mc Tutor Pour les experts Geometry and Billiards by Serge Tabachnikov
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